Xét hệ của hàm toàn phương, f(x) =xTAx+aTx+γ, g0(x) =||x−x0||2−α và gi(x) =||Bx||2+biTx−βi ,i =1, . . . ,m trong đó A∈Sn×n, B∈Rl×n với l ∈N và a, x0, βi ∈Rn. Trong trường hợp này, chúng ta có thể xét điều kiện số chiều mở rộng như sau
dim(Ker(A−λmin(A)In)∩Ker(B))≥s+1 (2.2.9) trong đó s là số chiều của không gian con sinh bởi{b1, . . . ,bm}.
Rõ ràng, nếu ma trận B bằng 0, thì hệ toàn phương trên và điều kiện số chiều mở rộng lần lượt là hệ toàn phương và điều kiện số chiều liên kết với nó, đã được nghiên cứu trong Mục 2-4 của chương 1. Mặt khác, trong trường hợp khi B có hạng n, không cần điều kiện số chiều (2.2.9) của chúng ta.
Mệnh đề 2.2.1. (Tính lồi ẩn của hệ toàn phương tổng quát) Cho f(x) =xTAx+ aTx+γ, g0(x) =||x−x0||2−α và gi(x) =||Bx||2 + bTi x − βi, i=1, . . . ,m, A∈
Sn×n, B∈Rl×n vớil ∈Nvàa, x0; bi ∈Rn, γ, α, βi∈R. Giả sử rằng điều kiện số chiều(2.2.9)là thỏa mãn
Khi đó,
U(f, g0, g1, . . . ,gm):={(f(x), g0(x), g1(x), . . . ,gm(x)):x∈Rn}+Rm++ 2
Chứng minh. Như chứng minh của Định lý 1.2.1, chúng ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát rằng A không là nửa xác định dương. Định nghĩa h bởi h(x) = minx∈Rn{f(x) =||x−x0||2 ≤α+r, ||Bx||2+bTi x≤β +si, i =1, . . . ,m} nếu x∈ D:={r,s1, . . . ,sm:||x−x0||2≤α+r, ||Bx||2+bTi x≤βi+sivới x bất kì,x∈Rn}và h(x) = +∞nếux∈/D. Chứng minh tương tự Định lí 1.2.1 ta cóU(f, g0, g1, . . . ,gm) = epi h. Hơn nữa, h là lồi nếu bài toán sự cực tiểu hóa
min
x∈Rn
f(x)−λmin(A)||x−x0||2 :||x−x0||2≤α+r, ||Bx||2+bTi x≤βi+si
đạt cực tiểu tạix¯∈Rn với||x−x0||2 =α+rvà||Bx||2+bTi x≤βi+si.
Thật vậy, bài toán tối ưu có điểm cực tiểu trên hình cầu. Suy ra tồn tại v∈
Rn\{0}sao cho v∈ m \ i=1 b⊥i !
∩Ker(A−λmin(A)In)∩Ker(B). (2.2.10)
Trái lại, Tm
i b⊥i=1∩Ker(A−λmin(A)In)∩Ker(B) ={0}. Khi đó, suy ra điều kiện số chiều mở rộng của chúng ta,dim(Ker(A−λmin(A)In)∩Ker(B))≥s+1trong đó s là số chiều của không gian con sinh bởi{b1, . . . ,bm}, là
n+1= (s+1) + (n−s) ≤ dim(Ker(A−λmin(A)In∩Ker(B)) +dim
m
\
i=1 b⊥i
!
= dim Ker(A−λmin(A)In)∩Ker(B)) +
m \ i=1 b⊥i ! +dim m \ i=1
b⊥i ∩Ker(A−λmin(A)In∩Ker(B)
!
≤ n, điều đó không xảy ra.
Do vậy, tương tự như trong định lí 1.2.1 ta suy ra kết luận.
Gần đây, trong [2], tác giả đã xét bài toán miền tin cậy với một ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính bổ sung:
(P2) min{xTAx+aTx:||x−x0||2 ≤α, bT1x≤β1}
và chứng tỏ rằng đối ngẫu mạnh thỏa mãn đối với(P1)khidim(ker(A−λmin(A)In)≥
phương lồi bổ sung
(GP2) min{xTAx+aTx:||x−x0||2 ≤α, ||Bx||2+bT1x≤β1}.
Tương tự chứng minh của mục 1.3 và 1. 4 chương 1 và sử dụng mệnh đề trước, chúng ta rút ra sự nới lỏng SDP và kết quả đối ngẫu mạnh đối với (GP1)dưới điều kiện số chiều dim(Ker(A−λmin(A)In)∩Ker(B)) ≥2. Tuy nhiên, cần chú ý rằng, điều kiện số chiều không cần phải thỏa mãn khi B có hạng n (điều kiện số chiều của không gian cơ bản). Thật vậy, khi B có hạng n, một ví dụ đã được đưa ra trong [8], trang 263EX1] cho thấy rằng mô hình (GP2)không có được sự nới lỏng chính xác cũng như đối ngẫu mạnh trong tổng quát.
Định lý 2.2.1. Đối với bài toán (GP2), giả sử rằng dim(Ker(A−λmin(A)In)∩ Ker(B))≥ 2. Khi đó, (GP2)đạt được sự nới lỏng SDP chính xác. Hơn nữa, thêm giả thiết rằng tồn tại x¯sao cho ||x¯−x0||2 <α và ||Bx||¯ 2+bT1x¯<β1. Khi đó, thỏa mãn đối ngẫu mạnh đối với bài toán(GP2), tức là,
min x∈Rn xTAx+aTx:||x−x0||2 ≤α,||Bx||2+bT1x≤β1 = max λ0,λ1≥0min x∈Rn xTAx+aTx+λ0(||x−x0||2−α) +λ1(||Bx||2+bT1x−β1) .
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.2.2 và giả địnhdim(Ker(A−λmin(A)In)∩Ker(B))≥2, chúng ta thấy rằngU(f, g0, g1)là lồi trong đó f(x) =xTAx + aTx, g0(x) =||x− x0||2−α vàg1(x) =||Bx||2+bT1x−β1. Vì vậy, kết luận đầu tiên tương tự như trong Định lí 1.3.1 trong còn kết luận thứ hai sẽ tương tự như Định lí 1.4.1 và Hệ quả 1.4.1.
Ví dụ 2.2.1. Xét bài toán sự cực tiểu hóa toàn phương sau (P) min −x12−x22−x23−2x1
thỏa mãn x21+x22+x32+x1 ≤1, x21+x1≤0.
Bài toán toàn phương có thể viết như (GP2) với f(x) = xTAx+aTx với A =−I3 và a = (−2,0,0), g0(x) =||x−x0||2−α với x0 = (−12,0,0), α = 54 và g1(x) = ||Bx||2+bT1x−β1 vớiB= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,b1 = (1,0,0)vàβ1 =0. Dễ dàng thấy rằng
tạix¯= (−12,0,0)T điều kiện tính chấp nhận được chặt là thỏa mãn và dim(Ker(A−λmin(A)In)∩Ker(B)) =2.
Tiếp theo, chúng ta chứng tỏ rằng thỏa mãn sự nới lỏng SDP chính xác và đối ngẫu mạnh. Để thấy điều này, chúng tôi chú ý rằng, với điểm x bất kì chấp nhận được x= (x1,x2,x3), ta có −x2
2−x23 ≥x21+x1−1và−1≤x1≤0và do vậy, −x21−x22−x23−2x1 ≥ −x1−1≥ −1.
Vì vậy, dễ dàng thấy rằng giá trị tối ưu của (P) là -1 và(0,1,0)là điểm cực tiểu toàn cục. Choλ0=1vàλ1 =1.Khi đó
min{f(x) +λ0g0(x) +λ1g1(x)}=min{x21−1}=−1=min(P).
Do vậy, bất đẳng thức max(D)≤min(SDRP)≤min(P)có nghĩa rằng thỏa mãn sự nới lỏng SDP chính xác đối ngẫu mạnh và.
KẾT LUẬN
Trong đề tài này em đã trình bày về các tính chất của bài toán con miền tin cậy với ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính cùng với những úng dụng của chúng. Nội dung chính của khóa luận là:
1 Tính lồi ẩn của miền tin cậy mở rộng. 2 Sự nới lỏng SDP chính xác.
3 Tính tối ưu toàn cục và đối ngẫu mạnh. 4 Ứng dụng vào tối ưu vững.
Hơn nữa, sau một thời gian tìm hiểu về phần mềm soạn thảo văn bản Latex, khóa luận đã được trình bày và hoàn thiện bằng phần mềm này.
Tuy nhiên, do thời gian thực hiện đề tài khóa luận không nhiều, còn có những sai sót em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Tài liệu tham khảo
[1] Burer, S., Anstreicher, K.M.: Second-order cone constraints for extended trust-region problem. Preprint, Optimization online, March (2011)
[2] Beck, A Eldar, Y.C.: Strong duality in nonconvex quadratic optimization with two quadratic con-straints SIAM J.Optim 17, 844-860 (2006).
[3] Beck. A.:Convexity properties assosiated with nonconvex quadratic matric functions and applications to quadratic programming. J.Optim. Theory Appl. 142. 1-29 (2009).
[4] Ben-Tal, A., Ghoui, L.E., Nemirovski, A: Robust Optimization. Princenton Series in Applied Mathe-matric (2009).
[5] Ben-Tal, A.,Nemirovski, A.,Roos, C.: Robust solutions of uncertain quadratic and conic quadratic problems. SIAM J. Optim. 13(2) 535-560
[6] El Ghaoui, L., Lebret, H.:Robust solutions to least-squares problems with un- certain data. SIAM J. Matric Anal. Appl. 18(4) 1035-1084(1997).
[7] V.Jeyakumar.G.Y.Li " Trust-region problem with linear inequality constraints: exact SDP relaxation, global optimization and robust optimality and robust optimization” Math, Program. 147, 171-206 (2014)
[8] Ye, YY., Zhang, S.D.: New result of quadratic minimization SIAM J. Optim.14,245-267(2013)