Toán tử chính quy

§2 KHÔNG GIAN THUẦN NHẤT VÀ TOÁN TỬ

2.2.2 Toán tử chính quy

Định nghĩa 2.2.2.1

Cho X, Y là hai không gian lồi địa phương. Ta gọi ánh xạ tuyến tính liên tục :

f X Y là một toán tử chính quy nếu có ánh xạ thuần nhất liên tục f:Y  X sao cho ff f  f (2.7).

Từ đây khi nói toán tử chính quy f thì kí hiệu f là chỉ ánh xạ thuần nhất thỏa (2.7).

Ví dụ 2.2.2.2

Với X, Y là hai không gian lồi địa phương, ta có1 :X X  X và 0 : X Y là các toán tử chính quy.

Mệnh đề 2.2.2.3

Cho toán tửchính quy f :X Y, khi đó:

i) Nếu f đơn ánh thì f f 1X

ii) Nếu f toàn ánh thì ff 1Y

Chứng minh:

i) Giả sử f làđơn ánh. Khi đó với mọi xX ta có: ff f x   f x ; mà f là đơn ánh

nên f f x  x. Suy ra f f 1X.

ii) Giả sửf là toàn ánh. Khi đó với mọi yY , tồn tại xX sao cho y f x . Ta có:

     

ff y  ff f x  f x  y. Suy ra ff 1Y.

Mệnh đề 2.2.2.4

Cho X, Y là các không gian lồi địa phương. Nếu ánh xạ tuyến tính h X: Y là ánh xạ thuần nhất liên tục thì h liên tục.

Vì h là ánh xạ tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh h liên tục tại điểm gốc. Thật vậy, lấy V là một lân cận bất kì trên Y. Khi đó doUY là cơ sở lân cận của gốc nên tồn tại VUY sao cho V V . Theo định nghĩa ánh xạ thuần nhất thì có UUX sao cho

 

h U VV ; đây là điều cần phải chứng minh.

Mệnh đề 2.2.2.5

Cho B là không gian lồi địa phương và A là không gian con của B. Khi đó ánh xạ

nhúng liên tục :i AB là toán tửchính qui. Chứng minh:

Gọi  ei i J là cơ sở thuần nhất của A, ta có thể bổ sung thêm các  ei i J  để được

cơ sở thuần nhất của B. Khi đó với mỗi iJ, đặt i e i ei; với mỗi iJ, đặt

 i 0

i e  . Do đã xác định đượcảnh của cơ sở thuần nhất nên ta xác định được ánh xạ

thuần nhất i B:  A. Với mọi xA thì i x  x A nên tồn tại iJ và có số thực

i

r sao cho i x r ei i, ta có: ii i x  ii r e   i i i r ei i r ei i i x . Vậy ii i i.

Ta chứng minh i B:  A là ánh xạ thuần nhất liên tục, nghĩa là lấy bất kì lân cận của gốc VUA ta phải chứng minh tồn tại lân cận của gốcUUB sao cho i U V. Thật vậy, do tôpô trên A là tôpô cảm sinh nên có một lân cận U trên B sao cho

V  U A và lân cận UUBthỏa U U . Mà với mỗi x U A \ thì i x  0 V

nên ta có i U V suy ra i U  i U V. Đây là điều phải chứng minh. Ngoài ra,

do i đơn ánh nên theo mệnh đề 2.2.2.3 ta còn có i i 1A.

Mệnh đề 2.2.2.6

Nếu f :AB là một toán tửchính quy, f có dạng phân tích quaảnh là:

 

: f i

f A f A B (2.8)

thì f và i là các toán tử chính quy, hơn nữa f là toàn ánh và i là đơn ánh.

Thật vậy, theo mệnh đề 1.4.3.6 f có sự phân tích quaảnh như (2.8), f là toàn xạ

và i là đơn xạ. Khi đó ta đặt ánh xạ g f i f A :   A thì g là ánh xạ thuần nhất liên tục. Với mỗi aA, ta có:

               

f g f a  f f i f a  f f f a  f f f a    f f f a   f a  f a

Theo đó f là một toán tử chính quy. Hơn nữa, đặt ánh xạ j  f f:B f A  thì j là

ánh xạ thuần nhất liên tục. Khi đó với mỗi y f A , luôn tồn tại aA sao cho

 

y f a . Ta có: iji y  i f f i  y  ff y  fff a   f a  y i y 

  .

Vậy i là toán tử chính quy.

Mệnh đề 2.2.2.7

Cho các ánh xạ tuyến tính liên tục f :AB, g B: C và   gf :AC. Nếu f là toán tử chính quy và f toàn ánh thì Im Imgf Img.

Chứng minh:

Theo mệnh đề 1.4.3.6,   gf và g được viết dưới dạng phân tích quaảnh lần

lượt là: 1 : j gf A  X C     nghĩa là   gf  j 2 : g i g BX C nghĩa là g i g

Ta cóảnh của gf là đơn ánh tuyến tính liên tục Imgf  j gf A:  C vàảnh của g là đơn ánh tuyến tính liên tục Img i g B:  C , trong đó i j là các ánh, xạ nhúng, liên tục. Vì f là toàn ánh nên theo nghĩa tập hợp thì gf A g B  X ;

nhưng có thể trên X lần lượt trang bị hai tôpô khác nhau nên chúng khác nhau. Để

không nhầm lẫn ta sẽ gọi không gian lồi địa phương gf A là  X1, tôpô trên đó làT1; không gian lồi địa phương g B là  X2, tôpô trên đó là T2.

Vậy   gf i g f nên theo tính phổ dụng của Im thì có cấu xạ  : X1 X2 sao cho i  j. Như vậy, với mỗi yX1gf A , ta có y j y i  y  y ; tức là là một cấu xạ nhúng từ X1 đến X ; d2 ẫn đến  là một song xạ. Vì thế với mỗi tập mở 2 GT thì 1  1 G G T ; mọi tập mở trong X2 đều là mở trong X .1

Mặt khác, do f toàn ánh nên với mỗi phần tử bB, tồn tại phần tử aA sao cho b f a ; nếu có a a1, 2A sao cho b f a 1  f a 2 , ta suy ra:

 1  2  1  2  1  2 1

gf a gf a  j a  j a   a   a X

Khi đó ánh xạ h B:  X1:b  a , trongđó b f a , là được xây dựng hợp lí. Từ  là ánh xạ tuyến tính nên h là ánh xạ tuyến tính. Theo cách xây dựng h thì dễ

kiểm tra hf   (2.9). Ta nhân ánh xạ f vào bên phải đẳng thức (2.9) , nhờ tính toàn ánh và chính quy của f nên theo mệnh đề 2.2.2.3 ta có: hhff f. Điều này cho thấy h là ánh xạ thuần nhất liên tục nên theo mệnh đề 2.2.2.4 ta có h là ánh xạ liên tục

trên B.

Ta có gf     j jhf mà f toàn xạ nên g  jh. Theo tính phổ dụng của Im g ,

ta có cấu xạ : X2  X1 sao cho i j. Dễ kiểm tra được  là ánh xạ nhúng từ X2

đến X ; d1 ẫn đến  là một song xạ. Vì thế với mỗi tập mở GT1 thì 1 

2

G  G T ;mọi tập mở trong X1 đều là mở trong X2. Như vậy hai tôpôT T1, 2 là bằng nhau, từ đó mọi tập mở trong X1 đều là mở trong X2. Như vậy hai tôpôT T1, 2 là bằng nhau, từ đó

hai không gian X ,1 X là b2 ằng nhau; dẫn đến hai cấu xạ Img i X: 2 C,

 1 