i) Hàm sụ́ ( )f x được gọi là tăng ngặt trong khoảng ( , )a b khi và chỉ khi với
1 2 ( , ) :
x x a b
∀ < ∈ f x( )1 < f x( )2
ii) Hàm sụ́ ( )f x được gọi là giảm ngặt trong khoảng ( , )a b khi và chỉ khi với
1 2 ( , ) :
x x a b
∀ < ∈ f x( )1 > f x( )2
Mệnh đề 2.8 [11, tr 164]. Nếu hàm số f thỏa món:
i) f a b:[ , ]→Ă liờn tục trờn đoạn [ , ]a b ii, f khả vi trong khoảng ( , )a b
iii, ∀ ∈x ( , ), '( ) 0a b f x =
thỡ f khụng đổi trờn [ , ]a b .
Định lớ 2.9 [11, tr 164]. Cho f I: →Ă liờn tục trờn đoạn [ , ]a b , khả vi trong khoảng ( , )a b . Khi đú f tăng ( giảm ) trờn [ , ]a b khi và chỉ khi
( , ) : '( ) 0
x a b f x
∀ ∈ ≥ ( '( ) 0)f x ≤ .
Chỳ ý 2.10 [11, tr 166].
1) Trường hợp riờng, nếu f khả vi trờn [ , ]a b và nếu ∀ ∈x [ , ]: '( ) 0a b f x > thỡ
f tăng nghiờm ngặt trờn [ , ]a b .
2) Cú thể xảy ra trường hợp f khả vi trờn [ , ]a b , tăng nghiờm ngặt trờn [ , ]a b
và f’ triệt tiờu ớt nhất tại một điểm thuộc [ , ]a b , vớ dụ f : x →x3 a
R R
Cỏc định lý này được sử dụng trong việc khảo sỏt sự biến thiờn của hàm số. Cỏc kết quả thường được trỡnh bày trong một bảng, được gọi là bảng biến
thiờn của hàm f. Chẳng hạn xột
21 1 : x x x f + + → a R R ,ỏnh xạ f khả vi trờn R+ và x ∀ ∈ R+ thỡ ( ) 2 2 2 1 '( ) 1 x f x x − =
Định lý 2.11 [8, tr 121].
i) Nờ́u f x đụ̀ng biờ́n trờn [ a, b] thì ( ) x a bmin ( )∈[ , ] f x = f a( ); max ( )x a b∈[ , ] f x = f b( )
ii)Nờ́u f x nghịch biờ́n trờn [ a, b] thì ( ) x a bmin ( )∈[ , ] f x = f b( ) và
[ , ]max ( ) ( ) max ( ) ( ) x a b f x f a ∈ = . 2.3. Những định lớ về cực trị của hàm khả vi. Định nghĩa 2.12 [11, tr 169]. Cho a I f∈ , ∈RI
1) Ta núi rằng f cú một cực đại địa phương tại a khi và chỉ khi tại lõn cận của a: ( )f x ≤ f a( )
2) Ta núi rằng f cú một cực tiểu địa phương tại a khi và chỉ khi tại lõn cận của a: ( )f x ≥ f a( ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3) Ta núi rằng f cú một cực đại địa phương ngặt ( hoặc chặt) tại a khi và chỉ khi tại lõn cận của a, trừ tại a: ( )f x < f a( )
4) Ta núi rằng f cú một cực tiểu địa phương chặt tại a khi và chỉ khi tại lõn cận của a, trừ tại a: ( )f x > f a( ) x 0 1 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 1 2 0 0
5) Ta núi rằng f cú một cực trị địa phương tại a khi và chỉ khi f cú một cực đại địa phương tại a hoặc một cực tiểu địa phương tại a.
6) Ta núi rằng f cú một cực trị địa phương chặt tại a khi và chỉ khi f cú một cực đại địa phương chặt tại a hoặc một cực tiểu địa phương chặt tại a.
Vớ dụ 2.13 [11, tr 169].
1) Mọi ỏnh xạ hằng cú tại mọi điểm một cực đại địa phương và một cực tiểu địa phương.
2) . : →
a
R R
x x cú một cực tiểu địa phương chặt tại x = 0. 3) : →d(x, )
a Z
R R
x
f cú một cực đại địa phương chặt tại 1
2.
Nhận xột 2.14 [11, tr 169]. Ta thường đưa việc khảo sỏt cực tiểu địa phương
và việc khảo sỏt cực đại địa phương từ trường hợp này sang trường hợp khỏc bằng cỏch xột –f thay f.
Định lí 2.15. Nờ́u hàm sụ́ y = f x( ) có đạo hàm trong khoảng ( ; )a b và
0
'( ) 0
f x = với x0∈( ; )a b thì:
i) Nờ́u f x''( ) 00 < thì hàm sụ́ đạt cực đại tại điờ̉m x .0 ii) Nờ́u f x''( ) 00 > thì hàm sụ́ đạt cực tiờ̉u tại điờ̉m x .0