§2 KHÔNG GIAN THUẦN NHẤT VÀ TOÁN TỬ
2.2.2Toán tử chính quy
Định nghĩa 2.2.2.1
Cho X, Y là hai không gian lồi địa phương. Ta gọi ánh xạ tuyến tính liên tục :
f X Y là một toán tử chính quy nếu có ánh xạ thuần nhất liên tục f:Y X sao cho ff f f (2.7).
Từ đây khi nói toán tử chính quy f thì kí hiệu f là chỉ ánh xạ thuần nhất thỏa (2.7).
Ví dụ 2.2.2.2
Với X, Y là hai không gian lồi địa phương, ta có1 :X X X và 0 : X Y là các toán tử chính quy.
Mệnh đề 2.2.2.3
Cho toán tửchính quy f :X Y, khi đó:
i) Nếu f đơn ánh thì f f 1X
ii) Nếu f toàn ánh thì ff 1Y
Chứng minh:
i) Giả sử f làđơn ánh. Khi đó với mọi xX ta có: ff f x f x ; mà f là đơn ánh
nên f f x x. Suy ra f f 1X.
ii) Giả sửf là toàn ánh. Khi đó với mọi yY , tồn tại xX sao cho y f x . Ta có:
ff y ff f x f x y. Suy ra ff 1Y.
Mệnh đề 2.2.2.4
Cho X, Y là các không gian lồi địa phương. Nếu ánh xạ tuyến tính h X: Y là ánh xạ thuần nhất liên tục thì h liên tục.
Vì h là ánh xạ tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh h liên tục tại điểm gốc. Thật vậy, lấy V là một lân cận bất kì trên Y. Khi đó doUY là cơ sở lân cận của gốc nên tồn tại VUY sao cho V V . Theo định nghĩa ánh xạ thuần nhất thì có UUX sao cho
h U VV ; đây là điều cần phải chứng minh.
Mệnh đề 2.2.2.5
Cho B là không gian lồi địa phương và A là không gian con của B. Khi đó ánh xạ
nhúng liên tục :i AB là toán tửchính qui. Chứng minh:
Gọi ei i J là cơ sở thuần nhất của A, ta có thể bổ sung thêm các ei i J để được
cơ sở thuần nhất của B. Khi đó với mỗi iJ, đặt i e i ei; với mỗi iJ, đặt
i 0
i e . Do đã xác định đượcảnh của cơ sở thuần nhất nên ta xác định được ánh xạ
thuần nhất i B: A. Với mọi xA thì i x x A nên tồn tại iJ và có số thực
i
r sao cho i x r ei i, ta có: ii i x ii r e i i i r ei i r ei i i x . Vậy ii i i. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta chứng minh i B: A là ánh xạ thuần nhất liên tục, nghĩa là lấy bất kì lân cận của gốc VUA ta phải chứng minh tồn tại lân cận của gốcUUB sao cho i U V. Thật vậy, do tôpô trên A là tôpô cảm sinh nên có một lân cận U trên B sao cho
V U A và lân cận UUBthỏa U U . Mà với mỗi x U A \ thì i x 0 V
nên ta có i U V suy ra i U i U V. Đây là điều phải chứng minh. Ngoài ra,
do i đơn ánh nên theo mệnh đề 2.2.2.3 ta còn có i i 1A.
Mệnh đề 2.2.2.6
Nếu f :AB là một toán tửchính quy, f có dạng phân tích quaảnh là:
: f i
f A f A B (2.8)
thì f và i là các toán tử chính quy, hơn nữa f là toàn ánh và i là đơn ánh.
Thật vậy, theo mệnh đề 1.4.3.6 f có sự phân tích quaảnh như (2.8), f là toàn xạ
và i là đơn xạ. Khi đó ta đặt ánh xạ g f i f A : A thì g là ánh xạ thuần nhất liên tục. Với mỗi aA, ta có:
f g f a f f i f a f f f a f f f a f f f a f a f a
Theo đó f là một toán tử chính quy. Hơn nữa, đặt ánh xạ j f f:B f A thì j là
ánh xạ thuần nhất liên tục. Khi đó với mỗi y f A , luôn tồn tại aA sao cho
y f a . Ta có: iji y i f f i y ff y fff a f a y i y
.
Vậy i là toán tử chính quy.
Mệnh đề 2.2.2.7
Cho các ánh xạ tuyến tính liên tục f :AB, g B: C và gf :AC. Nếu f là toán tử chính quy và f toàn ánh thì Im Imgf Img.
Chứng minh:
Theo mệnh đề 1.4.3.6, gf và g được viết dưới dạng phân tích quaảnh lần
lượt là: 1 : j gf A X C nghĩa là gf j 2 : g i g BX C nghĩa là g i g
Ta cóảnh của gf là đơn ánh tuyến tính liên tục Imgf j gf A: C vàảnh của g là đơn ánh tuyến tính liên tục Img i g B: C , trong đó i j là các ánh, xạ nhúng, liên tục. Vì f là toàn ánh nên theo nghĩa tập hợp thì gf A g B X ;
nhưng có thể trên X lần lượt trang bị hai tôpô khác nhau nên chúng khác nhau. Để
không nhầm lẫn ta sẽ gọi không gian lồi địa phương gf A là X1, tôpô trên đó làT1; không gian lồi địa phương g B là X2, tôpô trên đó là T2.
Vậy gf i g f nên theo tính phổ dụng của Im thì có cấu xạ : X1 X2 sao cho i j. Như vậy, với mỗi yX1gf A , ta có y j y i y y ; tức là là một cấu xạ nhúng từ X1 đến X ; d2 ẫn đến là một song xạ. Vì thế với mỗi tập mở 2 GT thì 1 1 G G T ; mọi tập mở trong X2 đều là mở trong X .1
Mặt khác, do f toàn ánh nên với mỗi phần tử bB, tồn tại phần tử aA sao cho b f a ; nếu có a a1, 2A sao cho b f a 1 f a 2 , ta suy ra: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 2 1 2 1 2 1
gf a gf a j a j a a a X
Khi đó ánh xạ h B: X1:b a , trongđó b f a , là được xây dựng hợp lí. Từ là ánh xạ tuyến tính nên h là ánh xạ tuyến tính. Theo cách xây dựng h thì dễ
kiểm tra hf (2.9). Ta nhân ánh xạ f vào bên phải đẳng thức (2.9) , nhờ tính toàn ánh và chính quy của f nên theo mệnh đề 2.2.2.3 ta có: hhff f. Điều này cho thấy h là ánh xạ thuần nhất liên tục nên theo mệnh đề 2.2.2.4 ta có h là ánh xạ liên tục
trên B.
Ta có gf j jhf mà f toàn xạ nên g jh. Theo tính phổ dụng của Im g ,
ta có cấu xạ : X2 X1 sao cho i j. Dễ kiểm tra được là ánh xạ nhúng từ X2
đến X ; d1 ẫn đến là một song xạ. Vì thế với mỗi tập mở GT1 thì 1
2
G G T ;mọi tập mở trong X1 đều là mở trong X2. Như vậy hai tôpôT T1, 2 là bằng nhau, từ đó mọi tập mở trong X1 đều là mở trong X2. Như vậy hai tôpôT T1, 2 là bằng nhau, từ đó
hai không gian X ,1 X là b2 ằng nhau; dẫn đến hai cấu xạ Img i X: 2 C,
1