101 Dó là tliời gian để áp dụng các đường cong trong mật mã. Cliíing ta bắt đầu với các ứng dụng đơn giản nhất, Diffie-Hellman trao đổi khóa, trong đó bao gồm thay thế các bài toán logarit rời rạc clio các trường hữu hạn FP bởi bài toán logarit rời rạc cho một đường cong elliptic E(FP). Sau đó chúng tôi mô tả tương tự hệ mật mã hóa ElGamal trên đường cong' elliptic
3.3.1 Diffie- Heilman elliptic trao đổi khóa
102 Giả sử Alice và Bob muốn thống Iihất một klióa chung để liên lạc có bảo mật giĩta hai người bằng mật mã. Trước hết hai bên thống nhất công khai chọn một trường hữu hạn FV và một đường cong elliptic E trên đó khóa chung của họ sẽ được xây dựng từ rriột điểm ngẫu nhiên p từ đường cong vừa clio, họ làm cách này bằng cácli chọn tọa độ X của P là ngẫu nhiên trong FP.
103 Dể tạo khóa, trước hết Alice đã chọn ngẫu nhiên một số nguyên TỈA. Số
ĨĨA dược giữ bí mật. Trên cơ sở đó, Alice tính N^P G E, UAP được công khai. Đến lượt Bob cũng làm như vậy, anh ta chọn ngẫu nhiên số nguyên UJB là bí mật, tính ĨIỴP G E và cũng được công khai. Khóa bí mật mà chỉ có hai người mới có đó là
104 Q = (nAnB)P e E.
105 Eve không thể suy ra (ĨIATIB)P nếu không giải bài toán logarit rời rạc trên E của trường FP.
106 Ví dụ 7. Alice và Bob quyết địnli và sử dụng elliptic Diffie- Heilman với các số nguyên , đường cong và điểm:
107 P = 3851, EĨ Y1 = X3 + 324X + 1287, P = (920,303) e £(F3851). Alice và Bob chọn các giá trị bí mật tương ứng ĨIA = 1194 và ĨIỊỊ = 1759, và sau đó:
108Alice tính QA = 1194P = (2067,2178) e E{FZ №Ì)T
1 Thuật toán ElGamal Elip IĨIỞ rộng thông till 4-1 so với tỉ lệmở rộng 2-1 của ElGamal khi sử dụng Fp.
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: T.s Trần Vĩnh Đức
109 Bob tính QB = 1759P = (3684,3125) 6E(F'Ầ S 5 Ỉ).
110 Alice gửi QA tới Bob và Bob gửi QB tới Alice. Cuối cùng,
111 Alice tính NẢQB = 1194(3684,3125) = (3347,1242) E £(F3851), Bob tính
NBQA = 1759(2067,2178) = (3347,1242) E E{F3 SZ). Bob và Alice đã trao đổi bí mật điểm (3347,1242)). Họ phải loại bỏ các tọa độ Y và chỉ có giá trị X = 3347 là một giá trị được cilia sẻ bí mật.
112 Định nghĩa 3.3.1. Cho E(FP) là một đường cong elliptic trên một trường hữu liạn và để clio P G E(FP). CÁC BÀI TOÁN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DIFFIE-HEILMAN là vấn đề tính toán giá trị của 77,1 ĨỈ2-P từ giá trị của UỊP và
N,2P.
3.3.2 Hệ mật mã ElGamal trên đường cong elliptic
113 Alice và Bob đã thống nhất sử dụng rriột số nguyên tố P, một đường cong elliptic E , và một điểm P G E(FP). Alice đã cliọn một khóa bí mật ĨIA là một số nguyên và QA = 71,4p là khóa công khai.
114 Khi đó hệ mã hóa đường cong elliptic được xây dựng tương tự hệ mã hóa ElGamal, trong đó thuật toán mã hóa và giải mã được xác định như sau:
115 Thuật toán mã hóa
116 Bod lấy một điểm
M E E(FP). San đó Bob đã chọn một sốnguyênK
117 và gửi thông điệp mã hóa C 1, C2 và được tính như sau:
118 C\ — kP và Ơ2 = M + kQA
119 T h u ậ t t o á n g i ả i m ã Bob đã gửi hai điểm ( C i ị C ỵ ) tới Alice, san đó tính
120 c2 - nACị = (M + kQA) - nA(kP) = M + k(nAP) - nA(kP) = M.
121 để khôi phuc lại bản gốc.
122 Về nguyên tắc, các hệ thống mật mã ElGamal elliptic lioạt động tốt nhưng có một số khó khăn tliực tế.