Bên cạnh cực và khơng hữu hạn, ta cũng cĩ cực và khơng vơ hạn nhưng chúng thì khơng được sử dụng.
Hình.4.7 chỉ sự liên hệ giữa vị trí cực với đường trịn đơn vị và đặc tính tín hiệu. Với tín hiệu thực và đáp ứng xung, cả khơng và cực là thực, hoặc đơi liên hiệp phức.
Vì z là biến phức gồm phần thực và phần ảo, ta cĩ thể vẽ biên độ của X(z) hoặc H(z) trong khơng gian 3 chiều.
Cực và khơng tại gốc khơng ảnh hưởng đến đáp ứng biên độ nhưng ảnh hưởng thời gian đáp ứng. Vì vậy, thỉnh thoảng ta cộng thêm cực và khơng tại gốc một cách thích hợp, để làm hệ thống nhân quả.
Khi một khơng và một cực của hàm biến đổi z hủy nhau, đơi cực khơng này là hủy, vì vậy giảm bậc của đa thức tử và mẫu. Kỹ thuật hủy cực –khơng nên áp dụng để tránh hiệu ứng khơng mong muốn.
Với hàm truyền đơn giản, phương pháp hình học cĩ thể sử dụng để tìm đáp ứng xấp xỉ, biên độ và pha. Dù xấp xỉ, nhưng phương pháp hình học cho ta một cái nhìn tổng quát nhanh, sau đĩ vị trí phân bố cực và khơng dẫn đến đáp ứng xung mong muốn.
4.4 Vùng hội tụ (ROC) , sự ổn định
Vì biến đổi z là chuỗi mũ của 1
z , nĩ cĩ thể làm một số vùng trong mặt phẳng z khơng hội tụ. Sự ổn định của hai loại hệ thống cơ bản: nhân quả (bên phải) và phi nhân quả (bên trái).
Vùng hội tụ cĩ thể ở bên trong hoặc ngồi vịng trịn, hoặc giữa hai, hoặc khơng tồn tại. Điều kiện cần và đủ để một hệ thống LTI (hoặc LSI) là ổn định là ROC của nĩ chứa vịng trịn đơn vị. Một hệ thống nhân quả khi tất cả cực của nĩ nằm trong vịng trịn đơn vị.
4.5 Biến đổi z ngƣợc
Như những biến đổi khác, sự tính tốn của biến đổi z ngược thường khĩ hơn biến đổi thuận. Nhưng với sự giúp đỡ của đơi biến đổi z được liệt kê trong bảng 4.1 và những phương pháp được xây dựng vấn đề trở nên dễ dàng hơn.
Ở đây cĩ một cơng thức lý thuyết cho biến đổi z ngược (4.34) nhưng sự tính tốn của tích phân vịng thì khơng thuận tiện. Kế đến, phương pháp chuỗi mũ ta cĩ thế tiến hành một phép chia hàm tỉ số, nĩ cũng vất vả, nhưng phương pháp này thỉnh thoảng được sử dụng như một bước tiền xử lý của những phương pháp khác. Phần cuối 4.5 là phương pháp bổ trợ, ta tìm cơng thức tương ứng trong miền thời gian.
4.6 Biến đổi z ngƣợc bằng khai triển thừa số từng phần
Trong phương pháp khai triển thừa số từng phần ta khai triển hàm z đã cho thành những thừa số thành phần, sau đĩ sử dụng đơi biến đổi được liệt kê và những thuộc tính biến đổi để tìm biểu thức thời gian.
Phương pháp của khai triển thừa số từng phần được xây dựng tốt và ở đĩ cĩ cơng thức và những bước xử lý cho chúng ta áp dụng. Dù vậy, phương pháp này khơng thật sự hiệu quả vì ta phải tách rời những trường hợp khác nhau.
4.7 Biến đổi z một bên
Biến đổi z hai bên (4.4) là một chuỗi mũ được định nghĩa cho tất cả n, nĩ khơng thể bao gồm điều kiện đầu của tín hiệu hoặc hệ thống (tín hiệu khơng tồn tại trong quá khứ, và hệ thống thì khơng nghỉ), thì ở đây sẽ khơng cĩ vấn đề xảy ra. Nhưng nếu ở đây cĩ điều kiện đầu thì sẽ gặp khĩ khăn.
Những thuộc tính của biến đổi z hai bên áp dụng tốt cho biến đổi z một bên, ngoại trừ dịch thời gian (4.43) và (4.44).
4.8 Lọc bậc hai
Lọc bậc hai cĩ thể là bất cứ loại lọc tần số nào, nhưng thơng qua là một sự lựa chọn thích hợp vì nĩ tương ứng với mạch cộng hưởng tương tự (gồm R, L, C). Lọc thơng qua cơ bản gồm một đơi cực liên hiệp phức mà khoảng cách từ gốc nhỏ hơn hoặc gần với 1. Một cực kép được thêm vào tại gốc để làm đáp ứng lọc khơng bị trễ. Đáp ứng xung là một simusoid trễ. Lọc bậc hai là lọai lọc đệ qui (IIR). Đáp ứng biên độ tần số được chuẩn hĩa bằng 1.
54 Băng thơng được định nghĩa tại 1 2 level hoặc -3dB. Với lọc băng hẹp ( 01 10)