II. Cỏc tài liệu hỗ trợ:
3. Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Giải: n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n n3 – n2 n + 3 3n2 - 3n + 2 3n2 – 3n 2 Ta có: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + 22 n n
Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B n2 – n Ư(2)
2 chia hết cho n(n – 1) 2 chia hết cho n Ta có bảng: n 1 -1 2 -2 n – 1 0 -2 1 -3 n(n – 1) 0 2 2 6 Loại T/m T/m Loại
Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1 Giải: n5 + 1 M n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 M n3 + 1 n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) M n3 + 1 (n – 1)(n + 1) M(n+1)(n2 – n + 1) n – 1 Mn2 – n + 1 n(n – 1) Mn2 – n + 1
34 Hay n2 – n Mn2 – n + 1 (n2 – n + 1) – 1 Mn2 – n + 1 1Mn2 – n + 1 Xét hai tr-ờng hợp: + n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài
+ n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7 Giải:
Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1
- Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1kM8 – 1 = 7 Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2. BS7 + 1
2n - 1 không chia hết cho 7
- Nếu n = 3k +2(k N) thì 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3
2n - 1 không chia hết cho 7 Vậy 2n - 1M7 n = 3k (k N)
2. Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ Giải a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Với n chẵn, n = 2k ta có: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) M8 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Với n lẻ, n = 2k +1, ta có: n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) M16 Bài 2: Chứng minh rằng
a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên d-ơng n Giải: Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1). Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1 Xét các tr-ờng hợp: + Với n = 2kA = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) M8
35
+ Với n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 M8 T-ơng tự xét các tr-ờng hợp n = 3a, n= 3a 1 để chứng minh AM9 Vậy AM8.9 hay AM72
Bài 3: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a2 – 1 chia hết cho 24
Giải:
Vì a2 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻa2 là số chính ph-ơng lẻ
a2 chia cho 8 d- 1
a2 – 1 chia hết cho 8 (1)
Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3
a2 là số chính ph-ơng không chia hết cho 3a2 chia cho 3 d- 1
a2 – 1 chia hết cho 3 (2) Mà (3,8) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hết cho 24 Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6 -1 chia hết cho 7 Giải:
Bài toán là tr-ờng hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:
- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p
- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chia hết cho p Thật vậy, ta có a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1) - Nếu a = 7k 1 (k N) thì a3 = ( 7k 1)3 = BS7 1 a3 - 1M7 - Nếu a = 7k 2 (k N) thì a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 1M7 - Nếu a = 7k 3 (k N) thì a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 1M7
Ta luôn có a3 + 1 hoặc a3 – 1 chia hết cho 7. Vậy a6 – 1 chia hết cho 7 Bài 5: Chứng minh rằng:
Nếu n là lập ph-ơng của một số tự nhiên thì (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504
Giải:
Ta có 504 = 32 . 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một Vì n là lập ph-ơng của một số tự nhiên nên đặt n = a3
Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504 Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8
Nếu a lẻ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp(a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8
Vậy AM8 , 19 9a nN (1) + Nếu aM7 a3M7 AM7
Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 1M7(a3-1) (a3 + 1) M7(Định lí Phéc ma)
Vậy AM7 , nN (2) + Nếu aM3 a3M9 AM9
36
Nếu a không chia hấe cho 3 a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91
a3 – 1 = BS9+1 – 1 M9 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 M9 Vậy AM9 , nN (3)
Từ (1), (2), (3) AM9 , nN
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 c/ 3 3 4 n n Giải: a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố và 4n +5 > 0 nên 3n – 5 > 0.
Ta lại có: 3n – 5 < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 – 5n – 25 là số ng-yên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2
Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố.
Vậy với n = 2 thì giá trị của biểu thức 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)
Biến đổi t-ơng tự ta đ-ợc n = 0. Khi đó, 8n2 + 10n +3 là số nguyên tố 3 c/ A = 3 3 4 n n . Do A là số tự nhiên nên n(n + 3) M4.
Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn. Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4
- Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố - Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố
-Nếu n = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số
- Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố
- Nếu n + 3 = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k - 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số. Vậy với n = 4 thì 3 3 4 n n là số nguyên tố 7 Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn
Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nh-ờ khách đến thăm tr-ờng gặp hai học sinh. Ng-ời khách hỏi:
- Có lẽ hai em bằng tuổi nhau? Bạn Mai trả lời:
- Không, em hơn bạn em một tuổi. Nh-ng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng em đều là số chẵn.
- Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không? Ng-ời khách đã suy luận thế nào?
37
Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vì trong tr-ờng hợp ngựoc lại thì tổng các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn.
Gọi năm sinh của Mai là 19 9a thì 1 +9+a+9 = 19 + a. Muốn tổng này là số chẵn thì a{1; 3; 5; 7; 9}. Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999. Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980.