2 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
2.1.2Toán tử đơn điệu tuần hoàn
Định nghĩa 2.3. Cho T : Rn → 2Rn và C ⊆ domT. Ta nói T là toán tử đơn điệu tuần hoàn trên C, nếu với mọi số nguyên, dương m và mọi cặp
xi, yi∈ graT, xi ∈ C(i = 0, ..., m) ta có
x1 −x0y0+x2 −x1y1+...+x0 −xmym ≤ 0.
Ví dụ 2.9. Cho một hàm lồi, đóng, chính thường f : Rn → R∪ {+∞} và C ⊆ domT. Khi đó toán tử đa trị T = ∂f đơn điệu tuần hoàn trên dom(∂f).
Chứng minh.
Theo định nghĩa dưới vi phân
∀m ∈ N,∀xi ∈ Rn,∀yi ∈ ∂f, i = 1,2,3, ..., m,
chúng ta có:
hx1 −x0|y0i ≤ f x1−f x0, hx2 −x1|y1i ≤ f x2−f x1,
hx0 −xm|ymi ≤ f x0−f (xm).
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, chúng ta thu được: hx1 −x0|y0i +hx2 −x1|y1i+...+hx0 −xm|ymi ≤
f x1−f x0+
+f x2−f x1 +...+f x0−f (xm) = 0.
Điều này chứng tỏ toán tử đa trị T = ∂f đơn điệu tuần hoàn trên dom(∂f).
Mệnh đề 2.5. Giả sử S là một toán tử đa trị từ Rn → 2Rn. Điều kiện cần và đủ để tồn tại một hàm lồi, đóng, chính thường f trên Rn sao cho
S(x) ⊆ ∂f với mọi x ∈ dom(∂f), là toán tử S đơn điệu tuần hoàn.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Vì ∂f là toán tử đơn điệu tuần hoàn (theo Ví dụ 2.9) mà S(x) ⊆ ∂f với mọi x ∈ dom(∂f) nên S(x) là toán tử đơn điệu tuần hoàn.
Để chứng minh điều kiện đủ, hãy giả sử S là một toán tử đơn điệu tuần hoàn và x0, y0∈ gra(S). Định nghĩa hàm f như sau
f := suphx−xm|ymi+...+x1 −x0y0 ,
trong đó cận trên đúng được lấy trên tất cả các cặp xi, yi ∈ gra(S) và các số nguyên dương m. Do f là bao trên của một họ các hàm a-phin, nên f là một hàm đóng. Do tính đơn điệu tuần hoàn của S, nên f x0 = 0. Vậy f là hàm lồi, chính thường. Với bất kỳ cặp(x, x∗) ∈ gra(S), ta sẽ chỉ ra x∗ ∈ ∂f(x). Muốn thế chỉ cần chỉ ra rằng với mọi α < f (x) và y ∈ Rn, ta có
f (y) > α+ hy −x|x∗i.
Thật vậy, do α < f(x), nên theo tính chất của cận trên đúng, sẽ tồn tại các cặp
xi, yi ∈ gra(S) và số nguyên dương m (i = 1, ..., m) thoả mãn
Theo định nghĩa của f (y), ta được: f (y) ≥ y −xm+1ym+1+xm+1 −xmym...+ x1 −x0y0. Thay xm+1 = x và ym+1 = x∗, ta có: f (y) ≥ hy −x|x∗i+ xm+1−xmym...+x1 −x0y0> hy −x|x∗i+α.
Điều này đúng với mọi(x, x∗) ∈ gra(S), nênS(x) ⊆ ∂f.