Trong một số bài toán, người ta đưa ra một số tình huống có thể xảy ra và yêu cầu ta lựa chọn lấy một tình huống hợp lý nhất theo điều kiện của đề bài.
Khi giải bài toán bằng phương pháp lựa chọn tình huống, ta dần loại bỏ các tình huống đã cho trong đề bài (bằng cách chỉ ra nó mâu thuẫn với tình huống khác). Tình huống cuối cùng không bị loại bỏ ta sẽ chỉ ra nó thỏa mãn yêu cầu của đề bài. (xem [8], tr.139)
Ví dụ 1:
Tổ Toán - Tin của một trường trung học phổ thông có năm người: thầy Hùng, thầy Quân, cô Nhung, cô Tấn, cô Cúc. Kỳ nghỉ hè cả tổ được hai phiếu nghỉ mát. Mọi người nhường nhau, thầy hiệu trưởng đề nghị mỗi người đề xuất một ý kiến. Kết quả như sau:
1. Thầy Hùng và thầy Quân đi 2. Thầy Hùng và cô Nhung đi 3. Thầy Quân và cô Tấn đi 4. Cô Cúc và cô Tấn đi 5. Thầy Hùng và cô Tấn đi
Cuối cùng thầy hiệu trưởng quyết định chọn đề nghị của cô Cúc, vì theo đề nghị đó thì mỗi đề nghị đó đều thỏa mãn một phần và bác bỏ một phần.
Bạn hãy cho biết ai đã đi nghỉ mát trong kỳ nghỉ hè đó?
Đề nghị được chọn thỏa mãn yêu cầu của đề bài ta lần lượt xét đề nghị của từng người. Sẽ có hai khả năng xảy ra
- Có một trong bốn đề nghị còn lại bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta loại bỏ đề nghị đó.
- Không có đề nghị nào trong bốn đề nghị còn lại bị bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta chọn đề nghị đó.
Lời giải:
Ta nhận xét
- Nếu chọn đề nghị thứ nhất thì đề nghị thứ tư bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ nhất và đề nghị thứ tư.
- Nếu chọn đề nghị thứ hai thì đề nghị thứ ba bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọn đề nghị thứ hai và đề nghị thứ ba.
- Nếu chọn đề nghị thứ năm thì mỗi đề nghị trong bốn đề nghị còn lại đều thỏa mãn một phần và bác bỏ một phần
Vậy kỳ nghỉ hè năm đó thầy Hùng và cô Tấn đã đi nghỉ mát.
Ví dụ 2:
Sau giờ tập luyện buổi sáng, đội tuyển thể thao rủ nhau vào quán ăn trưa. Thực đơn của quán có tám món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá rán, ốc xào măng và canh chua. Toàn đội thống nhất sẽ gọi ba món trong thực đơn cho bữa ăn. Nguyện vọng của các cầu thủ chia ra thành năm nhóm như sau:
Nhóm 1: Gà luộc, nem rán và chim quay Nhóm 2: Đậu rán, bò xào và cá rán.
Nhóm 3: Bò xào, cá rán và ốc xào măng. Nhóm 4: Nem rán, ốc xào măng và canh chua Nhóm 5: Gà luộc, bò xào và canh chua
Cuối cùng toàn đội đồng ý với thực đơn của đội trưởng đã chọn, vì theo thực đơn đó mỗi nhóm đều có ít nhất một món mà mình ưa thích.
Hỏi toàn đội hôm đó đã ăn những món gì?
Lời giải:
Ta nhận xét
- Nếu chọn thực đơn của nhóm một thì cả nhóm hai và nhóm ba đều không có món nào mà mình ưa thích. Vậy không thể chọn thực đơn của ba nhóm đầu.
- Nếu chọn thực đơn của nhóm bốn thì nhóm hai không có món nào mà mình ưa thích. Vậy không thể chọn thực đơn của nhóm bốn.
- Nếu chọn thực đơn của nhóm năm thì mỗi nhóm trong bốn nhóm còn lại đều có ít nhất một món mà mình ưa thích.
Vậy bữa trưa hôm đó toàn đội đã chọn thực đơn gồm ba món: gà luộc, bò xào và canh chua.
Ví dụ 3:
Năm bạn Anh, Bình, Cúc, Doan, An quê ở năm tỉnh: Bắc Ninh, Hà Tây, Cần Thơ, Nghệ An, Tiền Giang. Khi được hỏi quê ở tỉnh nào, các bạn trả lời như sau:
Bình: Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Cúc ở Tiền Giang Cúc: Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Doan ở Hà Tây Doan: Tôi quê ở Cần Thơ, còn Anh ở Hà Tây
Nếu không bạn nào trả lời sai hoàn toàn thì quê của mỗi bạn ở tỉnh nào?
Phân tích:
- Trước hết cần tìm hiểu “không bạn nào trả lời sai hoàn toàn” nghĩa là gì?
Mỗi câu trả lời đều nói về quê quán của hai người. Nếu câu trả lời sai hoàn toàn thì có nghĩa là quê của cả hai người đó không ở hai tỉnh đó. Vậy câu trả lời không sai hoàn toàn có nghĩa là một trong hai người đó hoặc cả hai người có quê ở hai tỉnh đó.
Chẳng hạn, câu trả lời của Anh không sai hoàn toàn, có nghĩa là hoặc Anh quê ở Bắc Ninh, còn quê của Doan không ở Nghệ An hoặc quê của Anh không ở Bắc Ninh còn quê Doan ở Nghệ An hoặc Anh quê ở Bắc Ninh và Doan quê ở Nghệ An.
- Để xác định quê quán của mỗi bạn, ta lần lượt xét câu trả lời của mỗi người: Mỗi câu trả lời nói về quê quán của hai người. Ta lần lượt xét các trường hợp sau:
+ Quê của người thứ nhất trong câu trả lời là đúng. Bằng suy luận ta xét các câu trả lời của bốn người còn lại. Nếu không có câu nào sai hoàn toàn thì ta xác định được quê của người đó. Tiếp đó ta xác định quê của bốn người còn lại. Nếu có một câu trả lời (trong bốn câu còn lại) bị sai hoàn toàn thì quê của người thứ nhất trong câu trả lời không ở tỉnh đó. Vậy quê của người thứ
+ Quê của người thứ nhất trong câu trả lời là sai. Vậy quê của người thứ hai trong câu trả lời là đúng. Ta xác định được quê của người này. Tiếp đó ta xác định được quê của bốn người còn lại.
Lời giải:
Giả sử Anh ở Bắc Ninh, thế thì quê của Bình và Cúc đều không ở Bắc Ninh. Vậy theo Bình thì Cúc quê ở Tiền Giang và theo Cúc thì Doan quê ở Hà Tây. Vì Anh quê ở Bắc Ninh nên quê của Anh không ở Hà Tây. Vậy theo Doan thì Doan quê ở Cần Thơ. Cuối cùng thì Bình quê ở Nghệ An.
Ví dụ 4:
Cúp Tiger 98 có 4 đội lọt vào bán kết: Việt Nam, Singapo, Thái Lan và Inđônexia. Trước khi vào thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dũng, Quang, Tuấn dự đoán như sau:
Dũng: Singapo nhì, còn Thái Lan ba Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư Tuấn: Singapo nhất và Inđônexia nhì
Kết quả mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?
Lời giải:
- Nếu Singapo đạt giải nhì thì Singapo không đạt giải nhất. Vậy (theo Tuấn) thì Inđônexia đạt giải nhì. Điều này vô lý vì có hai đội đều đạt giải nhì.
- Nếu Singapo không đạt giải nhì thì theo Dũng, Thái Lan đạt giải ba. Như vậy, Thái Lan không đạt giải tư. Theo Quang, Việt Nam đạt giải nhì. Thế
thì Inđônexia không đạt giải nhì. Vậy theo Tuấn, Singapo đạt giải nhất, cuối cùng còn đội Inđônexia đạt giải tư.
Kết luận: Thứ tự giải của các đội trong Cúp Tiger 98 là:
Nhất: Singapo Nhì: Việt Nam Ba: Thái Lan Tư: Inđônexia
Ví dụ 5:
Năm cô giáo Nga, Dung, Cúc, Hồng, Anh dạy năm khối: 1, 2, 3, 4 và 5. Khi hỏi các cô dạy lớp mấy thì các cô trả lời như sau:
Cô Nga: Tôi dạy khối 1 còn cô Hồng dạy khối 4. Cô Dung: Tôi cũng dạy khối 1 còn cô Cúc dạy khối 5. Cô Cúc: Tôi cũng dạy khối 1 còn cô Hồng dạy khối 2. Cô Hồng: Tôi dạy khối 4 còn cô Anh dạy khối 3. Cô Anh: Tôi dạy khối 3 còn cô Nga dạy khối 2.
Nếu không có ai trả lời sai hoàn toàn thì mỗi cô dạy lớp mấy?
Phân tích:
- Trước hết ta cần hiểu “Không ai trả lời sai hoàn toàn” có nghĩa là gì? Mỗi câu trả lời đều nói về hai cô giáo dạy lớp mấy. Nếu câu trả lời sai hoàn toàn thì có nghĩa là cả hai cô giáo đều không dạy các lớp đó. Vậy câu trả lời không sai hoàn toàn có nghĩa là một trong hai cô giáo hoặc cả hai cô đang dạy lớp đó.
Chẳng hạn, câu trả lời của cô Nga không sai hoàn toàn có nghĩa là: Cô Nga dạy khối 1 còn cô Hồng không dạy khối 4 hoặc cô Nga không dạy khối 1 còn cô Hồng dạy khối 4 hoặc cô Nga dạy khối 1 và cô Hồng dạy khối 4.
- Để xác định mỗi cô đang dạy lớp mấy, ta lần lượt xét câu trả lời của mỗi người. Mỗi câu trả lời nói về hai cô đang dạy lớp mấy. Ta lần lượt xét cả 2 trường hợp sau:
+ Người thứ nhất trong câu trả lời đang dạy lớp đó. Bằng suy luận, ta xét các câu trả lời của bốn người còn lại. Nếu không có câu nào sai hoàn toàn thì ta xác định được cô đó dạy lớp mấy. Tiếp đó ta xác định mỗi cô còn lại đang dạy lớp nào. Nếu có một câu trả lời (trong bốn câu còn lại) bị sai hoàn toàn thì người thứ nhất (trong câu trả lời đó) không dạy lớp đó. Vậy người thứ hai đang dạy lớp nêu trong câu trả lời đó. Tiếp đó ta xác định mỗi cô còn lại đang dạy lớp nào.
Ví dụ 6:
Trong hội khỏe Phù Đổng, đội tuyển của bốn trường tiểu học: Hòa Bình, Nguyễn Du, Hoàng Diệu, Điện Biên lọt vào vòng bán kết thì đấu cầu. Trước khi vào đấu vòng bán kết, ba bạn Nam, Bình, Quân dự đoán như sau:
Nam: Hòa Bình giải nhì còn Nguyễn Du giải ba Bình: Hoàng Diệu giải nhì còn Nguyễn Du giải tư Quân: Hòa Bình giải nhất còn Điện Biên giải nhì Kết quả mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội Hỏi mỗi trường đã đạt giải mấy?
Lời giải:
- Nếu trường Hòa Bình đạt giải nhì thì sẽ không đạt giải nhất. Vậy (theo Quân) thì trường Điện Biên đạt giải nhì. Điều này vô lý, vì có hai đội đoạt giải nhì. Vậy trường Hòa Bình không đạt giải nhì.
- Nếu trường Hòa Bình không đạt giải nhì thì (theo Nam) trường Nguyễn Du đạt giải ba. Mà như vậy trường Nguyễn Du không đạt giải tư. Vậy (theo Bình) thì trường Hoàng Diệu đạt giải nhì. Và cuối cùng Hòa Bình đạt giải nhất, Điện Biên đạt giải tư.
Kết luận: Thứ tự giải đá cầu của bốn trường là: Nhất: Hòa Bình;
Nhì: Hoàng Diệu; Ba: Nguyễn Du; Tư: Điện Biên.
Ví dụ 7:
Các bạn cháu ngoan Bác Hồ của trường tiểu học Kim Liên đi tham quan các danh lam thắng cảnh của thủ đô Hà Nội. Buổi trưa cả đoàn rẽ vào quán ăn trưa. Thực đơn của quán có tám món: thịt lợn kho, lạc rang, trứng rán, đậu sốt, rau luộc, cá rán, dưa chua và canh măng. Toàn đoàn thống nhất sẽ gọi ba món trong thực đơn của bữa ăn. Nguyện vọng của các bạn chia làm năm nhóm như sau:
Nhóm 1: Thịt lợn kho, lạc rang và trứng rán. Nhóm 2: Đậu sốt, rau luộc và cá rán.
Nhóm 3: Rau luộc, cá rán và dưa chua. Nhóm 4: Lạc rang, dưa chua và canh măng. Nhóm 5: Thịt lợn kho, rau luộc và canh măng
Cuối cùng các bạn đồng ý với thực đơn của liên đội trưởng, và theo thực đơn đó, mỗi nhóm đều có ít nhất một món mà mình ưa thích.
Hỏi toàn đoàn hôm đó ăn những món gì?
Lời giải:
- Nếu chọn thực đơn của nhóm 1 thì cả hai nhóm 2 và 3 đều không có món nào mình ưa thích. Vậy không thể chọn thực đơn của ba nhóm đầu.
- Nếu chọn thực đơn của nhóm 4 thì nhóm 2 sẽ không có món nào mình ưa thích. Vậy không thể chọn thực đơn của nhóm 4.
- Nếu chọn thực đơn của nhóm 5 thì mỗi nhóm còn lại đều có ít nhất một món mà mình ưa thích.
Vậy toàn đoàn đã ăn các món: Thịt lợn kho, rau luộc và canh măng. 2.1.4 Phương pháp thử chọn
Phương pháp thử chọn dùng để giải các bài toán về tìm một số khi số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước.
Phương pháp thử chọn có thể dùng để giải các bài toán về cấu tạo số tự nhiên, cấu tạo số thập phân, cấu tạo phân số và cả các bài toán có văn về hình học, toán về chuyển động đều, tính toán tuổi, …
Khi giải các bài toán bằng phương pháp thử chọn, ta tiến hành theo hai bước:
Bước 1: Liệt kê: Trước hết ta xác định các số thỏa mãn một số trong các điều kiện mà đề bài yêu cầu (tạm bỏ qua các điều kiện còn lại). Để lời giải ngắn gọn và chặt chẽ, ta cần cân nhắc chọn điều kiện để liệt kê sao cho số các số liệt kê được theo điều kiện này là ít nhất.
Bước 2: Kiểm tra và kết luận: Lần lượt kiểm tra mỗi số vừa liệt kê ở bước 1 có thỏa mãn các điều kiện còn lại mà đề bài yêu cầu hay không? Số nào thỏa mãn là số phải tìm. Số nào không thỏa mãn một trong các điều kiện
còn lại thì ta loại bỏ. Bước kiểm tra và kết luận thường được thể hiện trong một bảng. (xem [9], tr.139)
Ví dụ 1:
Tìm số tự nhiên lẻ có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 9 và tích các chữ số của nó là số tròn chục có hai chữ số
Phân tích:
Số cần tìm phải thỏa mãn ba điều kiện: - Là số lẻ
- Có tổng các chữ số bằng 9
- Có tích các chữ số là một số tròn chục có hai chữ số
Trong bước thứ nhất ta có thể liệt kê các số thỏa mãn điều kiện thứ nhất và thứ hai hoặc liệt kê các số thỏa mãn điều kiện thứ nhất và thứ ba.
Nếu chọn cách một ta được các số 81, 27, 63 và 45. Nếu chọn cách hai ta được các số 25, 45, 65, 85.
Trong bước thứ hai ta lần lượt kiểm tra từng số vừa liệt kê với điều kiện còn lại rồi rút ra kết luận.
Lời giải:
Cách 1: Các số lẻ có hai chữ số mà tổng các chữ số bằng 9 là 81, 27, 63 và 45. Ta có bảng sau:
81 8 Loại 27 14 Loại 63 18 Loại 45 20 Chọn Vậy số phải tìm là 45. Cách 2: Các số lẻ có hai chữ số mà tích các chữ số của nó là số tròn chục là 25, 45, 65 và 85. Ta có bảng sau: ab ab Kết luận 25 7 Loại 45 9 Chọn 65 11 Loại 85 13 Loại Vậy số phải tìm là 45. Ví dụ 2:
Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hang đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm và nếu lấy tích chữ số hàng đơn vị và hàng trăm chia cho tổng của chúng ta được chữ số hàng chục của số cần tìm.
Phân tích:
Số phải tìm thỏa mãn ba điều kiện:
- Là số có ba chữ số: abc
- Chữ số hàng chục bằng thương của tích chữ số hàng đơn vị với hàng trăm chia cho tổng của chúng: b c a:ca
Trong bước thứ nhất, ta lần lượt liệt kê các số thỏa mãn điều kiện thứ nhất và thứ hai. Ta được các số 1 2b , 2 4b , 3 6b , 4 8b .
Trong bước thứ hai, ta lần lượt kiểm tra từng số vừa liệt kê với điều kiện còn lại rồi rút ra kết luận.
Lời giải:
Các số có ba chữ số, trong đó chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm là 1 2b , 2 4b , 3 6b , 4 8b .Ta có bảng sau:
abc a c :ac Kết luận 1b2 1 2 : 1 2 2 3 Loại 2b4 2 4 : 2 4 4 3 Loại 3b6 3 6 : 3 6 2 Chọn 4b8 4 8 : 4 8 8 3 Loại Vậy số cần tìm là 326. Ví dụ 3:
Tìm số có bốn chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 2 và 3, đồng thời các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và đơn vị của số đó theo thứ tự là bốn chữ số tự nhiên liên tiếp xếp theo thứ tự tăng dần.