2.2.1. Dạy học khái niệm góc giữa hai đƣờng thẳng
Hoạt động hình thành khái niệm
Để hình thành khái niệm này, GV tổ chức cho học sinh những hoạt động sau:
Xét bài toán sau: “Cho hai đường thẳng 1, 2 bất kỳ trong không gian. Từ điểm O nào đó vẽ hai đường thẳng '1, '2 lần lượt song song hoặc trùng với 1, 2”.
* Nhận xét: Khi O thay đổi thì góc giữa ' '
1, 2 không đổi. Từ đó, GV đưa ra định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng 1, 2 là góc giữa '1, '2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với 1, 2.
Nêu lên các chú ý có trong định nghĩa:
+ Vì điểm O là điểm bất kì nên ta có thể chọn O sao cho từ điểm đó kẻ được các đường thẳng song song với 1, 2 dễ dàng nhất. Ta thường chọn O nằm trên một trong hai đường thẳng 1, 2.
+ Độ lớn của góc giữa hai đường thẳng luôn luôn không đổi.
+ Gọi a br r, là hai vec tơ chỉ phương của 1, 2. Giả sử (a br r, ) = , khi đó góc giữa hai đường thẳng 1, 2 bằng , nếu 0
90 và bằng 1800− , nếu > 0
Hoạt động củng cố
+Ta đưa ra một hệ thống các ví dụ như sau:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC ?
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2.Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC?
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC=a 2. Tính góc giữa hai đường BC và SA?
2.2.2. Dạy học khái niệm hai đƣờng thẳng vuông góc
Hoạt động hình thành khái niệm
Đưa ra định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90º . Kí hiệu a b.
Rút ra nhận xét:
+ a b u vur ur. 0 với u vur ur, lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b.
+ Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Hoạt động củng cố khái niệm
Ví dụ 1:
a. Cho lập phương ABCD. A’B’C’D’. Tìm những đường thẳng qua hai đỉnh của hình lập phương vuông góc với đường thẳng chứa cạnh CD?
b. Trong các đường thẳng qua 2 đỉnh của hình lập phương cùng vuông góc với CD, hãy xét chúng có thể có các vị trí tương đối với nhau thế nào?
Ví dụ 2: Cho chóp O.ABC ba mặt vuông tại đỉnh O: OA OB,
OB OC,OC OA. Chứng minh rằng: OA BC OB, AC, OC AB.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong một tứ diện đều có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau?
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC: SA = SB = SC, ASB = BSC = CSA· · ·
Chứng minh rằng: SA BC SB, AC, SC AB.
2.2.3. Dạy học khái niệm đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
Kiểm tra bài cũ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng DD' A C' '?
Hoạt động hình thành khái niệm
Giới thiệu ảnh tháp Pissa của Italia sau một thời gian xây dựng đã bị nghiêng so với mặt đất.
Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy rằng trong thực tế hàng ngày, người thợ xây muốn xây được bức tường thẳng đứng so với mặt đất, họ phải dùng dây rọi.
Từ thực tế, ta đặt vấn đề nghiên cứu khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Giáo viên đưa ra bài toán: “Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng (P). Chứng minh rằng nếu đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P)”.
Hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán trên .
Nêu định nghĩa về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) kí hiệu a P hoặc P a .
Nêu các chú ý cần thiết của định nghĩa:
+ Khi a vuông góc với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
+ Để chứng minh a vuông góc với (P) ta đi chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
+ Để chứng minh a không vuông góc với (P) ta đi chứng minh a không vuông góc với một đường thẳng nào đó trong (P).
Đưa ra định lí để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)”.
Hoạt động củng cố khái niệm
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì nó sẽ vuông góc với cạnh còn lại?
Ví dụ 2: Cho lập phương ABCD. A’B’C’D’. Hai điểm M, N lần lượt trung điểm của cạnh AD, DC. Xác định tính đúng, sai của kết luận sau:
a. DD' MN. c. DD' ABCD .
b. DD' ABB A' ' . d. DD' MNC'A' .
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều SABCD có AB=a, đường cao SH= 6
2
a
. a. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua A vuông góc với SC.
b. Tính diện tích thiết diện.
2.2.4. Dạy học khái niệm góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
Hoạt động hình thành khái niệm
Nêu định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
“- Nếu a vuông góc (P) thì góc giữa chúng bằng 90O.
- Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa chúng là góc giữa a và hình chiếu a của a lên (P)”.
Đưa ra phương pháp tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P): + Xác định giao điểm M của a với (P) (nếu có).
+Chọn A a khác M để xác định chân đường vuông góc H của A tới (P). Từ đó, ta tìm được hình chiếu a’ của a trên (P).
Hoạt động củng cố khái niệm
Để củng cố khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giáo viên đưa ra các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy xác định góc giữa đường BD’ và các mặt phẳng sau:
a. (A’B’C’D’); b. (CDD’C’); c. (ACC’A’).
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA= a và SA ABCD . Tính góc giữa các đường thẳng sau với đáy (ABCD):
a. SD b. SB c. SC
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SD.
a. Cmr: MN // BD và SC AMN .
b. Gọi K là giao điểm của SC với (AMN). Cmr tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.
c. Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) biết độ dài các cạnh AB = a và SC = a 2.
2.2.5. Dạy học khái niệm góc giữa hai mặt phẳng
Hoạt động hình thành khái niệm
Nhắc lại khái niệm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng từ đó nêu lên vấn đề cần nghiên cứu là góc giữa hai mặt phẳng.
Đưa ra bài toán: “Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Dựng a, b sao cho a P , b Q . Khi đó góc giữa hai đường thẳng a, b không phụ thuộc vào chọn chúng được gọi là góc giữa hai phẳng (P), (Q)”.
Nêu định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Nêu phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng: Nếu (P) // (Q) hoặc (P) (Q) thì ((P), (Q))= 0O. Nếu (P) (Q) = thì ta làm như sau:
─ Dựng (R) ;
─ Xác định (P) (R) = p, (P) (R) = q; ─ ((P), (Q)) = (p,q).
Hướng dẫn học sinh giải bài toán trên.
Đưa ra phương pháp chung xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (P’):
+Xác định giao tuyến ∆giữa (P) và (P’);
+Chọn I (∆) và xác định IA (P), IA ( );
+ Xác định IB (P’), IB ( ) và có góc , cần tìmlà (IA, IB).
Hoạt động củng cố khái niệm
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA =
2
a
. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi góc giữa 2 mặt (SBC), (ABC) . C.m.r SABC= SSBC.cos .
+ Tổng quát hóa bài toán này ta có định lí sau: “Gọi S là diện tích đa giác H trong mặt phẳng (P) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P’) thì S’ = S.cos , trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’)”.
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABC: AB=a, đường cao SH= 6 2
a
. a. C.m.r các mặt bên của hình chóp là các tam giác cân bằng nhau.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA =a và SA (ABCD).
a. Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC), (SCD) với đáy (ABCD). b. Tính góc giữa các mặt phẳng (SCB) và (SCD).
2.2.6. Dạy học khái niệm hai mặt phẳng vuông góc
Hoạt động hình thành khái niệm
Trước khi đi vào dạy học khái niệm, giáo viên giới thiệu cho học sinh về hình ảnh của khu đô thị Mỹ Đình, Khu đô thị Thành Phố Vũng Tàu.
Từ đó, giáo viên đưa ra cho học sinh khái niệm hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90O. Khi (P) vuông góc với (Q) thì kí hiệu P Q hoặc Q P .
Nêu phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc bằng định nghĩa từ đó nêu lên điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng.
Đưa ra định lí: “Nếu mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau”.
Hướng dẫn học sinh chứng minh định lí.
Hoạt động củng cố khái niệm
Để củng cố khái niệm này, giáo viên đưa ra hệ thống ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA =
2
a
. Lấy H trung điểm của BC. Tìm các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SAH)?
Ví dụ 2: Hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến ∆. Lấy A, B cùng thuộc ∆ và lấy C (P), D (Q) sao cho BD AC, AC AB và AB = AC = BD.
a. Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp qua A và vuông góc với CD. b. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = B
2.2.7. Dạy học khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đƣờng thẳng
Hoạt động hình thành khái niệm
Đưa ra định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng ).
Ký hiệu: +Khoảng cách từ M đến (P) ký hiệu là d(M, (P)).
+Khoảng cách từ M đến (P) ký hiệu là d(M, ( )).
Nêu các câu hỏi mang tính chất trả lời nhanh.
Hoạt động củng cố khái niệm
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
a.
2
a a
b. a c.a 2 d. 2a.
2.2.8. Dạy học khái niệm khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song
Hoạt động hình thành khái niệm:
Nêu tình huống 1: Cho a // (P), lấy A, B a. Hãy so sánh d(A, (P)) và d(B, (P))?
Giải quyết tình huống và đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).
Nêu câu hỏi: Khi đường thẳng a // (P), trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến một điểm bất kì của (P), khoảng cách nào là nhỏ nhất?
Nêu tình huống 2: Cho (P) // (Q); lấy A, B (P). Hãy so sánh d(A, (Q)) và d(B, (Q))?
Giải quyết tình huống cùng học sinh và đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: “Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu: d((P), (Q)).
Từ định nghĩa suy ra d((P), (Q)) = d(A,(P)) = d(B,(Q)), trong đó A, B thỏa mãn A (P), B (Q)”.
Nêu câu hỏi: Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song, khoảng cách nào là nhỏ nhất ?
Hoạt động củng cố khái niệm
Ví dụ :Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của DA, DC, DD’. Tính d((D’AC), (MNP)) = ?
2.2.9. Dạy học khái niệm khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau
Hoạt động hình thành khái niệm
Để hình thành khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, GV tổ chức cho học sinh những hoạt động sau:
Đưa ra bài toán “Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tìm đường thẳng c cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b”.
Hướng dẫn học sinh giải bài toán trên.
Đưa ra các thuật ngữ đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Nêu ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
“Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó”.
Nêu câu hỏi cho học sinh trả lời nhanh.
Hoạt động củng cố khái niệm
Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? a.Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
b. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
c. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
d. Các mệnh đề trên đều sai.
Nêu PP dựng đường vuông góc chung của 2 đường chéo nhau a và b:
Cách 1: B1: Dựng (Q) chứa b và (Q) // a; B2: Lấy M a và dựng MH (Q); B3: Lấy d = (a, MH) (Q) và B = b d; B4: Dựng c chứa B và c // MH cắt a ở A thì AB là cần tìm. Cách 2:
Để xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta tìm trên hai đường thẳng hai điểm A và B sao cho AB vuông góc với cả a và b. Tìm A a và B b sao cho AB a và AB b.
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy xác định đường vuông góc chung của:
a. AB và DD’. b. BC và A’C’. c. DC’ và A’B.
Ví dụ 3:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’: AB = a, AD = b, AA = c.
a. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’). b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.
KẾT LUẬN
Thực hiện đề tài, tôi đã cố gắng hoàn thành các nhiệm vụ đặt ra sau đây:
+ Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh theo phương pháp dạy học tích cực.
+ Phương pháp sử dụng một số phần mềm chuyên dụng trong dạy học môn toán ở phổ thông.
+ Thiết kế và xây dựng tập tư liệu thông tin hỗ trợ tổ chức dạy học theo phương pháp tích cực các khái niệm về quan hệ vuông góc trong không gian – Hình học 11 nâng cao.
Sau quá trình thực hiện đề tài, tôi rút ra một số kết luận sau:
Dạy học với sự hỗ trợ của CNTT sẽ giúp giáo viên tiết kiệm được nhiều thời gian trong việc ghi bảng, hoặc sử dụng những loại đồ dùng trực quan. Từ đó, giáo viên có điều kiện tốt để tổ chức cho học sinh thảo luận, phát huy tính tích cực trong học tập. Bài giảng điện tử góp phần hướng dẫn hoạt động nhận thức của học sinh, kích thích học sinh hứng thú học tập, tạo niềm say mê với