Định lý 3.2. i) Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố.
40
Chứng minh. (i). Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Giả sử I là iđêan cực đại của R. Khi đó R
I là trƣờng. Do đó RI là miền nguyên. Suy ra
I là iđêan nguyên tố.
(ii): Giả sử I là iđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị R. Với mọi xyI, giả sử xI thì yI. Suy ra tồn tại n *:ynI . Vậy
I là iđêan nguyên sơ.
Chú ý 3.2.2. Chiều ngƣợc lại của định lý là không đúng, tức iđêan nguyên sơ chƣa chắc đã là nguyên tố và iđêan nguyên tố chƣa chắc đã là cực đại.
Ví dụ 3.2.3. Ta có A là iđêan của thì An . Nếu n là số nguyên tố thì n là iđêan nguyên tố.
+ Có 32 là iđêan nguyên sơ nhƣng không là iđêan nguyên tố. + 0 là iđêan nguyên tố vì 0 là miền nguyên nhƣng 0 không là iđêan cực đại vì *
0 n , n .
Định lý 3.2.4. Trong vành chính mọi iđêan nguyên tố khác iđêan 0 luôn là iđêan cực đại.
Chứng minh. Giả sử R là vành chính, A là iđêan nguyên tố khác iđêan
0 của R thì A a ax x R, a0, aR. Giả sử tồn tại iđêan
B của R mà B A thì B là iđêan chính. Vì vậy ta có
B b by yR , b0, bR. Ta có bA vì nếu bA thì với mọi
zB ta có zbt t, R mà bA nên zA. Do đó B A (mâu thuẫn với B A). Vì AB và a.1A
a B
a b u. A u, R. Mà A là iđêan nguyên tố và bA nên
41
Suy ra
u at a b u. b at. .
Do a0 và R là miền nguyên nên ta có b t. 1. Do đó 1B suy ra
BR
Vậy A là iđêan cực đại.
Định lý 3.2.5. i). Cho R là vành giao hoán không tầm thƣờng. Mỗi iđêan cực đại của R đều là nguyên tố nếu và chỉ nếu Spec R( ) .
ii). Cho f R: S là đồng cấu vành, R và S là các vành giao hoán, QSpec S( ) thì f1( )Q Spec R( ).
Chứng minh. (i). Vì R không tầm thƣờng nên R có ít nhất một iđêan cực đại. Mà iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố nên R luôn có ít nhất một iđêan nguyên tố. Vậy Spec R( ) .
Ngƣợc lại, nếu Spec R( ) thì R luôn có ít nhất một iđêan nguyên tố I. Khi đó R . Vậy R luôn có iđêan cực đại là nguyên tố.
(ii): Xét hai đồng cấu vành f R: S và p S: S
Q
(p là toàn cấu chính tắc). Khi đó pf có hạt nhân
Kerpf r R pf r 0 Q
r R p f r Q
1
r R f r Q f Q
.
42
: S
pf R
Q
sao cho AKerpf f1( )Q là iđêan của R, 0s
Q B là iđêan của S Q. Suy ra S Q S
B Q. Khi đó tồn tại đồng cấu vành f
làm cho biểu đồ sau giao hoán
tức là f h pf . Hơn nữa f là đơn cấu và Im f Impf . Từ đó ta có
1
R
f Q đẳng cấu với một vành con của SQ. Mặt khác SQ là miền
nguyên vì với mọi ,a bS đặt a a Q, b b Q.Nếu ab0 thì a Q b Q 0 Q ab Q 0 Q ab Q thì a Q b Q
(do Q là iđêan nguyên tố) hay
0 0 a b . Suy ra S Q là vành
giao hoán không có ƣớc của không nên S
Q là miền nguyên 1 R f Q cũng là miền nguyên. Vậy 1 ( ) ( ) f Q Spec R . □ pf S R Q h f 1 R f Q
43
KẾT LUẬN
Khóa luận nghiên cứu về các iđêan nguyên tố, cực đại và nguyên sơ gồm những nội dung chính sau
+ Khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại
+ Mối liện hệ giữa iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại + Sự phân tích nguyên sơ.
Do thời gian có hạn nên sự phân tích nguyên sơ chỉ đƣợc trình bày một cách sơ lƣợc. Mặc dù đã rất cố gắng nhƣng do kiến thức và trình độ của bản thân còn hạn chế nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi đƣợc hoàn thiện hơn nữa.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên, các thầy cô trong khoa Toán, các bạn sinh viên đã giúp tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Hideyuki Matsumura (1980), Commutative ring theory, Cambridge University.
[4] M.F. Atiyah and I.G. Macdonald (1969), Introduction to
Commuatative Algebra, Addison – Wesley Publishing Company.
[5] R.Y.Sharp (1990), Steps in Communitative Algebra, Cambridge University.