II. Cỏc tài liệu hỗ trợ:
3. Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Giải: n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n n3 – n2 n + 3 3n2 - 3n + 2 3n2 – 3n 2 Ta có: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + 22 n n
Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B n2 – n Ư(2)
2 chia hết cho n(n – 1) 2 chia hết cho n Ta có bảng: n 1 -1 2 -2 n – 1 0 -2 1 -3 n(n – 1) 0 2 2 6 Loại T/m T/m Loại
Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1 Giải: n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1 (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1) n – 1 n2 – n + 1 n(n – 1) n2 – n + 1 Hay n2 – n n2 – n + 1 (n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1 1 n2 – n + 1 Xét hai trường hợp: + n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài
+ n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7 Giải:
29
Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1
- Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k 8 – 1 = 7 Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2. BS7 + 1
2n - 1 không chia hết cho 7
- Nếu n = 3k +2(k N) thì 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3
2n - 1 không chia hết cho 7 Vậy 2n - 1 7 n = 3k (k N)
2. Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ Giải a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Với n chẵn, n = 2k ta có: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Với n lẻ, n = 2k +1, ta có: n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bài 2: Chứng minh rằng
a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n Giải: Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1). Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1 Xét các trường hợp: + Với n = 2kA = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 + Với n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8 Tương tự xét các trường hợp n = 3a, n= 3a 1 để chứng minh A 9 Vậy A8.9 hay A 72
Bài 3: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a2 – 1 chia hết cho 24 Giải:
Vì a2 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻa2 là số chính phương lẻ
a2 chia cho 8 dư 1
a2 – 1 chia hết cho 8 (1)
Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3
a2 là số chính phương không chia hết cho 3a2 chia cho 3 dư 1
a2 – 1 chia hết cho 3 (2) Mà (3,8) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hết cho 24 Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6 -1 chia hết cho 7 Giải:
Bài toán là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:
- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p - Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chia hết cho p
30
Thật vậy, ta có a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)
- Nếu a = 7k 1 (k N) thì a3 = ( 7k 1)3 = BS7 1 a3 - 1 7
- Nếu a = 7k 2 (k N) thì a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 1 7 - Nếu a = 7k 3 (k N) thì a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 1 7 Ta luôn có a3 + 1 hoặc a3 – 1 chia hết cho 7. Vậy a6 – 1 chia hết cho 7
Bài 5: Chứng minh rằng:
Nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504 Giải:
Ta có 504 = 32 . 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một Vì n là lập phương của một số tự nhiên nên đặt n = a3
Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504 Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8
Nếu a lẻ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp(a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8 Vậy A8 , 19 9a nN (1)
+ Nếu a7 a3 7 A 7
Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 17(a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma) Vậy A7 , nN (2)
+ Nếu a3 a3 9 A 9
Nếu a không chia hấe cho 3 a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91
a3 – 1 = BS9+1 – 1 9 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 9 Vậy A9 , nN (3)
Từ (1), (2), (3) A 9 , nN
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 c/ 3 3 4 n n Giải: a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố và 4n +5 > 0 nên 3n – 5 > 0.
Ta lại có: 3n – 5 < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 – 5n – 25 là số ngưyên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2
Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố.
Vậy với n = 2 thì giá trị của biểu thức 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)
Biến đổi tương tự ta được n = 0. Khi đó, 8n2 + 10n +3 là số nguyên tố 3 c/ A = 3 3 4 n n . Do A là số tự nhiên nên n(n + 3) 4.
Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn. Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4 - Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố
- Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố
-Nếu n = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số
- Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố
- Nếu n + 3 = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k - 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số. Vậy với n = 4 thì 3 3 4 n n là số nguyên tố 7 Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn
31
trường gặp hai học sinh. Người khách hỏi:
- Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?
Bạn Mai trả lời:
- Không, em hơn bạn em một tuổi. Nhưng tổng các chữ số của năm sinh mỗi
chúng em đều là số chẵn.
- Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không?
Người khách đã suy luận thế nào? Giải:
Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vì trong trường hợp ngựoc lại thì tổng các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn.
Gọi năm sinh của Mai là 19 9a thì 1 +9+a+9 = 19 + a. Muốn tổng này là số chẵn thì a{1; 3; 5; 7; 9}. Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999. Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980.