Năm 1951, Sneddon I.N. đã đưa ra tích chập suy rộng đầu tiên không có hàm trọng, đó là tích chập suy rộng Fourier sine và Fourier cosine
(f ∗ FsFc g)(y) := √1 2π ∞ Z 0 f(y)[g(|x−y|)−g(x+y)]dy, x ∈ R+, (1.16) tích chập suy rộng này có đẳng thức nhân tử hóa xác định bởi
Fs(f ∗
FsFcg)(y) = (Fsf)(y)·(Fcg)(y), ∀y ∈ R+; f, g ∈ L1(R+). (1.17) Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và sine có dạng (xem [24])
(f ∗ FsFs g)(x) := √1 2π ∞ Z 0 f(y)[sign(y−x)g(|y−x|)+g(y+x)]dy, x ∈ R+, (1.18) tích chập suy rộng này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá
Fc(f ∗
FsFs
g)(y) =(Fsf)(y)·(Fsg)(y), ∀y ∈ R+; f, g ∈ L1(R+). (1.19) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine của hai hàm f và g với hàm trọng γ(y) = siny có đẳng thức nhân tử hoá tương ứng xác định bởi (xem [40])
(f ∗γ g)(x) := √1
∞
Z
−g(x+u+ 1)−g(|x−u+ 1|)]du, x ∈ R+, (1.20)
Fs(f ∗γ
FcFc g)(y) = siny(Fcf)(y)·(Fcg)(y), ∀y ∈ R+; f, g ∈ L1(R+). (1.21) Tích chập suy rộng của phép biến đổi tích phân theo chỉ số được nghiên cứu bởi Yakubovich S.B. vào khoảng những năm 1990. Chẳng hạn như tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân kiểu Mellin (xem [52])
(f ∗ Meg)(y) := 1 (2πi)2 Z σs Z σt k∗1(s)k2∗(t) k0∗(s+t) f ∗(s)g∗(t)x−s−tdtds, x ∈ R+, (1.22) tích chập này có đẳng thức nhân tử hóa như sau
M0(f ∗
Me
g)(y) = (M1f)(y)·(M2g)(y), ∀y ∈ R+, (1.23) phép biến đổi tích phân kiểu Mellin với chỉ số i trong tích chập trên được xác định bởi (Mjf)(y) := ∞ Z 0 kjy t f(t)dt t , j = 0,1,2. (1.24)
Tích chập suy rộng tiếp theo được Yakubovich S.B. tiếp tục công bố vào năm 1991, đó là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi G (xem [53]), tích chập suy rộng này có đẳng thức nhân tử hóa là
G1(f ∗
Gg)(y) = (G1f)(y)·(G2g)(y), ∀y ∈ R+. (1.25) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân kiểu Kontorovich- Lebedev được Yakubovich S.B. công bố năm 1993 (xem [54]), tích chập suy rộng này có đẳng thức nhân tử hóa xác định bởi
Iizk(f ∗
KLg)(y) = (Ik1
iτf)(y)·(Ik2
iτg)(y), ∀y ∈ R+. (1.26) Năm 1998,các tác giả Kakichev V.A. và Thao N.X. lần đầu tiên cho định nghĩa và đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng đối với ba phép biến đổi tích phân có hàm trọng γ thỏa mãn công thức (0.19). Điều này cho thấy những kết quả trước đó chỉ là trường hợp riêng của tích chập suy rộng này. Gần đây, một vài nghiên cứu về tích chập suy rộng có hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier của nhóm tác giả Giang B.T., Mau N.V. và Tuan N.M. năm 2009 và 2010, trong đó tích phân xác định được lấy trên miền đối xứng (xem [16, 17]).