, : f g f g g f
BÀI TÂP CHƯƠNG
BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH AFIN
BÀI 2: Cho phép afin f và hai điểm A, B phân biệt. chứng minh rằng niếu f(a) = B, f(B) = A và I là trung điểm của AB thì f(I) = I.
GIẢI:
Từ giả thuyết ta có f :AB AB. Theo tính chất của phép afin là bảo toàn tỉ số đơn và biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
Mà BA = AB suy ra I trùng với I’. Vậy: f :I I'(đpcm).
BÀI 4: Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành
đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc là phép vị tự.
GIẢI:
Gỉa sử f là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f, ta
chứng minh rằng tồn tại một số k sao chovới mọi vectơ u bất kì ta đều
có f (u) = ku.
Thật vậy, với mọi vectơ u bất kì, ta lấy hai điểm M, N sao cho
MN = u. Nếu gọi M’ = f(M) và N’ = f(N) và M'N' = u' thì theo định nghĩa
của f ta có f(u) = u'. Nhưng vì f biến đường thẳng MN thành đường
thẳng M’N’ nên theo giả thiết, MN // M’N’, bởi vậy f(u) = k.u. Tương
tự như vậy đối với vectơ v, ta cũng có k(v) = k’.v. Tuy nhiên ta chứng minh được k = k’. Thật vậy niếu đặt w = u + v, thì ta cũng có:
f (v ) = k”. w = k”( u + v) = (k”. v) + (k”.u). Nhưng vì f biến đổi tuyến
tính nên:
f(w) = f (u + v) = f (u) + f (v ) = k.u + k’.v = k.u + k” .v
Từ đó suy ra niếu v và u không cộng tuyến thì k = k”, k’ = k”, vậy k =
k’. Còn niếu v và ucộng tuyến ta lấymột vectơ z không cộng tuyến với
Bây giờ niếu k = 1 thì mọi điểm M, N và ảnh của chúng M’, N’ ta có
MN = M'N' vậy MM' = NN' vậy f là phép tịnh tiến theo vectơ MM' = v
BÀI 6: Cho hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’. Với điều kiện nào đó thì có phép afin f biến các đỉnh A, B, C,D lần lược thành các đỉnh A’, B’, C’, D’
?
GIẢI
Vì ba điểm A, B, C cũng như ba điểm A’, B’ C’ kkhông thẳng hàng cho nên có phép afin duy nhất biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A’, B’ C’.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’. Phép afin f biến D thành D’ khi và chỉ khi nó
biến I thành I’. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi (A, C, I) = (A’, B’, C’) và (B, D, I) = (B’, D’, I’).
BÀI 8: Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A(1;0), B(0;2),
C(-3;0), lần lược thành các điểm A’(2;3), B’(-1;4), C’(-2;-1).
GIẢI
Biểu thức của phép biến đổi afin có dạng:
q dy bx y p cy ax x ' '
Vì nó biến các điểm A, B, C thành các điểm A’, B’, C’ nên:
a p 2 b q 3 ; 2c p 1 2d q 4 ; 3a p 2 3b q 1
Từ đó suy ra a =1, c = -1, d = 1, q =2, p = 1 .
vậy biểu thức tọa độ là
2 ' 1 ' y x y y x x
Bài 10: Cho 2 phép afin : phép f: = 2x + y – 5 ; = 3x – y + 7 phép g : = x –y + 4 ; = - x + 2y + 5 tìm biểu thức tọa độ của
Giải :
Giả xử M(x ; y) , = f(M) = ( ; ) thì = 2x + y – 5 ; = 3x – y + 7.
Gọi = g( ) = g(f(M)) = f(M), và giả xử = ( ; ), thì theo biểu
thức của g ta có
= - + 4 ; = + 2 + 5. Do đó :
= 2x + y – 5 – (3x – y + 7) + 4 = -x + 2y – 8 = (2x + y – 5 ) + 2(3x – y + 7) + 5 = 4x -3y + 24
Vậy biểu thức tọa độ của là :
Làm tương tự ta đươc biểu thức tọa độ của là :
Bài 12 : tìm điểm bất động của phép afin biến 3 điểm A, B, C không
thẳng hàng thành 3 điểm
B, C, A
Ta chọn 1 mục tiêu afin sao cho A(0 ; 0) , B(1 ; 0) , C(0 ; 1). Khi đố dể
dàng tìm được biểu thức
của phép afin bien A, B, C thành B, C, A là :
Từ đó suy ra điểm bất động có tọa độ là nghiệm của phương trình :
Vậy phép afin có điểm bất động duy nhất G( ; ). Điểm đó chính là trọng tâm của tam giác
ABC.
Bài 14 : Chứng minh rằng nếu mọi phép afin nếu có điểm bất động duy
nhất thì đường thẳng
bất biến điều đi qua điểm bất động đó.
Giải :
a) Giả xử phép afin f có điểm bất động duy nhất O . Ta chọn O làm gốc của mục tiêu afin
thì biểu thức tọa độ f có dạng :
Trong đó ad – bc ≠ 0.
Vì chỉ có 1 điểm bất động O duy nhất nên hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất ,
hay là :
(a – 1)(d – 1) – bc ≠ 0 (*)
A(ax + cy) + B(bx + dy) + C = 0
(Aa + Bb)x + (Ac + Bd)y + C = 0
Nếu C ≠ 0 thì điều kiện (d) trùng với ( ) là :
Vì điểm I(-3 ; 2) biến thành chính nó và vì điểm (1 ; 1) biến thành điểm (2 ; 1) nên : -3 = - 3a + 2c + p 2 = - 3b + 2d + q 2 = a + c + p
1 = b + d + q
Khử p và q giữa các phương trình trên ta được :
4a – c = 5 và 4b – d = -1 từ đó ta có :
C = 4a – 5 và d = 4b + 1
Và do đó :
P = 7 – 5a và q = - 5b
Như vậy phép afin đã cho có biểu thức tọa độ :
Trên đường thẳng x + y + 1 = 0 ta hãy lấy 1 điểm nào đó khác với
Ichẳng hạn M(-1 ; 0) ,
ảnh của M co tọa độ :
= - a + 7 – 5a = - 6a + 7,
Vì điểm cũng nằm ttrên đường thẳng x + y + 1 = 0 nên :
Trên đường thẳng x + 2y – 1 = 0 ta hãy lấy 1 điểm nào đó khác I,
chẳng hạn điểm
N(1 ; 0) , ảnh của N có tọa độ là :
= a + 7 – 5a = 7 - 4a , = b – 5b = - 4b.
Vì điểm cũng nằm trên đường thẳng x + 2y - 1 = 0 nên + 2 - 1 = 0, hay
(7 – 4a) + 2(- 4b) – 1 = 0.
Vậy : 2a + 4b = 3. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a = , b = .
Vậy biểu thức tọa độ của phép afin là :
b) Giả xử biểu thức tọa độ của phép biến đổi afin có dạng :
x = a + c + p
khi đó đường thẳng 5x – 6y -7 = 0 biến thành đường thẳng có phương trình :
5(a + c + p) – 6(b + d + q) – 7 = 0 hay:
(5a – 6b) + (5c – 6d) + 5p – 6q = 0
Theo giả thiết , đường thẳng này trùng với đường thẳng 2x + y – 4
= 0 . như vậy :
= =
=>
Tương tự , đường thẳng 3x – 4y = 0 sẽ biến thành đường thẳng có phương trình :
3(a + c + p) – 4(b + d + q) = 0 hay:
(3a – 4b)x’ + (3c – 4d)y’ + 3p – 4q = 0
Theo giả thiết, đường thẳng này trùng với đường thẳng x – y + 1 =
0 , như vậy :
3a – 4b = - 3c + 4d = 3p – 4q (3).
Nhưng do điều kiện (*) nên từ hệ phương trình suy ra A = B = 0 ,
và ta không có đường
rhẳng như vậy. điều đó có nghĩa là nếu (d) là đường hẳng bất biến
thì trong phương
trình của nó ta phải có C = 0 , tức là (d) đi qua điểm O , tức là
điểm bất động duy nhất của f.
BÀI 16 : Các phép afin sau đây có phải là thấu xạ hay không ? Niếu có, hãy tìm tỉ số thấu xạ, Niếu không phải là thấu xạ trược .
a)
b)
c)
d)
e)
a) Trong biểu thức x’ = x, y’ = ky ta phải có k ≠ 0.Niếu k = 1 thì đó là phép đồng nhất. Niếu k ≠ 1 thì các điểm bất động đó có tọa độ
thỏa :
Vậy các điểm của trục y = 0 điều là điểm bất động. Đây là một
phép thấu xạ với cơ sở là đuường thẳng ox. Niếu ta lấy M = (0 ;1) thì M có ảnh M’ = (0 : k)và MM’ cắt ox tại O. Vì
b) Trong biểu thức x’ = x + p, y’ = ky + q ta cũng phải có k ≠ 0.
Niếu k = 1 thì ta có phép tịnh tiến theo vectơ = ( p :q)
Vậy niếu p = q = 0 thì ta có phép đồng nhất, nó cũng là phép thấu
xạ. Niếu một trong hai số p và q khác không, a được phép tịnh
tiến, đó không phải là phép thấu xạ.
Niếu k ≠ 1 điểm bất động thỏa hệ : Hệ phương trình
vô nghiệm khi p ≠ 0, nên phép afin đã cho không phải là phép thấu xạ.
Ta lấy M không thuộc d ,M = (0 ; y0) với (k-1)y0 + q ≠ . Khi đó M có ảnh M’=(0 ;ky0+q).Ta có MM’ d tại M1(0 ; )
Mặc khác ’ = Vậy tỉ số thấu xạ là K.
c) Điểm bất động x = -y + 1 ; y = -x + 1. Vậy tập hợp các điểm bất động là (d) : x + y -1 =0. Đây là phép thấu xạ cơ sở là đường thẳng
(d). Lấy M trùng với O , M=(0 ;0) thì M có ẩnh là M’=(1 ;1). Đường
thẳng MM’ có phhương trình x – y = 0 cắc (d) tại M1( ; ) Vậy
=- . Vậy tỉ số thấu xạ là -1.
d) Điêm bất động x = x+ y ; y = y.Vậy tập hợp các điểm bất động là
đường thẳng y = 0,đây là phép thấu xạ . Lấy M(0 ;1) có ảnh là M’(1 ;1) đường thẳng MM’ // OX ,đây là phép đối xưng trược.
e) Điểm bất động x =4x + 2y +1 ; y = 3x + 3y – 1.Hệ phương trình này vô nghiệm , tức là không có điểm bất động, Nên đây không phải là phép thấu xạ.
Bài 18 : Chưng minh rằng mọi phép afin biến tam gác ABC đã cho
GIẢI :
Phép afin biến tam gác ABC đã cho thành chính nó gồm tập hợp ba điểm A, B, C thành chính nó. Ta xét trường hợp.
a) Có hai trong ba điểm A, B, C biến thành chính nó ,dĩ nhiên điểm
còn lại sẽ biến thành chính nó. Khi đó ta có phép đồng nhất
ddos là phép thấu xạ.
b) Có một và chỉ một trong ba điểm A, B, C biến thành chính nó. Chẳng hạn A biến thành A, còn B biến thành C, còn C biến
thành B. Gọi I là trung điểm của BC thì I biến thành chính nó ; Vậy tấc cả những điểm của đương AI đièu là điểm bấ động. Vậy
có phép thấu xạ là đường thẳng AM, phương thâus xạ là
phương của BC, tỉ số thấu xạ là -1.
c) Không có điểm nào trongg 3 điểm A, B, C biến thành chính nó . vậy A phải biến thành B hoặc C .Giả sử A biến thành B, khi đó
B biến thành C và do đó C biến thành A. Ta có hep afin f(A) = B, F(B) = C, f(C) = A
Ta gọi g là phép thấu xạ sao cho g(A) = A, g(B) = C, g(C) Gọi g là phép thấu xạ sao cho g(A)=A, g(B)=C, g(C)=B (TH2). Nếu đặt g0f =h thì
theo TH2 ta có h(A)=C, h(B)=B, h(C)=A, do đó theo TH2, h cũng là một phép thấu xạ.
Từ g0f =h g0 g0 f = g0 h ( vì g là phép thấu xạ có tỉ số -1 nên g0g=e (e là phép đồng nhất )
Vậy f=g0h, tức là f là tích của 2 phép thấu xạ= B .
Bài 20 : Chứng minh rằng tập hợp các phép vị tự và các phép tịnh tiến làm thành một nhóm, tâp hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm . Xét quan hệ giữa các nhóm đó với nhau và với nhóm Af(P).
GIẢI :
Ta thấy niếu T là phép tịnh tiến theo vectó , còn T’ là phép tịnh tiến theo vectơ thì tích T’ 0 T và T 0T’ là phép tịnh tiến theo vectơ + , ngoài ra phép tịnh tiến là phép afin. Từ suy
ra tâp hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm con giao
hoán của Af(P).
Các phép tịnh tiến và phép vị tự có chung tính chất : « biến
mỗi đường thẳng a thành đường thẳng song song hoặc trùng với a và ngược lại mỗi phép có tính chất đó là phép tịnh tiến
hoặc phép vị tự . Từ đó suy ra các pépp vị tự và các phép tịnh
tiến làm thành một nhóm con của nhóm Af(P) và chứa nhóm
các phép tịnh tiến.
Bài 22. Hình H gồm một tam giác ABC nội tiếp một đường Elip (E),
hình H’ gồm một tam giác A’B’C’ nội tiếp một đường Elip (E’). Hai hình H và H’ có tương đương afin không? Nếu có thêm giả thiết tâm Elip (E)
trùng với trọng tâm tam giác ABC, tâm Elip (E’) trùng với trọng tâm tam
giác A’B’C’ thì H và H’ có tương đương afin không?
Giải:
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của (E) và (E’). Ta có duy nhất một
phép afin f biến A, B, C lần lượt thành A’,B’,C’ tức là biến tam giác ABC
thành tam giác A’B’C’. Nói chung f không biến O thành O’ nếu hai tứ giác
OABC và O’A’B’C’ không tương C1 B1 C B A O' B' C'1 B' A'
đương afin tức là không biến (E) thành (E’). Vậy nói chung H và H’ không
tương đương afin.
Nếu phép afin f nói trên biếnO thành O’ thì nó cũng biến (E) thành (E’). Thật vậy nếu gọi A1,B1,C1 lần lượt là các điểm đối xứng với A,B,C qua O
thì A1,B1,C1 đều nằm trên (E), tương tự gọi A’1 ,B’1 ,C’1 lần lượt là các
điểm đối xứng với A’,B’,C’ qua O’thì A’1 ,B’1 ,C’1 đều nằm trên (E’). Vì f biến A,B,C, O lần lượt thành A’ ,B’ ,C’ ,O’ nên nó cũng biến A1,B1,C1 lần lượt thành A’1 ,B’1 ,C’1. Từ đó suy ra f biến (E) thành Elip đi qua A’ ,B’ ,C’ ,A’1 ,B’1 ,C’1, đó chính là Elip (E’).
Vậy trong hai trường hợp này hai hình (H) và H’ tương đương afin.
Bài 24. Chứng tỏ rằng các khái niệm sau đây là khái niệm afin: Đường bậc hai; Tâm của đương bậc hai; Đường tiệm cận của đường
bậc hai; Tiếp tuyến của đường bậc hai.
Giải:
a) Giả sử đối với mục tiêu afin , cho đường bậc hai (S) có phương
trình : Ax2 By2 2Cxy2Dx2EyF 0(1), trong đó (A2B2C2 0). Gọi h là phép biến đổi afin tùy ý có biểu thức tọa độ
q dy bx y p cy ax x ' '
Vì ad-bc ≠ 0, nên ta có thể biểu thị x,y theo x’,y’
Ta giả sử x = a’x’+c’y’+p’ và y = b’x’+d’y’+q’ ( với a’d’-b’c’≠0)
Nếu điểm M(x,y) (S) và M’=h(M) và có tọa độ M’(x’,y’) thì
A(a’x’+c’y’+p’)2 +B(b’x’+d’y’+q’)2 +2C(a’x’+c’y’+p’)( b’x’+d’y’+q’) +2D(a’x’+c’y’+p’) +3E(b’x’+d’y’+q’) +F =0 (1’)
Sau khi biến dổi ta đưa phương trình trên về dạng
0 ' ' 2 ' 2 ' ' 2 ' ' ' 'x2B y2 Cx y Dx EyF A
Trong đó
A’= Aa’2+Bb’2+2Ca’b’ B’= Ac’2+Bd’2+2Cc’d’ C’= Aa’c’+Bb’d’+Ca’d’+Cb’c’ D’= Aa’p’+Bb’q’+Ca’q’+Cd’p’+Da’+Eb’ E’= Ac’p’+Bd’q’+Cc’q’+Cd’q’+Dc’+Ed’ F’= Ap’2 +Bq’2+2Cp’q’+ 2Dp’+2Eq’+F Vì B C C A B C C A d b c a B C C A d c b a B C C A , ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' cùng hạng , từ đó vì
A,B,C không đồng thời bằng không nên hạng của ma trận thứ nhất ít
nhất bằng 1 A’2+B’2+C2 ≠ 0
Như vậy (1’) cũng là hương trình của một đường bậc hai (S’). b) Giả sử đường bậc hai (S) có tâm I .
Mục tiêu afin (I;e1;e2) (1), (S) có dạng (S) :Ax2 Cy2 2Bxy2DxF 0 Chọn mục tiêu (I';e'1;e'2) (2)với I' f(I),e'1 f(e1),e'2 f(e2)
Nếu M(x;y) đối vối mục tiêu (1) thì M’=f(M) cũng có M’=(x’;y’) đối với (2)
f(S) Ax2 Cy2 2Bxy2DxF 0 đối với mục tiêu (2)
I’ cũng là tâm của f(S)
Bài 26 Cho tam giác ABC nội tiếp elip và một điểm M trên (E) . Gọi O là tâm elip và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi A1, B1, C1 là các điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng BC,CA,AB sao
cho MA1// OA’, MB1// OB’, MC1// OC’. Chứng ming rằng ba điểm A’,B’, C’
thẳng hàng.
Từ hai tứ giác nội tiếp ABCM và A1BC1M ta có :AMˆC A1MˆC1 1 1 ˆ ˆC CMA M A
Từ các tứ giác nội tiếp AB1MC1 và CA1MB1 ta có :
11 1 1 1 1 1 ˆ , ˆ ˆ ˆ C AMC CB A CMA B A 1 1 1 1 ˆ ˆ C CB A B A
Vậy ba điểm A’,B’, C’ thẳng hàng.
Bài 28: Cho hình bình hành ABCD , hai
điểm M, N lần lược thay đổi trên hai đường
thẳng AD và DC sao cho (ADM) = (DCN). Tìm quỹ tích giao điểm BM và AN
Giải:
Gọi A’B’C’D’ là hình vuông bất kì ,và f biến đổi phép afin biến hình bình hành ABCD thành hình vuông ABCD. Khi đó f biến điểm M thành M’ nằm trên AD sao cho
(A, D, M) = (A’, D’, M’) và biến N thành N’ nằm trên DC
Sao cho (D, C, N) = (D’, C’, N’) giao điểm I’ của B’M’ và A’N’ là ảnh của điểm I . Ta dể dàng chứng minh B’M’ ┴ A’N’ và do đó quỹ tích I’ là đường
tròn đường kính A’B’. đường tròn này tiếp xúc với hai cạnh A’D’ và B’C’
và đi quua taam của hình vuông .Quỹ tích I là ảo ảnh của đường tròn đó