Số Catalan được nói đến lần đầu tiên trong lá thư của Euler gởi cho Gold- back năm 1751, khi đếm số tam giác phân của một đa giác lồi.
Số Catalan có thể được định nghĩa như sau:
Cn=2(2n−1)
n+1 Cn−1 hoặc Cn=Cn−1C0+Cn−2C1+. . .+C1Cn−2+C0Cn−1, vớiC0=1.
Số Catalan xuất hiện trong rất nhiều bài toán tổ hợp mà trong đó chúng được dùng để liệt kê tất cả các đối tượng hình và đại số. Mục tiêu của mục này là tìm hiểu sự liên hệ giữa số Catalan và số nguyên tố.
Trước hết ta sẽ thảo luận về một số kết quả về số nguyên tố., để giúp ích choviệc nghiên cứu các số Catalan.
Một tiêu chuẩn kiểm tra tính nguyên tố là Định lý Wilson, được phát biểu như sau:
Định lí 2.4.1(Wilson). Số tự nhiên plà số nguyên tố khi và chỉ khi
(p−1)!≡ −1(mod p).
Trong một số tài liệu, nó được dùng để chứng minh Định lý Fermat nhỏ, mà một trường hợp cụ thể là:
Định lí 2.4.2. Nếu plà một số nguyên tố thì 2p ≡2(mod p).
Mặc dù Định lý 2.4.2 là công cụ kiểm tra tính nguyên tố cơ bản và hữu ích, nhưng điều ngược lại không đúng, chẳng hạn,2341≡2(mod 341) nhưng341 không là số nguyên tố. Theo cách tương tự, ta có.
Định lí 2.4.3. Nếu plà số nguyên tố lẻ thì
(−1)p−21 ·Cp−1 2
≡2(mod p).
Phép chứng minh của Định lý 2.4.3 được trình bày trong C. Aebi, G. Cairns [5]. Giống như Định lí 2.4.2, Định lí 2.4.3 là điều kiện cần để số p
là số nguyên tố, và giống như Định lí 2.4.2, ngược lại của nó không đúng; ví dụ C2953 ≡ −2 (mod 5907) nhưng 5907 không là số nguyên tố. Ta sẽ gọi những hợp số như thế này làsố giả nguyên tố Catalan. Ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.4.4. Nếu p là một số nguyên tố lẻ thì các số sau đồng dư nhau theo modulo p2:
(a) 12·Cp2−1 2 ; (b) (−1)p−21 · pp−−11 2 ; (c) 2p−1; (d) 2p2−1; (e) 1+2p
1+13+15+· · ·p−12, trong đó 1i là ký hiệu cho nghịch đảo củai theo modulo p.
Chứng minh. Phép chứng minh rất dài, có thể tham khảo trong C. Aebi, G. Cairns [5] (và các tài liệu trích dẫn trong đó).
Nhắc lại rằng nếu p là số nguyên tố và 2p ≡2 (mod p2) thì p là một
số nguyên tố Wiferich. Cho đến nay, chỉ có hai số 1093 và 3511 là hai số nguyên tố Wiferich được tìm ra, không có số nguyên tố Wiferich nào khác mà nhỏ hơn 1.25×1025 (xem . Knauer, J. Richstein [6]), nhưng hiện tại chúng ta vẫn chưa biết liệu có có hữu hạn hay vô hạn số nguyên tố Wiferich. Năm 1990 Wiferich chứng minh rằng nếu phương trình Fermat
xp+yp =zp có nghiệm với số nguyên tố lẻ p không là ước củaxyz, thì số nguyên tố p như vậy nhỏ nhất là một số nguyên tố Wiferich (xem trong P. Ribenboim [7]).
Cuối cùng, như một lưu ý, mệnh đề trên có hệ quả sau:
Hệ quả 2.4.5. Nếu p là một số nguyên tố, thì các kết quả sau là tương đương:
(a) plà một số nguyên tố Wiferich.
(c) p2 là một số giả nguyên tố Catalan.
Do đó 1194649=10932 và 12327121=35112 là các ví dụ của số giả nguyên tố Catalan. Số giả nguyên tố Catalan ít hơn nhiều so với số giả nguyên tố.
5907,10932 và 35112 là các số giả nguyên tố Catalan duy nhất mà chúng ta biết tới hiện nay.
Kết luận và kiến nghị
1 Những kết quả đã đạt được
Luận văn“Số giả nguyên tố và ứng dụng” đã đạt được các kết quả sau:
1. Thảo luận sơ lược về cơ sở toán học của lý thuyết mật mã khoá công khai và độ phức tạp của việc sinh số nguyên tố lớn.
2. Trình bày các kiến thức rất cơ sở và quan trọng về một số loại số giả nguyên tố, bao gồm
• số giả nguyên tố Fermat, • số giả nguyên tố mạnh, • số giả nguyên tố Euler, • số giả nguyên tố Catalan.
2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo
Sau những kết quả đã đạt được trong luận văn, có một số vấn đề có thể được tiếp tục nghiên cứu, chẳng hạn các ứng dụng sâu hơn nữa của số giả nguyên tố trong lý thuyết mật mã.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội.
[2] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục.
[3] Hà Huy Khoái (2015), Sinh số nguyên tố lớn, Hàm băm, Chữ ký số. Đề
tài nghiên cứu khoa học “Chữ ký số”,Trường Đại học Thăng Long.
Tiếng Anh
[4] W.R. Alford, A. Granville, C. Pomerance (1994), “There are infinitely
many Carmichael numbers”,Annals of Mathematics139, pp. 703-722
[5] C. Aebi, G. Cairns (2016), “Catalan numbers, primes and twin primes”, Preprint.
[6] J. Knauer, J. Richstein (2005), “The continuing search for Wieferich
primes”,Mathematics of Computation 74, pp. 1559-1563.
[7] P. Ribenboim (1979), 13 lectures on Fermat’s Last Theorem, Springer-
Verlag, New York.
[8] R.M. Solovay, V. Strassen (1977), “A fast Monte-Carlo test for primal-