MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI BÀI TỐN HèNH HỌC KHễNG GIAN

VÍ DỤ 1 . Cho lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc ABC cõn với AB = AC = a và

gúc

BAC

b) Tớnh cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) . c) Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB’ và BC’.

 Nhận xột : Từ giả thiết của bài toỏn , vỡ khụng cú ba đường thẳng nào cựng xuất phỏt từ một điểm và đụi một vuụng gúc , nờn ta sẽ phải cố gắng tỡm một mối liờn kết thớch hợp , để từ đú cú thể chọn ra một hệ trục

tọa độ Oxyz sao cho cú thể xỏc định được tọa độ của tất cả

cỏc điểm liờn quan đến vấn đề mà ta cần giải quyết . Để

làm được điều này cần chỳ ý , lăng trụ đĩ cho là lăng trụ

đứng và tam giỏc đỏy là tam giỏc cõn . Từ đõy , nếu gọi O

, O’ lần lược là trung điểm của B’C’ và BC thỡ ta sẽ cú ngay

ba tia OO’, OB’ và OA’ đụi một vuụng gúc.

* Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của B’C’ và BC . Ta cú : OO’





Tam giỏc A’B’O là một nửa tam giỏc đều cú cạnh A’B’ = a nờn A’O =

2 3

a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ .

A A’ A’ B B’ C’ C I y z O’ O

Ta cú : ) 0 ; 0 ; 2 3 ( ' ^a B , ;0;0) 2 3 ( ' ^a C  , ; ) 2 ; 0 ( ^a a A  ) ; 0 ; 2 3 (^a a B , ;0; ) 2 3 ( ^a a C  , ) 2 ; 0 ; 2 3 ( ^{a a} I 

* Từ đõy ta dễ dàng chứng minh được tam giỏc AB’I vuụng tại A và tớnh được cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Riờng đối với cõu c, nếu sử dụng phương phỏp tổng hợp để giải bài toỏn thỡ hồn tồn khụng dễ một chỳt nào. Cũn dựng phương phỏp tọa độ thỡ hồn tồn ngược lại.

VÍ DỤ 2 . Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B , AB = a , BC = 2a ,

cạnh SA vuụng gúc với đỏy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh rằng tam giỏc AMB cõn tại M và tinh diện tớch tam giỏc AMB theo a .

 Nhận xột : Với nhận xột tương tự bài toỏn trong VD1, ta cần tạo ra ba tia đụi một vuụng gúc . . . Dễ dàng nhận thấy rằng , nếu từ B dựng tia Bz vuụng gúc với mp(ABC) thỡ ba tia BA,BC,Bz đụi một vuụng gúc , từ đõy ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ ( gốc tọa độ O trựng với B) . Ta cú A(a;0;0) , C(0;2a;0) , S(a;0;2a) , ; ; ) 2 (^a a a M .

* Từ đõy, cụng việc cũn lại thực sự rất dễ dàng.

Khối đa diện- thể tích khối đa diện

------

1/ Tớnh chất của thể tớch:

* Hai khối đa diện bằng nhau thỡ cú thể tớch bằng nhau.

* Nếu một khối đa diện được phõn chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thỡ thể tớch của nú bằng tổng thể của cỏc khối đa diện nhỏ đú.

* Khối lập phương cú cạnh bằng 1 thỡ cú thể tớch bằng 1.

2/ Cụng thức tớnh thể tớch của cỏc khối đa diện:

a/ Thể tớch khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a.

Lỳc đú:

b/ Thể tớch khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật cú kớch thước ba cạnh lần lược là

a b c, ,

c/ Thể tớch khối lăng trụ: cho khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và chiều cao h.

Lỳc đú:

d/ Thể tớch khối chúp: cho khối chúp cú diện tớch đỏy B và chiều cao h.

Lỳc đú: A S z M C B O x y 3

V  a

. .

V  a b c

.

V  B h

1

.

3

V  B h

e/ Thể tớch khối chúp cụt: cho khối chúp cụt cú diện tớch hai đỏy là B và B’ , chiều cao h.

Lỳc đú:

Bài tập

Baỡ 1: Tớnh thể tớch của : a,Khối tứ diện đều cú cạnh bằng a. b, khối 8 mặt đều cú cạnh bằng a. c, Khối lập phương cú cỏc đỉnh là trọng tõm cỏc mặt của một khối tỏm mặt đều cạnh a.

Baỡ 2: Cho khối lăng trụ tứ giỏc đều

1 1 1 1

.

ABCD A B C D cú khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và 1

A D

bằng 2 và độ dài đường chộo của mặt bờn bằng 5.

a,Hạ _{AK  A D1}





Baỡi 3: Cho khối chúp tứ giỏc đều S ABCD. cú cạnh đỏy bằng _a. Tớnh thể tớch khối chúp, biết:

a.Gúc giữa mặt bờn và đỏy bằng



Baỡ 4: Tớnh thể tớch của khối chúp cụt tam giỏc đều cú cạnh đỏy lớn là 2a, đỏy nhỏ là a và gúc của mặt bờn và

mặt đỏy bằng 60⁰.

Baỡ 5: Cho khối lăng trụ tam giỏc ABC A B C. ' ' '. Tỡm tỉ số thể tớch của khối tứ diện C ABC' và khối lăng trụ đĩ cho.

Baỡ 6: Cho khối lăng trụ tam giỏc ABC A B C. ' ' '. Gọi M N, lần lược là trung điểm của hai cạnh

AA'

BB'





Baỡ 7: Cho khối chúp tam giỏc S ABC. . Trờn cỏc đoạn _{SA SB SC, ,} lần lược lấy ba điểm A B', ',

C'

S. Chứng minh rằng:     . ' ' ' . ' ' ' . . S A B C S ABC V _{SA SB SC} V ^ SA SB SC .

Baỡ 8: Cho khối chúp .S ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành. Gọi _{B D', '} lần lược là trung điểm của _{SB SD,} . Mặt phẳng

AB D' '

C'

Baỡ 9: Đỏy của khối lăng trụ đứng _{ABC A B C. ' ' '} là tam giỏc đều. Mặt phẳng





Baỡ 10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD A B C D. ' ' ' ' cú đỏy là hỡnh bỡnh hành và BAD 450



 . Cỏc đường chộo _AC' và DB' lần lược tạo với đỏy những gúc 45⁰ và 60⁰. Hĩy tớnh thể của khối lăng trụ, cho biết chiều cao của nú bằng 2.

Baỡ 11: Cho khối tứ diện SABC cú ba cạnh _{SA AB SC, ,} vuụng gúc với nhau từng đụi một, _{SA3,SBSC4}.

a.Tớnh thể tớch khối tứ diện SABC. b, Tớnh khoảng cỏch từ

S





Baỡ 12: Cho khối chúp _{S ABC.} cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại

B

, ,

ABa BC b SAc. Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng





Baỡ 13: Cho hỡnh hộp chữ nhật _{ABCD A B C D. ' ' ' '} cú _{ABa BC, 2 , a AA'a}. Lấy điểm

M

a.Tớnh thể tớch khối chúp M AB C. ' . b, Tớnh khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng





Baỡ 14: Cho khối hộp _{ABCD A B C D. ' ' ' '} cú đỏy là hỡnh chữ nhật với _{AB 3}, _{AD 7}. Hai mặt bờn









Baỡ 15: Hỡnh lăng trụ đứng _{ABC A B C. ' ' '} cú đỏy

ABC





a.Tớnh độ dài đoạn _AC'. b, Tớnh thể tớch của khối lăng trụ.

Baỡi 16: Cho lăng trụ tam giỏc ABC A B C. ' ' ' cú đỏy ABC là một tam giỏc đều cạnh a và điểm A' cỏch đều cỏc điểm _{A B C, ,} . Cạnh bờn AA' tạo với mặt phẳng đỏy một gúc 60⁰.

 

1

' ' .

3

a.Tớnh thể tớch của khối lăng trụ. b,Chứng minh mặt bờn BCC B' ' là một hỡnh chữ nhật.

c, Tớnh tổng diện tớch cỏc mặt bờn của khối lăng trụ

Baỡi 17: Cho khối lăng trụ ABC A B C. ' ' ', đỏy

ABC

Baỡ 18: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều .S ABCD.

a.Biết ABa và gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy bằng



b.Biết trung đoạn bằng d và gúc giữa cạnh bờn và đỏy bằng ^{. Tớnh thể tớch khối chúp}

Baỡ 19: Cho khối chúp

S ABC.

0

60 ,

ABC BC a



  và _{SAa 3}. Gọi M là trung điểm của cạnh SB.

a.Chứng minh:



 



Baỡ 20: Cho khối chúp S ABCD. cú đỏy _ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SAa và vuụng gúc với đỏy. Gọi Mlà trung điểm của

SD

a.Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và SC. b, Tớnh thể tớch khối tứ diện MACD.

Baỡ 21: Cho khối chúp tứ giỏc đều S ABCD. cú cạnh đỏy bằng a. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc SAC và khoảng cỏch từ G đến mặt bờn _SCD bằng 3

6

a . Tớnh khoảng cỏch từ tõm O đến mặt bờn _SCD và thể tớch khối chúp _{S ABCD.} .

Baỡ 22: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S ABCD. cú cạnh đỏy bằng a, gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy bằng 





0 90 . Tớnh tan của gúc giữa hai mặt phẳng









S ABCD theo a và



Baỡ 23: Cho khối chúp S ABC. cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a. Cạnh bờn

SA

62 2

a

SA . a, Tớnh khoảng cỏch từ điểm

A





b, Tớnh thể tớch khối chúp .S ABC và diện tớch tam giỏc SBC.

Baỡ 24: Cho tam giỏc vuụng cõn _ABC cú cạnh huyền BC a. Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng













Baỡ 25: Khối chúp S ABC. cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnh C và SAABC, SC a. Hĩy tỡm gúc giữa hai mặt phẳng









Baỡ 26: Cho lăng trụ ABC A B C_{. ' ' '} cú độ dài cạnh bờn bằng 2a, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, _ABa, 3

AC a và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A’ trờn mặt phẳng





Baỡ 27: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, _SAa, _{SBa 3} và mặt phẳng





của khối chúp _{S BMDN.} và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng SM, DN. (K_B – 2008)

Baỡ 28: Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ', đỏy ABC là tam giỏc vuụng, ABBC a, cạnh bờn _{AA'a 2}.

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tớnh theo a thể tớch của khối lăng trụ _{ABC A B C. ' ' '} và khoảng cỏch

giữa hai đường thẳng AM, B’C