w (w ) (w )n (w ) (1 )
a = τr + r + e = R k +k t +a
Chương 8. CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN 8.1. Định nghĩa.
“Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động mà trong đú mỗi điểm của vật đều chuyển động trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước. Núi cỏch khỏc, trong chuyển động song phẳng mỗi điểm thuộc vật luụn luụn giữ nguyờn khoảng cỏch của nú đối với một mặt phẳng cho trước”
Trong thực tế cú nhiều chi tiết mỏy chuyển động song phẳng như bỏnh xe lăn trờn một đường thẳng (hỡnh 8-1a), tay quay và thanh truyền trong cơ cấu tay quay – thanh truyền (hỡnh 8-1b), …
vC C O x y ω A O y x B hình 8-1a hình 8-1b
8.2. Khảo sỏt chuyển động của vật
Xột vật rắn C chuyển động song phẳng, trong đú mỗi điểm thuộc C đều di chuyển trờn một mặt phẳng song song với mặt phẳng π cho trước ( hỡnh 8-2). Một đường thẳng ab thuộc vật và vuụng gúc với π sẽ thực hiện chuyển động tịnh tiến. Mọi điểm trờn đường thẳng này cú chuyển động như nhau và được đặc trưng bởi chuyển đụng của điểm M trờn ab.
Nếu xem vật là tập hợp vụ số cỏc đường ab như vậy suy ra chuyển động của vật được đặc trưng bởi tiết diện S trờn mặt phẳng xoy. Như vậy bài toỏn chuyển động song phẳng của vật rắn đươc đưa về baỡ toỏn chuyển động của một tiết diện trong mặt phẳng của nú gọi tắt là chuyển động phẳng của tiết diện S.
Giả sử trờn hỡnh phẳng S ta lấy đoạn AB, nếu xỏc định vị trớ của AB thỡ hoàn toàn xỏc định vị trớ của tiết diện S trong mặt phẳng xoy. Hỡnh phẳng dịch chuyển từ vị trớ I sang vị trớ II, đoạn AB cú vị trớ
1 1
A B đến vị trớ A B2 2 (hỡnh 8-3). Quỏ trỡnh này
cú thể thực hiện như sau: tịnh tiến đoạn A B1 1
đến vị trớ ' 2 2
A B , sau đú quay đoạn ' 2 2 A B quanh 33 Hỡnh 8-3 SI SII B1 A1 B2 A'2 A2 ϕ1 O x y a b M (S) hình 8-2
2
B một gúc ϕ1 đến trựng vị trớ A B2 2. Như vậy chuyển động của hỡnh phẳng S
hoàn toàn được thực hiện. Điểm B2 chọn làm tõm quay được gọi là cực.
Ta cú thể thực hiện chuyển động vừa nờu ở trờn bằng cỏch chọn cực quay khỏc như sau: Tịnh tiến đoạn A B1 1 đến vị trớ '
2 2A B sau đú chọn A2 làm cực quay A B sau đú chọn A2 làm cực quay đoạn ' 2 2 A B một gúc ϕ2 đến vị trớ trựng với A B2 2. Vỡ ' 2 2 A B // ' 2 2 A B nờn ϕ1 = ϕ2 = ϕ.
Vậy: “Chuyển động song phẳng cú thể phõn tớch thành hai chuyển động: tịnh tiến theo một điểm cực và quay quanh điểm cực đú. Chuyển động quay khụng phụ thuộc vào việc chọn điểm cực”
8.3. Vận tốc của điểm trờn hỡnh phẳng.
8.3.1. Tỡm vận tốc của điểm qua vận tốc của điểm cực
Giả sử cú hỡnh phẳng Schuyển động trong mặt phẳng của nú. Chọn điểm O
bất kỳ làm cực. Chuyển động của hỡnh phẳng được thực hiện bởi hai chuyển động: tịnh tiến cựng với cực O cú vận tốc vr0
và quay quanh cực O với vận tốc gúc ω
Xột chuyển động của điểm A bất kỳ thuộc hỡnh. Điểm A chuyển động tịnh tiến cựng với hỡnh phẳng với vận tốc
0
eA
vr =vr và cựng với hỡnh quay quanh cực O với vận tốc VrA =VAO . Do đú:
0
A AO
vr = +vr vr (8-1) trong đú: VAO là vận tốc của điểm A trong chuyển động quay quanh điểm
cực O, VAO cú phương vuụng gúc với AO, hướng theo chiều quay của ω và độ lớn VAO = AO.ω S A O v0 v0 vA0 vA ω Hỡnh 8-4
Vậy: “Vận tốc của một điểm bất kỳ thuộc hỡnh phẳng chuyển động song phẳng bằng tổng hỡnh học vận tốc của điểm cực và vận tốc của điểm đú trong chuyển động quay của hỡnh phẳng quanh điểm cực”
8.3.2. Định lý hỡnh chiếu vận tốc.
" Hình chiếu của vận tốc của hai điểm trên hỡnh phẳng chuyển động song phẳng lên đờng thẳng nối hai điểm đó luụn bằng nhau"
Thật vậy :
Xét hai đIểm M, N tuỳ ý của hỡnh phẳng (S) . Chọn M làm đIểm cực ta có
VuuurN = VuuurM +VuuuuurNM
Chiếu biểu thức trờn lên trục MN ta có : VMN ⊥ MN nờn chiếu lờn MN luụn bằng 0 (hỡnh 8-5), Vậy cũn lại hỡnh chiếu của VN lờn MN phải bằng hỡnh chiếu của VM lờn MN.
Định lý đó được chứng minh. Từ định lý này ta có thể dễ dàng tìm đợc VN
nếu biết vận tốc của đIểm cực M và phơngcủa vận tốc tại N, cũng có thể tìm đợc ω của hỡnh phẳng
khi biết VN và VM
8.3.3. Tõm vận tốc tức thời
- Định nghĩa: “Điểm P trờn hỡnh phẳng S mà tại thời điểm khảo sỏt cú vận tốc bằng khụng, được gọi là tõm vận tốc tức thời” (VP =0)
α VM M N (S) x VNM VN VM α hình 8-5
- Trong chuyển động song phẳng của hỡnh phẳng, tại mỗi thời điểm luụn luụn tồn tại một và chỉ một tõm vận tốc tức thời.
- Chuyển động của hỡnh phẳng cú thể thực hiện bởi sự quay liờn tục của hỡnh quanh những vận tốc tức thời khỏc nhau.
- Ứng với mỗi thời điểm khảo sỏt, tõm vận tốc P của hỡnh phẳng trựng với điểm P' tương ứng thuộc mặt phẳng cố định, P' gọi là tõm quay tức thời. Để đơn giản ta vẫn gọi là tõm tức thời P. Đường thẳng đi qua P vuụng gúc với mặt phẳng cố định gọi là trục quay tức thời
- Vận tốc của điểm thuộc hỡnh phẳng:
Tại thời điểm xột hỡnh phẳng cú tõm tức thời P
và vận tốc của hỡnh phẳng là ω. Chọn P làm cực ta
tìm đợc vận tốc tại đIểm A bất kỳ trên
hỡnh phẳng : AP AP P A V V V V = + = - có trị số VA = AP. ω
- có phơng ⊥ PA, có chiều theo chiều của vận tốc góc ω
Vận tốc của điểm A bất kỳ trên hỡnh phẳng bằng vận tốc của nó khi hình phẳng quanh tâm vận tốc tức thời .
Cỏch xỏc định tõm vận tốc tức thời
- Trường hợp 1: Biết vận tốc của điểm A và phương vận tốc của điểm B thuộc hỡnh phẳng
Dựa vào tớnh chất vrA ⊥ AP v,rB ⊥BP, từ A và B ta kẻ tương ứng cỏc đường vuụng gúc với vrA
và vrB . Giao của chỳng là tõm vận tốc tức thời P ω P vA A Hỡnh 8-6 A v A P ω B Hỡnh 8-7
- Trường hợp 2: Biết vận tốc của hai điểm
A và B cú phương song song và vA >vB, đoạn nối hai điểm ,A B vuụng gúc với phương vận
tốc của hai điểm đú (hỡnh 8-8)
Tõm vận tốc tức thời P là giao điểm của đoạn thẳng AB kộo dài và đường thẳng nối đầu mỳt vộc tơ vận tốc vrA
và vrB
. Đăc biệt khi vrA =vrB (hỡnh 8-9) thỡ hỡnh phẳng chuyển động tịnh tiến, tõm tức thời ở vụ cực
- Trường hợp 3: Biết phương vận tốc của hai điểm A và B
song song, đoạn nối ,A B khụng vuụng gúc với phương của
hai vận tốc đú (hỡnh 8-10)
Trường hợp này hai đường thẳng vuụng gúc với phương của vrA
và vrB
kẻ qua A và B song song với nhau nờn tõm tức thời ở vụ cực. Do đú hỡnh phẳng chuyển động tịnh tiến và
A B
vr =vr
- Trường hợp 4: Hỡnh phẳng lăn khụng trượt trờn một đường cong cố định (hỡnh 8-11)
Khi lăn khụng trượt thỡ điểm tiếp xỳc chung cú vận tốc bằng khụng do đú điểm đú chớnh là tõm vận tốc tức thời P