Tập liên thông

4. TẬP ĐẦY – TẬP COMPACT – TẬP LIÊN THÔNG

4.3. Tập liên thông

Bài 24

Cho với mêtric thông thƣờng. Chứng minh rằng và \ không liên thông.

Giải

31 Khi đó, G G1, 2 là tập mở thỏa:

1 , 2 , 1 2 , 1 2

G    G    G G  G G   

Do đó, không liên thông.

Với E \ , chọn G1  , 0 , G2 0,, ta có \ không liên thông.

Bài 25

Cho ví dụ về một tập đầy nhƣng không liên thông trong với mêtric thông thƣờng.

Giải

   0,1  2,3 là tập không liên thông.

   0,1  2,3 là tập đầy.

Thật vậy, lấy  xn là dãy Cauchy trong    0,1  2,3 . Vì là đầy nên  xn hội tụ đến x .

Vì    0,1  2,3 là tập đóng nên x   0,1  2,3 .

Vậy,    0,1  2,3 là tập đầy.

Bài 26

a) Cho ví dụ về tập con của là liên thông nhƣng không compact. b) Cho ví dụ về tập con của là compact nhƣng không liên thông.

32

a)  0,1 là tập liên thông trong nhƣng không là tập compact vì tập  0,1 không là tập đóng.

b) B   0,1  2,3 là không liên thông nhƣng B là tập compact vì B là tập đóng và bị

chặn trong .

Bài 27

Cho  ,d là không gian mêtric.

Chứng minh rằng  là liên thông ,  a là liên thông với bất kỳ aX và tập hữu hạn chứa ít nhất hai điểm thì không là liên thông.

Giải

Nếu E  thì G1 E G2  E với tất cả các tập mở G G1, 2. Do đó,  là liên thông.

Nếu E a thì G1  E ,G2  E  aG1, aG2 . Do đó, G1G2  E .

Vậy,  a là liên thông.

Lấy Ex1,...,xn và  mind x x 1, i:i2,...,n. Gọi 1 1 2 2 , , , 3 3 n i i G B x  G B x                , ta có G G1, 2 là các tập mở và 1 1 , 2 2 , 1 2 G  E x G  E x G G E và G1G2  . Do đó, tập hữu hạn có ít nhất hai điểm là không liên thông.

33