Năm 1986, nhóm các nhà vật lý lý thuyết đứng đầu là Frohlich đã xét sự ổn định của nguyên tử hydro trong môi trường từ tính. Còn theo quan điểm toán học vấn đề đó trở thành: trạng thái năng lượng hữu hạn nghĩa là có hữu hạn các giá trị riêng cho toán tử tương ứng.
Cụ thể là:
Các nhà nghiên cứu đã xét toán tử Hamiltonnian:
2 . z H p A B x (2.8) Trong đó:
+ 1, 2, 3 , j j1, 2,3 là các ma trận Pauli và i là đơn vị ảo, i2 1.
+ p i là toán tử động lượng + 2 , p là toán tử Laplace. + z là điện tích hạt nhân. + A là thế vector. + BcurlA
H tác động lên hai thành phần của spinor . Trạng thái ban đầu của (2.8) được ký hiệu là E B z0 , . Trạng thái năng lượng ban đầu E B z0 , của H luôn hữu hạn nhưng nó phụ thuộc vào sự tương tác của spinor electron với từ trường B,
Nhìn chung, các nhà nghiên cứu đã chỉ ra được rằng có một số tới hạn zc 0 sao cho ( ) E z inf B (E0(B,z) 2 B ) (2.9) là hữu hạn khi z zc và E z khi z zc với 2 1
8
và c là hằng số cấu trúc 1
137.04
. Khi bắt đầu công việc, nhóm nghiên cứu của Frohlich không biết zc có hữu hạn hay không. Tuy nhiên họ đã chứng tỏ được rằng điều kiện cần và đủ để có hữu hạn zc là phương trình
p A 0
(2.10) Có nghiệm với 6 3 2 3
, , 0, ;
A AL divA BcurlAL a thoả mãn:
2 3
, L b
.
Ta có (2.10) là phương trình đo sự bất biến, (a),(b) áp đặt cả hai bất biến đo lường và đánh giá hạn chế sự phụ thuộc. Các điều kiện đánh giá sự bất biến bao gồm 2 2
,
L B L
, điều kiện đánh giá sự ràng buộc là 2 6
, , 0
L A L divA
(không bất biến đo lường )
Giả sử (2.10) có nghiệm ( chi tiết xem trong 8 ), B có thể được biểu diễn hoàn toàn trong điều kiện của trường vectơ
,
U (2.11) Và đạo hàm của nó ( U bằng hai lần mật độ spinor và .,. là tích vô hướng trong
2
).
Vấn đề được đặt ra là: Nếu trường vector U thoả mãn 1
,
UL U trơn và
0
Việc tìm câu trả lời cho vấn đề trên trở thành nghiên cứu sự tồn tại zero mode của toán tử Weyl – Dirac DA pA.