3. B§t đ¯ng thùc Harnack và tính duy nh§t nghi»m
3.2. Tính duy nh§t nghi»m
Trong möc này, ta xét bài toán Dirichlet
F (D2u) = 0 trong Ω
u = ϕ treˆ n ∂
Ω
vîi F là elliptic đ·u, ϕ ∈ C(∂ Ω) đã cho. Do F không phö thuëc vào x nên các phương trình này tương tü như các phương trình tuy¸n tính thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng sè.
Trưîc h¸t ta xét các nghi»m x§p x¿ cõa Jensen trong möc 3.2.1. Trong möc 3.2.2 ta sû döng chúng đº chùng minh tính duy nh§t nghi»m cõa bài toán Dirichlet. Trong möc 3.2.3 ta trình bày mët vài ùng döng cõa các nghi»m x§p x¿ đº nhªn đưñc tính C1, α - chính quy cõa nghi»m cõa phương trình F (D2u) = 0. Khi F là lõm theo D2u.
3.2.1. Nghi»m s§p s¿ Jensen
Cho u ∈ C(Ω) và H là tªp mð sao cho H ⊂ Ω. Vîi ε > 0, ta đành nghĩa bao trên ε cõa u (đèi vîi H ) là:
uε (x0) = sup x∈H
u(x) + ε − |x −x0|2 , x0 ∈ H .
V· phương di»n hình håc, đç thà cõa uε là hình bao cõa đç thà hå {Pε }
gçm các paraboloid lõm vîi đë mð 2/ε và đ¿nh (x, u(x) + ε ).
x x∈H
Ta s³ chùng minh r¬ng uε là mët phép ch¿nh hóa tèt cõa u. Thªt vªy, ta có
Đành lý 3.2.1. Ta có các kh¯ng đành sau
(a) uε ∈ C(H ) và uε ↓ u đ·u trên H khi ε → 0.
(b) Vîi måi x0 ∈ H , tçn t¤i mët paraboloid lõm vîi đë mð 2/ε ti¸p xúc
dưîi vîi uε t¤i x0 trong H . Do đó uε là C1,1 dưîi trong H . Nói riêng uε là
kh£ vi c§p hai tøng điºm h¦u khp nơi trong H .
(c) Gi£ sû u là mët nghi»m nhît dưîi cõa F (D2u) = 0 trong Ω và H1 là tªp mð thäa mãn H 1 ⊂ H . Khi đó ta có vîi ε ≤ ε0 (trong đó ε0 ch¿ phö thuëc
- 50 -
vào u, H , H1), uε là nghi»m nhît dưîi cõa F (D2u) = 0 trong H1. Nói riêng
- 50 - 0 0 0 1 ε 0
Tương tü, b¬ng cách sû döng các paraboloid lçi ta có đành nghĩa cõa hàm liên töc uε (trong đó ε là bao dưîi cõa u) là hàm tăng đ·u trên H tîi u và là C1,1 - trên. Ta cũng có uε là các nghi»m trên n¸u u là nghi»m trên cõa F (D2u) = 0.
Đº chùng minh đành lý 3.2.1, ta chùng minh mët sè tính ch§t sau cõa uε .
Bê đ· 3.2.1. Cho x0, x1 ∈ H . Khi đó
(1) ∃x∗0∈ H sao cho uε (x0) = u(x0∗) + ε − x0∗−x0 2/ε . (2) uε (x0) ≥ u(x0) + ε . (3) |uε (x0) − uε (x1)| ≤ (3/ε ) diam(H ) |x −x0|. (4) 0 < ε < ε 0 ⇒ uε (x0) ≤ uε 0 (x0). (5) x∗ − x0 2 ≤ ε osc u. 0 H (6) 0 < uε (x0) − u(x0) ≤ uε (x∗) − u(x0) + ε . Chùng minh
Các kh¯ng đành (1), (2), (4) và (6) là hiºn nhiên. Đº chùng minh (3), ta l§y x ∈ H và lưu ý r¬ng uε (x0) ≥ u(x) + ε − |x −x0|2 1 2 1 2 2 ≥ u(x) + ε − ε |x −x1| 1 2 − ε |x1 −x0| 3 − ε |x −x1| |x1 −x0| ≥ u(x) + ε − ε |x −x1| − ε diam(H ) |x1 − x0|
L§y supremum theo x trên H , ta có (3).
Đº chùng minh (5), ta chú ý r¬ng theo (1) và (2) thì 1 2 ε |x∗− x0| = u(x∗ ) + ε − uε (x0) ≤ u(x∗) − u(x0). Chùng minh đành lí 3.2.1
Theo tính ch§t (3) cõa bê đ· trên ta có uε là liên töc. Tø (4), (5) và (6) cõa bê đ· trên ta cũng có các kh¯ng đành còn l¤i trong (a). Đº chùng minh (b) ta chú ý r¬ng:
1 2 ε
P0(x) = u(x∗) + ε −
ε |x −
x∗| 0 0 ≤ u (x) ∀x ∈ H
- 51 - .
- 51 - 0
0 0
0
ε
Vªy ta có kh¯ng đành thù nh§t trong (b). Sû döng m»nh đ· 1.2.3 (vîi Ω là hình c¦u chùa H ) ta có kh¯ng đành còn l¤i trong (b).
Cuèi cùng ta chùng minh (c). L§y x0 ∈ H1 và gåi P(x) là paraboloid ti¸p xúc trên vơi uε t¤i x0. Xét paraboloid
1 2
Q(x) = P(x + x0 −x∗) +
ε |x0 −x∗| − ε
0 0
Theo tính ch§t (5) cõa bê đ· trên, ta l§y ε0 sao cho ε ≤ ε0, x0 ∈ H1 ⇒ x∗∈ H .
L§y b§t kì x ∈ H đõ g¦n x∗, sao cho x + x0 −x∗
∈ H . Khi đó, theo đành 0 0 nghĩa cõa uε , ta có 1 u(x) ≤ uε (x + x0 −x∗) + |x0 − x∗|2 − ε . Vì th¸ vîi x đõ g¦n x∗, ta có 1 2 u(x) ≤ P(x + x0 −x∗) + ε |x0 − x∗| 0 0 −ε = Q(x).
và u(x∗) = Q(x∗), vì P(x0) = uε (x0). Chùng tä Q ti¸p xúc trên vîi u t¤i
x∗. 0 0 0
Do F (D2u) ≥ 0 nên theo đành nghĩa nghi»m nhît trong Ω, ta có 0 ≤ F (D2Q) = F (D2P).
Chùng tä uε là nghi»m nhît dưîi trong H1. Kh¯ng đành cuèi cùng trong (c) là h» qu£ cõa (b) và bê đ· 2.1.2.
Chú ý 3.2.1. Phương trình F (D2u) = 0 là b§t bi¸n đèi vîi phép bi¸n đêi d¤ng u(x) → u(x + x0) + y0.
3.2.2. Tính duy nh§t nghi»m cõa phương trình F (D2u) = 0
Sau đây là k¸t qu£ chính cõa chương này, nó là sü bi¸n thº cõa đành lí v· tính duy nh§t cõa Jensen.
Đành lý 3.2.2. Cho u là mët nghi»m nhît dưîi cõa F (D2u) = 0 trong Ω và v là mët nghi»m nhît trên cõa F (D2u) = 0 trong Ω. Khi đó
- 52 - λ u −v ∈ S (
- 52 -
Chú ý r¬ng : Đành lí này là t¦m thưíng n¸u mët trong hai hàm u ho°c v thuëc lîp C2. Vì khi đó nó là h» qu£ trüc ti¸p cõa m»nh đ· 2.1.5.
Chùng minh đành lí 3.2.2
Ta cè đành H và H1 sao cho H 1 ⊂ H ⊂ H ⊂ Ω, ta chùng minh r¬ng vîi ε đõ nhä thì uε − vε ∈ S (λ /n, Λ) trong H1. Khi đó ta s³ có u − v
∈ S (λ /n, Λ) trong Ω. Vì H1 ⊂ Ω tùy ý và uε − vε hëi tö đ·u trong H1 tîi u − v và tính đóng cõa lîp S .
Đº chùng minh uε −vε ∈ S (λ /n, Λ) trong H1, ta gåi P là mët paraboloid sao cho uε − vε ≤ P trong Br (x0) ⊂ H1
va`
p(x0). Ta c¦n chùng tä r¬ng M+(D2P, λ /n, Λ) ≥ 0.
uε (x0) −vε (x0) =
Thªt vªy, ta có thº gi£ sû B2r (x0) ⊂ H . L§y δ > 0 và đ°t w(x) = vε (x) − uε (x) + P(x) + δ |x −x0|2 −δ r2. Ta có w ≥ 0 treˆ n ∂ Br (x)
va`
w(x0) < 0. Sû döng tính ch§t (b) cõa đành lí
3.2.1, ta có vîi méi x ∈ Br (x0) tçn t¤i mët paraboloid lçi Px vîi đë mð K ti¸p xúc trên vîi w t¤i x trong Br (x). Trong đó K là mët h¬ng sè không phö thuëc vào x.
Ta áp döng bê đ· 2.2.3 vîi w trong Bd := Br (x0). Vîi các kí hi»u cõa bê đ· đó, ta có n¸u x ∈ Br (x0) ∩ {w = Γw} thì Px cũng ti¸p xúc trên vîi Γw t¤i x trong Br (x). Theo bê đ· 2.2.3 và w(x0) < 0, ta có
Z 0 <
Br (x0)∩{w=Γw}det D2Γw . (3.2.1) Theo tính ch§t (b) cõa đành lí 3.2.1, tçn t¤i A ⊂ Br (x0) sao cho
|Br (x0)\A| = 0, vε , uε (và do đó w) là kh£ vi c§p hai tøng điºm trong A. Theo tính ch§t (c) cõa đành lí 3.2.1, ta có
F (D2vε (x)) ≤ 0 va`
Vì Γw là lçi và Γw ≤ w, nên
F (D2uε (x)) ≥ 0 ∀x ∈ A. (3.2.2)
D2w(x) la` khoˆ ng aˆ m ∀x ∈ A ∩ {w = Γw} . (3.2.3) Tø (3.2.1) và |Br (x0)\A| = 0, ta suy ra
- 53 -
- 53 -
−
nên tçn t¤i điºm x1 ∈ {w = Γw} ∩ A. T¤i đó, theo (3.2.2) và (3.2.3) ta có 0 ≤ F (D2uε (x1)) = F (D2vε (x1) − D2w(x1) + D2P + 2δ I) ≤ F (D2vε (x1) + D2P + 2δ I) ≤ F (D2vε (x1) + D2P) + 2Λδ ≤ F (D2vε (x1)) + Λ D2P)+ −λ (D2P)− + 2Λδ ( ≤ Λ (D2P)+ −λ (D2P) − + 2Λδ ≤ M+(D2P, λ /n, Λ) + 2Λδ . Cho δ → 0 ta nhªn đưñc M+(D2P, λ /n, Λ) ≥ 0.
H» qu£ 3.2.1. Bài toán Dirichlet
F (D2u) = 0 trong Ω
u = ϕ trên ∂ Ω
có không quá mët nghi»m nhît u ∈ C(Ω).
H» qu£ này d¹ th§y tø đành lí 3.2.2 và nguyên lí cüc đ¤i vîi nghi»m nhît dưîi (H» qu£ 2.2.1).
Hơn núa, n¸u bài toán đó có mët nghi»m thuëc C2(Ω) thì tính duy nh§t đưñc suy ngay tø đành nghĩa nghi»m nhît.
3.2.3. Tªp C1,α chính quy cõa phương trình F (D2u) = 0
H» qu£ sau đây cõa đành lí 3.2.2 s³ cho ta C1,α - đánh giá đèi vîi nghi»m cõa F (D2u) = 0. Ta kí hi»u, vîi h > 0, Ωh = {x ∈ Ω : d(x, ∂ Ω) > h} ..
M»nh đ· 3.2.1. Cho u là mët nghi»m nhît cõa F (D2u) = 0 trong Ω. L§y h > 0 và e ∈ Rn có |e| = 1. Khi đó
u(x + he) −u(x) ∈ S(λ /n, Λ) trong Ωh.
M»nh đ· này là h» qu£ trüc ti¸p cõa đành lí 3.2.2 và tính ch§t v(x) = u(x + he) cũng là nghi»m nhît cõa F (D2u) = 0 trong Ωh.
M»nh đ· 3.2.1 và bê đ· sau (sû döng liên ti¸p) s³ cho tính C1,α chính quy cõa nghi»m nhît cõa F (D2u) = 0.
Bê đ· 3.2.2. Cho 0 < α < 1, 0 < β ≤ 1 và K > 0 là các h¬ng sè. Gi£ sû u ∈ L∞ ([−1, 1]) thäa mãn kukL∞([ 1, 1]) ≤ K. Vîi h ∈ R có 0 < |h| ≤ 1, đ°t
vβ , h(x) =u(x + h) −u(x)
- 54 -
α +β
∑
vîi Ih = [−1, 1 −h] n¸u h > 0 và Ih = [−1 −h, 1] n¸u h < 0. Gi£ thi¸t vβ , h ∈ Cα (Ih) và vβ , h Cα (Ih)≤ K vîi 0 < |h| ≤ 1. Khi đó ta có (1) N¸u α + β < 1 thì u ∈ Cα +β ([−1, 1]) va` kukCα +β ([−1, 1]) ≤ CK. (2) N¸u α + β > 1 thì u ∈ C0, 1 ([−1, 1]) va` kukC0, 1([−1, 1]) ≤ CK,
trong đó các h¬ng sè C trong (1) và (2) ch¿ phö thuëc vào α + β .
Chùng minh
Do tính đèi xùng cõa bài toán đèi vîi phép đêi bi¸n x → −x, nên ta ch¿ c¦n đánh giá |u(x + ε ) − u(x)| vîi
−1 ≤ x ≤ 0, ε > 0 va`
x + ε ≤ 1.
Gåi i ≥ 0 là sè nguyên sao cho x + 2iε ≤ 1 < x + 2i+1ε và đ°t τ0 = 2iε . Khi đó −1 ≤ x < x + τ0 ≤ 1 và
1/2 ≤ τ0 ≤ 2. (3.2.4)
Đ°t: w(τ ) = u(x + τ ) −u(x), 0 < τ ≤ τ0. Ta có
|w(τ ) −2w(τ /2)| = |u(x + τ ) −2u(x + τ /2) + u(x)|
= τ β τ α +β vì vβ , τ /2 α 2 vβ , τ /2(x + τ /2) − vβ , τ /2(x) ≤ K 2 .
C ([−1, 1−τ /2]) ≤ K theo gi£ thi¸t. Do vªy |w(τ0) −2w(τ0/2)| ≤ CKτ0 , 2w(τ0/2) −22w(τ0/22) ≤ CK21−(α +β )τ α +β , ... , 2i−1 i−1 i i 0 (i−1)(1−(α +β )) α +β w(τ0/2 ) −2 w(τ0/2 ) ≤ CK2 τ0 ,
vîi h¬ng sè C phö thuëc vào α + β . Cëng các b§t đ¯ng thùc trên, ta đưñc i−1
w(τ0) −2iw(ε ) = w(τ0) −2iw(τ0/2i) ≤ CKτ 0 α +β 2 j(1−( β )). j=0
Do 2−i = τ 0−iε ≤ 2ε (theo (3.2.4)) và kukL∞([−1, 1]) ≤ K, ta có i−1
- 55 - 0 0 |w(ε )| ≤ 2−i |w(τ0)| + CK2−iτ α +β i−1 ∑ j=0 2 j(1−(α +β )) ≤ 4Kε + CKε τ α +β −1 ∑ 2 j(1−(α +β )). j=0
- 55 - 0 0 N¸u α + β < 1 thì |w(ε )| ≤ 4Kε + CKε τ α +β −12i(1−(α +β )) = 4Kε + CKε α +β ≤ CKε α +β . N¸u α + β > 1 thì |w(ε )| ≤ 4Kε + CKε τ α +β −1 ≤ CKε .
Bây gií ta thi¸t lªp k¸t qu£ v· tính C1, α chính quy trong mi·n.
H» qu£ 3.2.2. Cho u là nghi»m nhît cõa F (D2u) = 0 trong B1. Khi đó u ∈ C1, α (B1/2) và
kukC1, α (B
1/2) ≤ C kukL∞(B1) + |F (0)| , trong đó 0 < α < 1 và C là các h¬ng sè phê döng.
Chú ý 3.2.2. Ta chùng minh đưñc r¬ng, n¸u F là lõm ho°c lçi thì nghi»m nhît cõa F (D2u) = 0 trong B1 s³ thuëc C1, 1(B1/2).
Chùng minh h» qu£ 3.2.2
Cè đành e ∈ Rn vîi |e| = 1 và 0 < h < 1/8. Theo m»nh đ· 3.2.1 vîi 0 < β ≤ 1 ta có
1 vβ (x) =
hβ (u(x + he)
−u(x)) ∈ S(λ /n, Λ) trong B7/8.
Do đó, theo Cα đánh giá trong mi·n (theo m»nh đ· 3.1.2 vîi t¿ l» phù hñp), ta có (ð đây C0, β la` C β n¸u β < 1) vβ Cα (Br ) ≤ C(r, s) vβ L∞(B(r+s)/2) ≤ C(r, s)kukC0, β (B s) , (3.2.5) trong đó 0 < r < s ≤ 7/8, 0 < h < (s − r)/2, α là h¬ng sè phê döng và C(r, s) phö thuëc vào n, λ , Λ, r, s.
L§y α đõ nhä, ta có thº gi£ thi¸t có mët sè nguyên phê döng i sao cho iα < 1
- 56 - trong B1. Do đó theo m»nh đ· 3.1.2 ta có
- 56 - 1 2 4 2 vîi K = kukL∞(B1) + |F (0)|. Áp döng (3.2.5) vîi β = α va` r = r1 < s = 7/8 ta có kvα kCα (B r ) ≤ C(r1)kukCα (B 7/8) ≤ C(r1)K
trong đó 0 < h < (7/8 −r1)/2 và C(r1) ch¿ phö thuëc vào n, λ , Λ, r1. Áp döng (vîi e tùy ý như trên) bê đ· 3.2.2 (vîi β = α ) trên các đo¤n song song vîi e, ta có
kukC2α (Br ) ≤ C(r1, r2)K khi r2 < r1
Sû döng (3.2.5) và bê đ· 3.2.2 vîi β = 2α , ta có u ∈ C3α (Br ). Ta có thº lªp l¤i quá trình trên vì iα < 1, (i + 1)α > 1. Theo (2) cõa bê đ· 3.2.2, ta có
kukC0, 1(B3/4) ≤ CK.
Cuèi cùng ta áp döng (3.2.5) vîi β = 1, ta nhªn đưñc
kv1kCα (B1/2) ≤ CkukC0, 1(B3/4) ≤ CK, ∀ |e| = 1, ∀ 0 < h < 1/8. Do v1 là hi»u sè t¿ sè cõa u vîi h và e, nên ta có k¸t luªn u ∈ C1, α (B1/2) và
kukC1, α (B
1/2) ≤ CK.
3.2.4. Áp döng đèi vîi phương trình lõm
Bây gií ta trình bày mët vài áp döng đèi vîi phương trình lõm. Nhî l¤i r¬ng phương trình F (D2u) = 0 là lõm n¸u F là lõm trên không gian các ma trªn đèi xùng.
Đành lý 3.2.3. Cho F là lõm và u, v là các nghi»m nhît dưîi cõa F (D2w) = 0 trong Ω. Khi đó 1 (u + v) là nghi»m nhît cõa F (D2w) = 0 trong Ω.
Chú ý r¬ng đành lí 3.2.3 là hiºn nhiên khi u và v là các C2 - nghi»m dưîi.
Trưîc khi chùng minh đành lý, ta đưa ra mët sè h» qu£ cõa nó.
H» qu£ 3.2.3. Cho F là lõm và gi£ sû F (D2u) = 0 trong Ω theo nghĩa nhît. L§y e ∈ Rn vîi |e| = 1 và h > 0. Khi đó
u(x + he) + u(x − he) −2u(x) λ
h2 ∈ S
- 57 - 2 2 2 − B¬ng cách vi¸t (theo đành lí 3.2.3), ta có 1
2 [u(x + he) + u(x −he) −2u(x)] =
1
2 [u(x + he) + u(x − he)] −u(x) là hi»u cõa mët nghi»m nhît dưîi và mët nghi»m nhît trên. Theo đành lí 3.2.2 ta có h» qu£ 3.2.3.
Tø h» qu£ 3.2.3 và tính đóng cõa S ta có h» qu£ 3.2.4 sau:
H» qu£ 3.2.4. Cho F là lõm và u ∈ C2(Ω) là mët nghi»m cõa F (D2u) = 0 trong Ω. Khi đó, vîi måi e ∈ Rn có |e| = 1,
∂ 2u uee = ∂ e∂ e ∈ S Chùng minh đành lí 3.2.3 λ n , Λ trong Ω.
Ta chùng minh như trong đành lí 3.2.2. Ta có 1 (uε + vε ) là nghi»m nhît dưîi cõa F (D2w) = 0. Gåi P là paraboloid ti¸p xúc trên vîi 1 (uε + vε ) tai x0. Ta c¦n chùng minh F (D2P) ≥ 0. Đ°t w(x) = P(x) + δ |x −x0|2 −δ r2 − 1 (uε + vε ). 2
Cũng như trong chùng minh đành lí 3.2.2, ta áp döng bê đ· 2.2.3 vîi w, tçn t¤i x1 ∈ Ω sao cho uε , vε và w là kh£ vi c§p hai t¤i x1 và
2 1
D2 P + δ |x −x0| (uε + vε )
2 (x1) ≥ 0 (3.2.6)
Hơn núa, F (D2uε (x1)) ≥ 0 và F (D2vε (x1)) ≥ 0.
Vì F lõm, nên ta có F (D2 1 (uε + vε )(x1)) ≥ 0, theo (3.2.6) suy ra F (D2P + 2δ I) ≥ 0.
Cho δ → 0, ta đưñc F (D2P) ≥ 0.
Chú thích: H¦u h¸t các đành lí v· tính duy nh§t đ·u düa trên ý tưðng cõa Jensen trong [J]. Ông ch¿ ra r¬ng nghi»m nhît Lipschitz (vîi cùng giá trà biên) cõa
- 58 - là duy nh§t trong hai trưíng hñp:
(1) F là elliptic suy bi¸n và gi£m theo u ho°c (2) F là elliptic đ·u và không tăng theo u.
- 58 -
K˜T LUŠN
Trên đây là toàn bë nëi dung luªn văn cõa tôi vîi đ· tài "Nghi»m nhît cõa phương trình đ¤o hàm riêng phi tuy¸n Elliptic F D2u(x), x = 0".
Luªn văn đưñc trình bày vîi nhúng cè gng bưîc đ¦u nh¬m đ¤t đưñc nhúng möc đích và yêu c¦u sau:
(1). Trình bày có h» thèng các ki¸n thùc cơ b£n cõa gi£i tích hi»n đ¤i. (2). Cung c§p cho b¤n đåc khái ni»m nghi»m nhît cõa phương trình đ¤o hàm riêng phi tuy¸n Elliptic F D2u(x), x = 0 và mët sè tính ch§t đành tính cõa nghi»m nhît. Đçng thíi kh¯ng đành sü tçn t¤i, tính duy nh§t và sü phö thuëc liên töc cõa nghi»m cõa bài toán liên quan tîi phương trình đó. (3). Đưa ra các ví dö cö thº minh håa cho các khái ni»m đưñc nhc tîi.
M°c dù đã dành nhi·u thíi gian nghiên cùu và tìm hiºu song b£n luªn văn không tránh khäi nhúng h¤n ch¸, thi¸u sót. Vì vªy tôi r§t mong nhªn đưñc ý ki¸n đóng góp cõa các quý và đëc gi£ đº luªn văn này đưñc hoàn thi»n hơn.
Mët l¦n núa tôi xin đưñc bày tä lòng bi¸t ơn sâu sc cõa mình tîi th¦y giáo hưîng d¨n: Ti¸n sĩ Tr¦n Văn B¬ng cùng toàn thº các th¦y, cô công tác và tham gia gi£ng d¤y ð phòng Sau đ¤i håc trưíng Фi håc Sư ph¤m Hà Nëi 2. Các th¦y, cô đã nhi»t tình gi£ng d¤y, giúp đï và t¤o måi đi·u ki»n thuªn lñi cho tôi hoàn thành luªn văn này.
- 59 -
Tài li»u tham kh£o
[1] Nguy¹n M¤nh Hùng (2008), Phương trình đ¤o hàm riêng tuy¸n tính,
Nhà xu§t b£n Фi håc Sư ph¤m Hà Nëi.
[2] Tr¦n Đùc Vân (2004), Lý thuy¸t phương trình vi phân đ¤o hàm riêng, Nhà xu§t b£n Фi håc Quèc gia Hà Nëi.
[3] Caffarelli (1989), "Interior a priori estimater for solutions of fully nonlinear equations", Annals of Mathematics, (130), 189-213.
[4] Caffarelli (1988), "Elliptic second order equations", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, 253-284.
[5] Grandall, Lions (1983), "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations", Trans. Amer. Math. Soc, (277), 1-42.
[6] Evans (1978), "A convergence theorem for solutions of nonlinear sec- ond order elliptic equations", Indiana Univ. Math, (27), 875-887.
[7] Evans (1980), "On solving certain nonlinear partial diferential equa- tions by accretive operator methods", Israel J. Math, (36), 225-247.
[8] Jensen (1988), "The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial diferential equations", Arch. Ra- tional Mech. Anal, (101), 1-27.