2 Cấu trúc và tính cực tiểu sắc yếu của tập nghiệm Pareto trong tối ưu đa mục
2.3.Tính cực tiểu sắc yếu toàn cục
Chúng ta nói rằng tập nghiệm Pareto S của (P) có tính cực tiểu sắc yếu toàn cục, nếu tồn tại hằng số γ ∈ [0,+∞] sao cho
d(x, S) ≤ γd(f(x), f(S)) +d(x, D), ∀x ∈ X, (2.8) ở đó d(u,Ω) := inf{||u−ω|| : ω ∈ Ω}là khoảng cách từ u tớiΩ. Bằng cách đưa ra một vài sự cải biên phù hợp trong sơ đồ chứng minh của Zheng và Yang [14], Yang và Yen [19] nhận được kết quả sau.
Định lý 2.4. Nếu f là một C-lồi trên X thì tập nghiệm Pareto S của (P)
có tính cực tiểu sắc yếu toàn cục.
Trước hết ta nhắc lại một số kết quả trong [14, 17] được sử dụng để chứng minh Định lý 2.4.
Bổ đề 2.1. ([17, Định lý 2.49]) Nếu ϕ : X → R là một hàm lồi và tuyến tính từng khúc thì tồn tại a∗1, ..., a∗l ∈ X∗ và α1, ..., αl ∈ R sao cho
ϕ(x) = max 1≤j≤l
ha∗j, xi +αj ∀x ∈ X.
Bổ đề 2.2. ([14, Bổ đề 3.2])ChoP và Qlà đa diện trong X. NếuP∩Q 6= ∅, thì tồn tại hằng số τ ∈ [0,∞[ sao cho
d(x, P ∩Q) ≤ τd(x, P) + d(x, Q), ∀x ∈ X.
Bổ đề 2.3. Cho a∗1, ..., a∗l ∈ X∗ , α1, ..., αl ∈ R, và
P := {x ∈ X :ha∗j, xi +αj ≤ 0, j = 1, ..., l}. Nếu P 6= ∅ thì tồn tại γ ∈ [0,+∞[ sao cho
d(x, P) ≤ γ max 1≤j≤l
ha∗j, xi+αj+ ∀x ∈ X, trong đó µ+ := max{µ,0} với mọi µ∈ R.
Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Vân
Bổ đề 2.3 còn được gọi là Bổ đề Hoffman, nó cho ta đánh giá cận sai số (error bound) của hệ bất đẳng thức tuyến tính (xem [18] và các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong bài báo này).
Chứng minh Định lý 2.4.Từ giả thiết f(D) +C là một đa diện (xem chứng minh Định lí 2.2). Vì vậy, theo Định lí 3.3 trong Chương 4 của [7], tồn tại một số hữu hạn các vector y1∗, ..., y∗q ∈ riC∗ (ở đó riC∗ là phần trong tương đối của nón đối ngẫu dương C∗ của C ), sao cho
f(S) = E(f(D) +C|C) = q [ r=1 Qr, (2.9) ở đó mỗi Qr := v ∈ f(D) +C : hy∗r, vi = min y∈f(D)+C hyr∗, yi (2.10) là một mặt của f(D) + C. Không mất tổng quát, chúng ta có thể giả thiết rằng ky∗rk = 1 với mọi r. Cho r ∈ {1, ..., q} bất kỳ, đặt δr = miny∈f(D)+Chyr∗, yi và lấy ϕr(x) := hyr∗, f(x)i với mọi x ∈ X. Từ f là
C-lồi trên X và yr∗ ∈ C∗, ϕr là một hàm lồi. Bên cạnh đó, ϕ là một hàm tuyến tính từng khúc. Do đó, từ Bổ đề 2.1 tồn tại a∗r,1, ..., a∗r,l r ∈ X∗ và αr,1, ..., αr,lr ∈ R, sao cho ϕr(x) = max 1≤j≤lr ha∗r,j, xi+αr,j ∀x ∈ X. (2.11) Lấy Xr := {x ∈ X : ϕr(x) ≤δr}= {x ∈ X : hyr∗, f(x)i ≤ δr} = {x∈ X : ha∗r,j, xi+αr,j ≤ δr, j = 1, ..., lr}.
Theo Bổ đề 2.3, tồn tại γr ≥ 0, sao cho
d(x, Xr) ≤ γr max 1≤j≤lr ha∗r,j, xi+αr,j −δr+, ∀x ∈ X. Khi đó, từ (2.11), chúng ta có d(x, Xr) ≤ γrϕr(x)−δr]+, ∀x ∈ X. (2.12) 27
Nếux ∈ Xr∩D, thìf(x) ∈ f(D) ⊂f(D)+C vàδr(x) ≥ϕr(x) = hyr∗, f(x)i. Bằng cách chọn yr∗, suy ra hyr∗, f(x)i = δr; do đó, từ (2.10), f(x) ∈ Qr. Từ (2.9) có x ∈ S. Vì vậy, Sqr=1(Xr ∩D) ⊂ S.
Với mỗi r ∈ {1, ..., q}, ta có Xr∩D 6= ∅. Thật vậy, lấy v ∈ Qr bất kì, từ (2.9) chúng ta có thể tìm u ∈ S với f(u) =v. Theo (2.10),
hy∗r, f(u)i = hyr∗, vi = min y∈f(D)+C
hy∗r, yi = δr,
do đó u ∈ Xr. Từ u ∈ Xr∩D suy ra Xr∩D 6= ∅. Từ Bổ đề 2.2, suy ra tồn tại τr ∈ [0,+∞) sao cho
d(x, Xr ∩D) ≤ τr d(x, Xr) +d(x, D), ∀x ∈ X. (2.13) Đặt γ := max 1≤r≤qτr(γr + 1).
Lấy ∀x ∈ X bất kì. Với ε > 0 bất kì, chúng ta có thể tìm v ∈ f(S) sao cho
kf(x)−vk ≤ d(f(x), f(S)) +ε. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bởi (2.9), tồn tạir ∈ {1, ..., q} sao cho v ∈ Qr. Lấy u ∈ S sao cho f(u) =v. Rõ ràng,
δr = min y∈f(D)+C
hyr∗, yi = hyr∗, vi = hyr∗, f(u)i = ϕr(u).
Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Vân d(x, S) ≤ d(x, Xr∩D) ≤τrd(x, Xr) + d(x, D) ≤τr γrϕr(x)−δr++d(x, D) ≤τr γr(ϕr(x)−δr)−(ϕr(u)−δr)++d(x, D) ≤τr γr hyr∗, f(x)−f(u)i ++ d(x, D) ≤τr γr||y∗r||||f(x)−f(u)||+d(x, D) ≤γ||f(x)−v||+ d(x, D),
điều đó kéo theo
d(x, S) ≤ γd(f(x), f(S)) +d(x, D) +ε.
Từ ε > 0 có thể chọn nhỏ tuỳ ý, điều này suy ra (2.8). Định lý được chứng
minh. 2
Giả thiết rằngf là một C-lồi trong định lí trên thì không thể bỏ qua. Để thấy điều này, trong Ví dụ3.1của [14], lấyX = Y = R, C = R+, D = R và f(x) = |x|, nếu x ∈]−1,1[ 1, nếu x ∈]− ∞,−1] ∪[1,+∞[.
Từ Định lí 2.4 chúng ta thu được kết quả tương tự với Định lí 2.2 trong [13] trong đó trường hợp tập nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trong không gian Euclide được xem xét.
Định lý 2.5. Nếu f : X → Y là một toán tử tuyến tính liên tục thì tập nghiệm Pareto S của (P) có tính cực tiểu sắc yếu toàn cục.
Định lí này mô tả tính cực tiểu sắc yếu toàn cục của tập nghiệm Pareto của tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trong không gian định chuẩn.
KẾT LUẬN
Khóa luận trình bày một số khái niệm cơ bản về lý thuyết tối ưu vector và một số dạng mở rộng của Định lý ABB cho tập nghiệm Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc. Cụ thể:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết tối ưu vector như: tập lồi, nón, quan hệ thứ tự, các điểm hữu hiệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu vector.
Chương 2 trình bày cấu trúc và tính cực tiểu sắc yếu của tập nghiệm Pareto trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc. Mục 2.1 trình bày bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc. Mục 2.2 nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc trong hai trường hợp: Mục 2.2.1 khảo sát cấu trúc của tập nghiệm Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc tổng quát. Mục 2.2.2 nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm Pareto của lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính từng khúc lồi. Mục 2.3 khảo sát tính chất cực tiểu sắc yếu toàn cục của tập nghiệm Pareto của lớp bài toán lồi. Các ví dụ được đưa ra để phân tích các kết quả được trình bày trong khóa luận.
Tài liệu tham khảo
[1] Zheng, X.Y., Yang, X.Q.: The structure of weak Pareto solution sets in piecewise linear multiobjective otimization in normed spaces. Sci. China, Ser. A, Math. 51, 1243-1256 (2008).
[2] Gowda, M.S., Szajder, R.: On the pseudo-Lipschitzian behavior of the inverse of a piecewise affine function. In: Complementarity and Vari- ational Problems, Baltimore, 1995, pp. 117-131. SIAM, Philadelphia (1997).
[3] Aneja, Y.P., Nair, K.P.K.:Bicriteria transportation problem. Manag. Sci. 25, 73-78 (1979/1980).
[4] Cai, X.Q., Teo, K.L., Yang, X.Q., Zhou, X.Y.: Portfolio otimization under a minimax rule. Manag. Sci. 46, 957-972 (2000).
[5] Giannessi, F.: Theorem of the alternative and optimality conditions. J. Optim. Theory Appl. 42, 331-365 (1984).
[6] Arrow, K.J., Barankin, E.W., Blackwell, D.: Admissible points of con- vex sets. In: Contributions to the Theoty of Games, vol. 2. Annals of Mathematics Studies, vol. 28, pp. 87-91. Princeton University Presss, Princeton (1953).
[8] Burke, J.V., Ferris, M.C.: Weak sharp minima in mathematical pro- gramming. SIAM J. Control Optim. 31, 1340-1359 (1993).
[9] Studniarski, M., ward, D.E.: Weak sharp minima: characterizations and sufficient conditions. SIAM J. Control Optim. 38, 219-236 (1999). [10] Burke, J.V., Deng, S.: Weak sharp minima revisited, Part I: basic
theory. Control Cybern. 31, 439-469 (2002).
[11] Burke, J.V., Deng, S.: Weak sharp minima revisited, Part II: appli- cation to linear regularity and error bounds. Math. Program., Ser. B 104, 235-261 (2005).
[12] Zheng, X. Y., Yang, X.M., Teo, K.L.: Sharp minima for multiobjective optimization in Banach spaces. Set-Valued Anal. 14, 327-345 (2006). [13] Deng, S., Yang, X.Q.: Weak Sharp minima in multicriteria linear pro-
gramming. SIAM J. Optim. 15, 456-460 (2004).
[14] Zheng, X. Y., Yang, X.Q.: Weak sharp minima for piecewise linear mul- tiobjective optimization in normed spaces.Nonlinear Anal.68,3771- 3779 (2008). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[15] Giannessi, F.: Theorems of the alternative for multifunctions with ap- plications to optimization: general results. J. Optim. Theory Appl. 55, 233-256 (1987).
[16] Rockafellar, R.T.: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton (1970).
[17] Rockafellar, R.T., Wets, R.J.-B.: Variational Analysis. Springer, New York (1998).
[18] Zalinescu, C.: Sharp estimates for Hoffman’s constant for systems of linear inequalities and equalities. SIAM J. Optim. 14, 517-533 (2003).
Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Vân
[19] X.Q. Yang, N.D. Yen.:Strcture and Weak Sharp Minimum of the Pareto Solution Set for Piecewise Linear Multiobjective Optimization. J Optim Theory Appl (2010) 147: 113-124.