Như các phần đã trình bày phí trước, tọa độ diện tích (x, y, z) của một điểm P trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện x+y +z = 1. Điều kiện này được gọi là điều kiện chuẩn hóa. Với mỗi số thực khác không k, ta gọi (kx : ky : kz) được gọi là
tọa độ không chuẩn hóacủa điểmP = (x, y, z)trong tọa độ diện tích. Tọa độ không chuẩn hóa được sử dụng rất hữu hiệu trong nhiều áp dụng của tọa độ diện tích.
Công thức Conway là một công cụ hữu hiệu để làm việc với các góc liên quan đến một tam giác trong tọa độ diện tích. Trước tiên ta cần sử dụng kí hiệu sau đây, gọi là các kí hiệu Conway: kí hiệu S là hai lần diện tích của tam giác ∆ABC; với mỗi số thựcθ, ta kí hiệuScotθ làSθ. Với các kí hiệu này ta có
SA =bccosA = b
2+c2−a2
2 ;SB =cacosB =
c2+a2−b2
và
SC =abcosC = a
2+b2−c2
2 .
Công thức cho bởi định lý dưới đây được gọi là công thức Conway.
Định lý 2.3(Công thức Conway). Trong mặt phẳng tọa độ diện tích với tam giác cơ sở∆ABC, cho điểmP với các góc (có hướng)\P BC =θvà\BCP = φ. Khi đó, tọa độ không chuẩn hóa củaP được xác định bởi
P = (−a2 :SC +Sφ : SB+Sθ).
Chứng minh. Theo định lý hàm số sin trong tam giácP BC ta có BP = asinφ
sin(θ+φ) vàCP = asinθ sin(θ+φ).
Do đó, diện tích tam giácP BC là
1
2 ·BC·BP sinθ = a
2sinθsinφ
2 sin(θ+φ .
Hoàn toàn tương tự, diện tích của hai tam giácP CAvàP BAlần lượt là absinθsin(φ+C)
2 sin(θ+φ) và acsinφsin(θ+B)
2 sin(θ+φ) .
Từ đó, ta suy ra tọa độ của điểmP là:
(−a2sinθsinφ :absinθsin(φ+C) : acsinφsin(θ+B)) =
−a2 :absin(φ+C) sinφ : acsin(θ+B) sinθ
= (−a2 : abcosC+absinCcotφ: cacosB +casinBcotθ) = (−a2 : SC +Sφ : SB+Sθ).