2 Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử j-đơn điệu
2.3.2. Bài toán chấp nhận lồi
Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H. Hàm chỉ của C
được xác định bởi iC(x) = 0nếu x ∈C ∞ nếu x /∈ C,
và nón pháp tuyến của C tại điểm x∈ C được xác định bởi
NC(x) ={z ∈ H : hy−x, zi ≤0 với mọi y ∈C}.
Ta biết rằngiC là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới và argminiC = C. Do đó bài toán tìm một phần tử thuộc giao của hai tập con lồi và đóng C1, C2 trong không gian Hilbert H tương đương với bài toán tìm một phần thử thuộc tập hợp S =argmin iC1 ∩argmin iC2. Từ Định lý 2.7, ta có kết quả dưới đây: Định lý 2.8. Cho H là một không gian Hilbert và cho C1, C2 là hai tập con lồi, đóng và khác rỗng của H sao cho S = C1∩C2 6= ∅. Cho f : H −→ H là một ánh xạ co. Cho {αn} và {βn} là hai dãy số thực dương thỏa mãn các điều kiện:
i) limn→∞αn = 0, P∞n=0αn =∞;
ii) P∞n=0|αn+1−αn| <∞ hoặc limn→0αn+1/αn = 1. Khi đó, dãy {xn} xác định bởi x0 ∈ H và
yn =PC1xn, n= 0,1,2, ... (2.55)
xn+1 = αnf(yn) + (1−αn)PC2yn, n= 1,2, ... (2.56)
hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ S thỏa mãn PSf(x∗) =x∗, trong đó PS : H −→ S
là phép chiếu mêtric từ H lên S.
Chứng minh. Trước hết, ta có S = argmin iC1 ∩argmin iC2. Do đó, áp dụng Định lý 2.7 cho f1 = iC1 và f2 = iC2 và sử dụng đẳng thức (I +r∂iC)−1 = (I +rNC)−1 = PC với mọi tập con lồi, đóng C trong H và mọi r > 0, ta thu được điều phải chứng minh.