Định nghĩa 1.3. Cho E là không gian metric khả ly và Y là không gian Banach khả ly. Một ánh xạ Φ : Ω×E → Y được gọi là một toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y nếu với mỗi x ∈ E,Φ(ω, x) là một biến ngẫu nhiên Y giá trị.
Từ quan điểm của lý thuyết xác suất, một toán tử ngẫu nhiên Φ : Ω×E → Y định nghĩa là một ánh xạ Φ từ E vào LY
0(Ω) đặt tương ứng mỗi phần tử x ∈ E với một biến ngẫu nhiên Y- giá trị Φ(x) xác định bởi Φx(ω) + Φ(ω, x)
Sau đây ta định nghĩa một số tính chất chính quy của toán tử ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.4. Cho Φ là toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y.
1.Φ được gọi là liên tục tại x0 ∈ E nếu với mỗiω ∈ Ω ánh xạ x →Φ(ω, x) là liên tục tại x0.
2. Φ được gọi là liên tục trên E nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 ∈ E. 3. Φ được gọi là liên tục ngẫu nhiên tại điểm x0 ∈ E nếu với mỗi dãy (xn) ⊂ E sao cho limxn = x0 ∈ E và với mỗi ε > 0 ta có:
lim
4. Φ được gọi là liên tục ngẫu nhiên trên E nếu nó liên tục tại mọi điểm
x0 ∈ E
Định nghĩa 1.5. 1. Giả sử E là không gian Banach. Toán tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y được gọi là tuyến tính nếu: với mỗi x1, x2 ∈ E, λ1, λ2 ∈ R
ta có:
Φ(ω, λ1x1 +λ2x2) = λ1Φ(ω, x1) +λ2Φ(ω, x2) hầu chắc chắn.
2. Toán tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y được gọi là toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên nếu Φ tuyến tính và liên tục ngẫu nhiên.
3. Toán tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn nếu A tuyến tính và tồn tại biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho với mỗi x ∈ E:
||Φx(ω)|| 6 k(ω)||x||
hầu chắc chắn.
Định lý 1.9. Một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ E vào Y là liên tục ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu:
lim
t→∞ sup
||x||61
P(||Ax|| > t) = 0 (1.38) Chứng minh:
Giả sử A liên tục ngẫu nhiên. Cho ε > 0. Do A liên tục ngẫu nhiên tại 0 nên tồn tại δ > 0sao cho nếu ||x|| < δ thì P(||Ax|| > 1) < ε. Nếu t > 1δ
thì với mỗi x: ||x|| 6 1 ta có:
P(||Ax|| > t) = P(||A(x/t)|| > 1) < ε
vì ||x t|| 6 1
t < δ. Điều này chứng minh (1.38).
Ngược lại giả sử có (1.38). Cho trước c > 0, ε > 0 khi đó tồn tại t > 0 sao cho P(||Ax|| > t) < ε với mọi x ||x|| 6 1. Lấy δ = ct ta có t||x|| < c
nếu ||x|| < δ. Do đó nếu ||x|| < δ thì:
. Vậy:
lim (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
x→0P(||Ax|| > c) = 0 tức là A liên tục ngẫu nhiên tại 0. Từ đó:
lim
xn→x0
P(||A(xn)−A(x0)||> c) =P(||A(xn −x0)|| > c) = 0
Từ định lý trên ta suy ra nếu A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn thì A là toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
Sau đây là một số ví dụ về toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên. Ví dụ 1.5. Giả sử T1, T2, . . . , Tn ∈ L(E, Y) và α1, α2, . . . , αn là các biến ngẫu nhiên thực. Khi đó dễ thấy toán tử ngẫu nhiên A xác định bởi:
Ax(ω) =
n
X
k=1
αk(ω)Tkx
là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Ví dụ 1.6. Cho K(s, t, ω) là hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục trên hình vuông [0; 1]×[0; 1]. Với mỗi hàm x(t) ∈ C[0; 1] ta định nghĩa:
Ax(t, ω) = Z 1
0
K(t, s, ω)x(s)ds
Khi đó y(t, ω) = Ax(t, ω) là một hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục. Dễ thấy A là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ C[0; 1] vào C[0; 1]. Vì K(t, s, ω) có quỹ đạo liên tục nên tồn tại biến ngẫu nhiên ξ : Ω →
C([0,1]×[0,1]) xác định bởi ξ(ω) = K(., ., ω). Ta có:
|Ax(t, ω)|6 ||x||
Z 1
0 |K(t, s, ω)|ds 6 ||ξ(ω)|| ||x||
Do đó A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Ví dụ 1.7. Xác định toán tử ngẫu nhiên A từ L2[0,1] vào C[0,1] bởi:
Ax(t) = Z t
0
Dễ thấy A tuyến tính. Ta chứng minh A liên tục ngẫu nhiên. Thật vậy, theo bất đẳng thức martingale ta có: P(||Ax|| > r) = P{ sup t∈[0,1]| Z t 0 x(s)dW(s)|2 > r2} 6 1 r2E| Z 1 0 x(s)dW(s)|2 = 1 r2||x||2 Vậy lim t→∞ sup ||x||61 P(||Ax|| > t) 6 lim t→∞ 1 t2 = 0
Theo định lý (1.9) A liên tục ngẫu nhiên. Vậy A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục từ L2[0,1] vào C[0,1]
Ta chứng minh A không bị chặn. Với h > 0 gọi xh(t) là hàm cho bởi:
xh(t) = ( 1 √ 2hlnln1 h nếu 06 t 6 h
0 nếu ngược lại Ta có xh ∈ L2[0,1] và: ||xh||2 = Z 1 0 x2h(t)dt= Z h 0 dt 2hlnlnh1 = 1 2lnlnh1 → 0 khi h → 0 Lại có: ||Axh(ω)|| = sup t ||Axh(t)|| > ||Axh(1)|| = Z 1 0 xh(t)dW(t) = W(h) q 2hlnlnh1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Theo luật loga lặp của quá trình Wiener ta suy ra: lim sup
h→0||Axh(ω)|| = 1 hầu chắc chắn. Vì W(t) liên tục nên ta cũng có:
lim
h∈Qsup
h→0||Axh(ω)||= 1 hầu chắc chắn trong đó Q ký hiệu tập số hữu tỷ. Nếu A bị chặn thì tồn tại biến ngẫu nhiên k(ω) sao cho: ||Axh(ω)|| 6
Do đó, tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mọi ω ∈ D và với mọi h ∈ Q. ||Axh(ω)|| 6 k(ω)||xh|| . Do đó: lim h∈Qsup
h→0||Axh(ω)|| = 0 ∀ω ∈ D. Ta có mâu thuẫn.