Ở phần này ta chỉ ra cách nhúng một bit thủy vân vào một đa giác . Để chắc rằng dấu thủy vân là đủ bền vững, ta biến đổi tất cả hình dạng các đa giác. Chính xác hơn là ta biến đổi khoảng cách lớn nhất dọc theo hƣớng từ tâm O tới một đỉnh . Với một đa giác là hình chữ nhật thì độ dài này bằng một nửa độ dài của cạnh dài. Ta gọi độ dài chính này là khoảng cách dài nhất. Nhƣng chỉ thay thế các tọa độ của thì không hợp lý bởi vì nó có thể thấp hơn chất lƣợng góc (các góc vuông có thể bị tù đi qua phép biến đổi này). Vì thế ta chọn cách biến đổi tất cả các cạnh có chiều dọc theo hƣớng sao cho hầu hết các góc của đa giác đƣợc bảo tồn. Định nghĩa là vectơ sao cho hợp thành một hệ trực chuẩn, quá trình nhúng thủy vân nhƣ sau:
- Tính hoành độ của mỗi điểm của đa giác trong hệ ;
- Giãn tất cả các tọa độ dọc theo hƣớng sao cho trở thành một trong các giá trị để mã hóa một bit thủy vân 0 hoặc 1. Phép toán này trên đƣợc gọi là phép lƣợng tử hóa nhƣ trình bày sau đây.
Cho một bƣớc lƣợng tử , ta định nghĩa 0-lƣợng tử (tƣơng ứng 1-lƣợng tử) là (tƣơng ứng, ), . Bằng trực giác có thể thấy 0-lƣợng tử (tƣơng ứng, 1-lƣợng tử) đƣợc dùng để mã hóa một bit 0 (tƣơng ứng bit 1). Để lƣợng tử giá trị sử dụng i-lƣợng tử , ta tìm sao cho là bé nhất. Chính xác hơn, việc này thu đƣợc qua các bƣớc sau:
- Tính ;
- Làm tròn tới số nguyên gần nhất ; - Xác định giá trị lƣợng tử của là
Hình 2. 3. Mã hóa bit 1 hoặc 0 vào bằng lượng tử hóa.
Hệ số co giãn của đa giác đƣợc định nghĩa bởi: . Ta biến đổi mỗi điểm trong đa giác gốc vào một điểm trong đa giác đƣợc nhúng thủy vân.
Phép giãn sao cho biến dạng lớn nhất trên một đỉnh của một đa giác nhiều nhất là . Lƣu ý rằng biến dạng này có thể đạt đƣợc chỉ với các điểm xa nhất tính từ trọng tâm theo hƣớng . Trung bình với các điểm này thì biến dạng thực tế vào khoảng cỡ .