4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.3 ĐỊA PHƯƠNG HÓA TẠI IĐÊAN NỬA NGUYÊN TỐ
3.3.1 Định nghĩa:
Bao nội xạ của môđun M là một môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của M. Với môđun M thì bao nội xạ của môđun M luôn tồn tại duy nhất sai khác một đẳng cấu. Ta kí hiệu bao nội xạ của M là E(M).
3.3.2 Bổ đề
Cho vành R và các môđun T F .R, R Các điều kiện sau tương đương:
(i) Hom T E F( R, ( )R )=0;
(ii) Với mọi t∈T,0≠ ∈f F, tồn tại r∈R sao cho tr=0 và fr ≠0; (iii) Hom tR F( , R)=0, với mọi t T∈ .
( ) ( )i ⇒ iii : hiển nhiên
( ) ( )iii ⇒ ii : Giả sử ( )ii không đúng, vì vậy tồn tại t f, sao cho tr= ⇒ =0 fr 0. Khi đó, tồn tại đồng cấu khác 0: tR→F tr, fr. Xét biểu đồ sau:
Vì E F( )nội xạ nên Hom T E F( R, ( )R )≠0..
( ) ( )ii ⇒ i Giả sử ( )i không đúng và 0≠ α ∈Hom T E F( R, ( )R ). Chọn u T∈ sao cho
( )u 0
α ≠ . Ta có tồn tại s R∈ sao cho 0≠ α( )u s= α( )us ∈F. Đặt t=us và f= α( )t . Khi đó tr= ⇒ =0 fr 0.□
3.3.3MôđunTR thỏa một trong ba điều kiện trên được gọi là xoắn trên E F( )R .
3.3.4 Mệnh đề
Cho N là iđêan nửa nguyên tố thỏa R N là vành Goldie phải và M là R – môđun phải. Khi đó M xoắn trên C(N) khi và chỉ khi M xoắn trên E R N( R).
Chứng minh:
( )⇒ Giả sử M xoắn trên C N( ) và t∈M, 0≠ ∈f R N. Khi đó f = +[x N] với
x∈R N. Do M xoắn trên C N( )) nên tồn tại c C N∈ ( )sao cho tc 0= . Tuy nhiên do
( )
c C N , xc∈ ∉Ntức là fc≠0. Theo Bổ đề 3.3.2, ta có M xoắn trên E R N( R).
( )⇐ Ngược lại, giả sử M là xoắn trên E R N( R)và t∈M, 0≠ ∈f R N. Ta có
[ ]
f = +x N vớix∈R N. Áp dụng Bổ đề 3.3.2(ii) cho tx và f, ta có r∈R sao cho txr 0= và xr N∉ .
Đặt D= ∈{d R td=0} thì D+N N là môđun con cốt yếu của R N. Do đó,
( )
D∩C N ≠ ∅. Nếu d∈ ∩D C N( ) thì td 0= . Vậy M xoắn trên C N( ).□
3.3.5 Cho M là R – môđun. Nếu M 0≠ và ann M'=ann M với mọi M’ là
môđun con khác 0 của M thì M được gọi là môđun nguyên tố. Khi đó, ann M là iđêan nguyên tố, ann M được gọi là nguyên tố nhánh của M.
Nếu SMR là song môđun thì M là song môđun nguyên tố nếu SMvà MRlà môđun nguyên tố.
3.3.6 Bổ đề
(i) Nếu R thỏa ACC đối với các iđêan thì mỗi môđun con khác 0 đều chứa môđun con nguyên tố.
(ii) Nếu R, S thỏa ACC đối với các iđêan thì mỗi song môđun con khác 0 đều chứa song môđun con nguyên tố.
(iii) Giả sử rằng S là vành Noether trái, SMRlà song môđun, SMhữu hạn sinh, MR là môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh P và R Plà vành Goldie phải. Khi đó, M là R P – môđun không xoắn.
Chứng minh:
(i) Ta có nếu M⊇M1⊇M2⊇.... là dãy giảm các môđun con của MR thì
1 2
ann M ⊆ann M ⊆.... là dãy tăng các iđêan của R. Nếu R thỏa điều kiện ACC với các iđêan nghĩa là tồn tại n để ann Mn =ann Mn 1+ =...Tức là MR chứa môđun con nguyên tố.
(ii) Chứng minh tương tự.
(iii) Lấy N là môđun con xoắn của MR P. Tức là
( )
{ R P }
Ta có N là (S, R)−song môđun con. Do SN là môđun con của SM nên SN hữu hạn sinh. Chọn c C P∈ ( ) là phần tử linh hóa của hệ sinh của N. Ta có Nc 0= nên
R
ann N⊃P . Vì vậy N 0= .□
3.3.7 Mệnh đề
Cho R là vành Noether với S là tập mẫu số bên phải. Cho A, B là các iđêan của R thỏa A⊆B và B Alà(R R, ) – song môđun nguyên tố với P là nguyên tố nhánh bên phải và Q là nguyên tố nhánh bên trái. Khi đó C P( )⊇S khi và chỉ khi C Q( )⊇S
.
Chứng minh:
( )⇒ Giả sử C P( )⊇Svà đặt I ass S= . Chọn b I B∈ ∩ thì bs 0 A= ∈ với
( )
s S∈ ⊆C P . Do Bổ đề 3.3.2(iii), B A không xoắn trên R P nên b A∈ . Do đó,
B∩ = ∩I A I. Hơn nữa IB⊆ ∩ ⊆B I Anên I⊆Q và tương tự BI⊆Anên I⊆P. Ta có thể giả sử I 0= nên S⊆CR( )0 .
Ta có (ARS∩R) A xoắn trên S nên (ARS∩R) A xoắn trên C P( ). Do đó,
S
AR ∩ =B A. Do đó, ARS và BRS là các iđêan của RS nên
(R∩QRS)B⊆ ∩B QBRS ⊆ ∩B ARS = A.
Suy ra R∩QRS =B nên S⊆C Q( ).
( )⇐ Chứng minh tương tự.□
3.3.8 Định nghĩa:
Cho P, Q là các iđêan nguyên tố của vành Noether R. Ta nói Q liên kết với P nếu Q∩P QP có ảnh đồng cấu là song môđun nguyên tố với P là nguyên tố nhánh bên phải và Q là nguyên tố nhánh bên trái. Kí hiệu Q→P.
Đồ thị các liên kết là đồ thị với các đỉnh là các iđêan nguyên tố của R và các mũi tên hướng từ Q đến P nếu Q→P.
Cho R là vành Noether. Tập con X của SpecR được gọi là đóng với liên kết phải nếu P∈X và Q→P thì Q∈X.
3.3.9 Cho M là môđun đều trên vành Noether R. Khi đó, tồn tại duy nhất
iđêan nguyên tố nhánh của môđun con của M. Iđêan nguyên tố duy nhất đó được gọi là nguyên tố liên kết của M, kí hiệu ass M . Hiển nhiên, ass M là nguyên tố nhánh của annM(ass M).
3.3.10 Bổ đề
Cho R là vành Noether và MR là môđun đều và hữu hạn sinh thỏa MP≠0, với P ass= M. Đặt U=ann PM' .Khi đó, tồn tại môđun con M’ của M thỏa
(i) M'≠U .
(ii) ann M'=ann N với mọi N là môđun con của M’ và N U⊄ .
(iii) M U' là môđun nguyên tố đều. Chứng minh:
Đặt U'=ann PM . Chọn M1⊆M sao cho ann M1 tối đại và M1⊄U'. Đặt
1
U=M ∩U'. Gọi V là môđun con nguyên tố của M U1 và đặt M’ là nghịch ảnh của V trong M1. Ta có M’ thỏa (i), (ii), (iii).□
3.3.11 Mệnh đề
Cho R là vành Noether và P Q, ∈Spec R. Giả sử tồn tại dãy khớp các R – môđun đều, hữu hạn sinh 0→ →U M → →V 0, trong đó:
(i) Với mọi N là môđun con của M thỏa N U⊄ thì ann N =ann M = A. (ii) V là môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh Q.
(iii) U là môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh P, U =ann PM và UR P không xoắn.
Khi đó QP⊆ ⊆ ∩A P Q và nếu A⊂ ∩P Q thì VR Q không xoắn và Q→P. Chứng minh:
Hiển nhiên QP⊆ ⊆ ∩A P Q
Giả sử A⊂ ∩P Q. Ta sẽ chứng minh P Q A∩ là song môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh là P, Q. Khi đó, Q→P. Lấy I là iđêan của R thỏa A⊂ ⊆ ∩I P Q. Ta cần chứng minh rann I A( )R =P và lannR( )I A =Q.
Do I≠ ⇒A MI≠0 và MI⊆ U. Đặt T = lannR( )I A ⇒TI⊂ ⇒A MTI⊆MA =0 MTI 0 ann MT I A ⇒ = ⇒ ⊇ ⊃ . Theo (i) MT⊆U⇒ ⊆T Q. Vì QP⊆A và I⊆ ⇒P QI⊆ ⇒ ⊇A T Q. Vậy T=Q. Chứng minh tương tự, ta được rann I A( )R =P.
Vậy Q→P.
Ta sẽ chứng minh VR Q không xoắn bằng phản chứng. Giả sử ngược lại. Ta có thể chọn m M U∈ \ và d∈C Q( ) thỏa md U∈ . Vì d chính qui trên R(P∩Q A) nên
( )
d P∩Q +A A≅ ∩P Q A. Do đó, ρR P(P∩Q d P( ∩Q)+A)=0.
Xét ánh xạ R→M r, mr. Hạt nhân của ánh xạ chứa d P( ∩Q)+A. Vì vậy,
( )
( )
R P m P∩Q =0
ρ ⇒m P( ∩Q)⊆U. Do UR P không xoắn nên mR P( ∩Q)=0
(mâu thuẫn với (i)). Vậy VR Q không xoắn.□
3.3.12Định nghĩa:
Iđêan P thỏa tính chất như trên mệnh đề 3.3.11 được gọi là thỏa điều kiện lớp thứ hai. Tập con X của Spec R được gọi là thỏa điều kiện lớp thứ hai nếu mọi iđêan
P∈X thỏa điều kiện lớp thứ hai. Vành R được gọi là thỏa điều kiện lớp thứ hai nếu
Spec R thỏa điều kiện lớp thứ hai.
3.3.13 Một số ví dụ về vành Noether thỏa điều kiện lớp thứ hai.
- Vành R được gọi là AR – tách phải nếu với mọi P,Q Spec R∈ thỏa P⊂Q, tồn tại iđêan I thỏa P⊂ ⊆I Q và I P thỏa tính chất AR phải trong R P. Ta có nếu R là vành Noether và AR – tách phải thì R thỏa điều kiện lớp thứ hai bên phải.
- Giả sử vành R có tính chất là trong mọi vành thương nguyên tố, mọi iđêan cốt yếu một phía chứa một iđêan khác 0. Vành R được gọi là vành FBN (fully bounded Noetherian). Đặc biệt, vành FBN bao gồm cả các vành Noether giao hoán. Vành FBN thỏa điều kiện lớp thứ hai.
3.3.14 Định nghĩa:
Cho R là vành Noether và N là iđêan nửa nguyên tố của R. R được gọi là có thể địa phương hóa theo C N( ) nếu C N( ) là tập Ore.
3.3.15 Mệnh đề
Cho R là vành Noether, N là iđêan nửa nguyên tố và X là tập các iđêan nguyên tố tối tiểu trên N. Giả sử X đóng đối với liên kết và X thỏa điều kiện lớp thứ hai. Khi đó, R có thể địa phương hóa theo C N( ).
Chứng minh:
Đặt C=C N( ). Ta chứng minh C thỏa điều kiện Ore phải. Ta chỉ cần chứng minh với mọi c C∈ , R cR môđun là xoắn trên C. Giả sử ngược lại. Khi đó, ta có thể chọn ảnh M của R cR. M có tính chất: M không xoắn trên C nhưng mọi vành thương thực sự của M đều xoắn trên C.
Hiển nhiên M là môđun đều. Vì C=C P( )i nên tồn tại P∈X để M không xoắn trên C P( ). Theo Mệnh đề 3.3.4, ta có tồn tại đồng cấu α khác 0
( R)
: M→E R P
Đặt U '={m∈M mP=0}. Ta có U ' 0≠ . Ta sẽ chứng minh U' M= . Giả sử ngược lại. Ta có, tồn tại M’ là môđun con của M thỏa các tính chất như trong Bổ đề 3.3.10, với U U' M'= ∩ . Đặt V=M ' U. Ta có U, V là môđun nguyên tố với nguyên tố nhánh lần lượt là P và Q. Áp dụng Mệnh đề 3.3.11, ta có VR Q không xoắn và Q→P. Do X đóng đối với liên kết nên Q∈X. Tuy nhiên theo cách chọn M thì M Uxoắn trên C và do đó V xoắn trên C Q( )(mâu thuẫn với VR Q không xoắn). Vậy U' M= .
Vậy MP 0= . Do đó, ta có thể nhúng M vào R P. Tuy nhiên, M chứa một phần tử khác không, xoắn trên C là ảnh của [1 cR]+ . Điều đó chứng tỏ R cR môđun là xoắn trên C. Khi đó, C là tập Ore phải.
Chứng minh tương tự, ta có C là tập Ore trái. .Vậy R có thể địa phương hóa theo C N( ). □
3.3.16 Định nghĩa:
Nếu X là tập các iđêan nguyên tố không phân tích được của vành Noether R. Đặt ( ) ( )
P X
C X C P
∈
= . Ta nói R có thể địa phương hóa theo C X( ) nếu:
(i) C X( ) là tập Ore.
(ii) Giả sử R’ là vành các thương thì iđêan nguyên thủy của R’ là PR'với
P∈Xvà R PR' '≅Q R P( ).
3.3.17Định nghĩa:
Cho X là tập khác rỗng các iđêan nguyên tố của vành Noether R. Ta nói X thỏa điều kiện giaophải nếu I là iđêan phải của R thỏa I∩C P( )≠ ∅ với mọi P∈X
thì I∩C X( )≠ ∅.
Ta có trường hợp đặc biệt nếu X là tập hữu hạn các iđêan nguyên tố không phân tích được trong vành Noether R thì X thỏa điều kiện giao phải.
Cho X là tập các iđêan nguyên tố không phân tích được trong vành Noether R và giả sử C X( ) là tập Ore. Nếu X thỏa điều kiện giao phải thì R có thể địa phương hóa theoC X( ).
Chứng minh Xem [1].□
3.3.19 Mệnh đề
Cho R là vành Noether và X là tập các iđêan nguyên tố không phân tích được. Hơn nữa, X thỏa các điều kiện sau đây:
(i) X đóng đối với liên kết. (ii) X thỏa điều kiện lớp thứ hai. (iii) X thỏa điều kiện giao.
Khi đó R có thể địa phương hóa theo C X( ). Chứng minh:
Theo Mệnh đề 3.3.15, C X( ) là tập Ore.
KẾT LUẬN
Một số kết quả mà luận văn đạt được:
Đối với vành không giao hoán, việc địa phương hóa theo iđêan nguyên tố là không thể.
Định lí 2.1.14: Vành các thương của R theo S là tồn tại khi và chỉ khi S là tập mẫu số bên phải.
Mệnh đề 2.2.12, Hệ quả 2.2.13, Định lí Goldie (Mệnh đề 2.2.14): Nếu R là vành Noether nửa nguyên tố thì vành các thương của R theo CR( )0 luôn tồn tại và vành các thương là vành Artin nửa đơn. Hơn nữa, nếu R là vành nguyên tố thì vành các thương là vành đơn.
Định lí 3.4.13 và định lí 3.4.17: Mô tả điều kiện để vành Noether R có thể địa phương hóa theo iđêan nửa nguyên tố.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]: K.R.Goodearl and R.B.Warfield, Jr., An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Math, Soc. Student Texts 16, Cambridge. Press, Cambridge, 1989.
[2]: C. Hajarnavis, Annihilators in semiprime right Goldie rings, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (1992) 35, 133-137.
[3]: I. N. Herstein, Noncommutative Noetherian rings, Carus Mathematics.
Monographs 15, Wiley, NewYork, (10.4.8, 13.11.10).
[4]: J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer –Verlag New York, Inc, 1972.
[5]: A. V. Jategaonkar, Injective modules and classical localization in noncommutative Noetherian rings, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), 152-157.
[6]: A. V. Jategaonkar, Injective modules and localization in noncommutative Noetherian rings, Trans. Amer. Math. Soc. 190 (1973), 109-123.
[7]: A. V. Jategaonkar, Localization in Noetherian rings, London Math. Soc. Lecture Note Series 98, Cambridge Univ, Press, Cambridge, 1986.
[8]: C. H. Kim, Second layer conditions in Noetherian rings, 1998.
[9]: C.C. Lai, Localization in Non – Noetherian rings, Taylor & Francis
Journal, 1979, 1351-1376.
[10]: T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings, Springer –Verlag New York, Inc, 1991.
[11]: J. Lambek and G. Michler, Localization of right Noetherian rings at semiprime ideal, Canadian J. Math. 26 (1974), 1069–1085.
[12]: J. Lambek and G. Michler, Completions and classical localizations of right Noetherian rings, Pacific J. Math. Volume 48, Number 1 (1973), 133-140.
[13]: H. Matsumura, Commutative Algebra, Second Ed., Benjamin/Cummings, Reading, 1980.
[14]: J. C. McConnell and J. C. Robson, Noncommutative Noetherian rings,
RevisedEd., Grad, Studies in Math. 30, Amer. Math. Soc., Providence, 2001.
[15]: B. J. Muller, Localization in Non Commutative Rings, Monografias Inst. Mat. 1, Univ. Nacion Aut’onoma de M’exico, 1974.
[16]: B. J. Muller, Localization of Non-Commutative Noetherian Rings at Semiprime Ideal, Algebra-Berichte, Seminar F. Kasch and B. Pareigis, Verlag Uni-Druck,Munchen, 1974.
[17]: B. J. Muller, Localization in non-commutative Noetherian rings, Canad. J. Math. 28 (1976), 600–610.
[18]: B. J. Muller, Localization in fully bounded Noetherian rings, Pacific J. Math. 67(1976), 233–245.
[19]: O. Ore, Theory of non-commutative polynomials, Annals of Math. 34
(1933), 480–508.
[20]: D. G. Poole, Prime ideal and localization in Noetherian Ore extensions.J. Algebra 128 (1990), no. 2, 434–445.
[21]: B. Sirola, Artin-Rees property and Artin-Rees rings, Math. Commun, Vol. 15, No. 2, pp. 479-488 (2010).
[22]: J. T. Stafford, The Goldie rank of a module, in Noetherian Rings and their Applications (L. W. Small, ed.), Math. Surveys and Monographs 24, Amer. Math. Soc,Providence, 1987, pp. 1–20.
[23]: R. B. Warfield, Jr., Modules over fully bounded Noetherian rings, in
Ring Theory Waterloo 1978 (D. Handelman and J. Lawrence, eds.), Lecture Notes in Math.734, Springer-Verlag, Berlin, 1979, pp. 339–352.