Không gian mêtric Nikodym - KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKO- 123docz.net

2 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT

2.2 Không gian mêtric Nikodym

Cho (X,M, µ) là một không gian độ đo hữu hạn. Nhớ lại rằng hiệu đối xứng của hai tập đo được A và B là tập đo được kí hiệu làA∆B được xác định bởi:

A∆B = (AB)S

(BA).

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh tính chất sau của hiệu đối xứng

(A∆B)∆(B∆C) = A∆C (2.2.1).

Trước tiên ta sẽ chứng minh (A∆B)∆C = A∆(B∆C), thật vậy: A∆(B∆C) = [A((BC)∪(CB))]∪[((BC)∪(CB))A]

= [A∩((BC)∪(CB))c]∪[((BC)∪(CB))∩Ac] = [A∩((Bc∪C)∩(Cc∪B))]∪[((B∩Cc)∪(C∩Bc))∩Ac] = (A∩Bc∩Cc)∪(A∩B∩C)∪(B∩Cc∩Ac)∪(C∩Bc∩Ac). Ta lại có: (A∆B)∆C = C∆(A∆B) và làm tương tự như trên ta được:

C∆(A∆B) = (C∩Ac∩Bc)∪(C∩B∩A)∪(A∩Bc∩Cc)∪(B∩Ac∩Cc) = (A∩Bc∩Cc)∪(A∩B∩C)∪(B∩Cc∩Ac)∪(C∩Bc∩Ac) = A∆(B∆C).

Bây giờ ta chứng minh (2.2.1). Áp dụng tính chất trên ta có:

(A∆B)∆(B∆C) = [(A∆B)∆B]∆C = [A∆(B∆B)]∆C = A∆C. Vậy ta đã chứng minh xong tính chất (2.2.1).

Xét một quan hệ ' trên M xác định bởi A ' B nếu µ(A∆B) = 0. Chúng ta sẽ chỉ ra đây là một quan hệ tương đương. Thật vậy.

i. A ' A, do µ(A∆A) = µ(∅) = 0 suy ra ' phản xạ.

ii. A' B suy ra µ(A∆B) = 0 mà µ(B∆A) = µ(A∆B) = 0 vậy B ' A nên ' có tính đối xứng.

iii. A ' B, B ' C ta có µ(A∆B) = 0 = µ(B∆C).

0≤ µ(A∆C) =µ((A∆B)∆(B∆C)) ≤µ(A∆B)+µ(B∆C) = 0 ⇒ µ(A∆C) = 0. NênA ' C suy ra ' có tính bắc cầu. Vậy 'là một quan hệ tương đương.

Do đó quan hệ tương đương' phân hoạch M thành các lớp tương đương. Kí hiệu tập hợp này bởi M'.

Cho A ⊂ Mkí hiệu lớp tương đương củaA là [A]. Khi đó trên M'

27 ρµ([A],[B]) = µ(A∆B),∀A, B ∈ M. Thật vậy: i. ∀A, B ∈ M: ρµ([A],[B]) = µ(A∆B) ≥ 0, ρµ([A],[B]) = 0 ⇔ µ(A∆B) = 0 ⇔ A 'B ⇔ [A] = [B]. ii. ∀A, B ∈ M: ρµ([A],[B]) = µ(A∆B) = µ(B∆A) = ρµ([B],[A]). iii. ∀A, B, C ∈ M : ρµ([A],[C]) = µ(A∆C) = µ((A∆B)∆(B∆C)) ≤µ(A∆B) +µ(B∆C) = ρµ([A],[B]) +ρµ([B],[C]).

Vậyρµ là một mêtric.Chúng ta gọi Mêtric này làMêtric Nikodym và gọi không gian (M', ρµ) là không gian mêtric Nikodym liên kết với không gian độ đo (X,M, µ).

Ví Dụ: Cho (X,M, µ) là một không gian độ đo và cho f là một hàm không âm khả tích trên X, ta biết rằng hàm tập ν(E) = R

f dµ với mọi E ∈ M là một độ đo hữu hạn.Khi đó (M', ρν) là một không gian mêtric Nikodym.

Bây giờ cho ν là một độ đo hữu hạn trên M tuyệt đối liên tục, đối với µ.

đối liên tục). Ta có: ν(A)−ν(B) = [ν(A∩B) +ν(AB)]−[ν(A∩B) +ν(BA)] = ν(AB)−ν(BA) = 0 ⇔ ν(A) =ν(B). (Do ν(A∆B) = 0 ⇔ ν(AB) + ν(BA) = 0 ⇔ ν(AB) = ν(BA) = 0 ). Ở đây chú ý: A = (A∩B)∪(AB) và (A∩B)∩(AB) =∅. Tương tự ta cũng có: B = (A∩B)∪(BA),(A∩B)∩(BA) =∅. Do vậy chúng ta có thể xác định ν trên M' bằng cách đặt: ν([A]) = ν(A),∀A∈ M.

Để cho tiện lợi và đơn giản, chúng ta kí hiệu các phần tử[A]củaM'

bởi A và hàm ν :M' →[0,∞) bởi ν : M → [0,∞). Một kết quả của Định lí 1.2.10 nói cho chúng ta rằng nếu một dãy hàm số liên tục nhận giá

trị thực trên một không gian mêtric đầy đủ và hội tụ điểm đến một hàm

nhận giá trị thực, thì có một điểm trong không gian tại đó dãy hàm liên

tục đồng bậc. Sử dụng kết quả này trong việc nghiên cứu dãy các độ đo

tuyệt đối liên tục, bây giờ chúng ta chỉ ra rằng (M', ρµ) là đầy đủ và một độ đo ν tuyệt đối liên tục đối với µ sẽ sinh ra một hàm liên tục đều fν trên không gian mêtric Nikodym (M', ρµ).

Chúng ta nhớ lại rằng cho (X,M, µ) là một không gian độ đo, khi đó L1(X, µ) là một không gian đầy đủ.

Định lí 2.2.1. Cho (X,M, µ) là một không gian độ đo hữu hạn, khi đó không gian mêtric Nikodym (M', ρµ) là đầy đủ, tức là mọi dãy Cauchy

29 đều hội tụ. Chứng minh. Chúng ta thấy rằng ∀A, B ∈ M. |χA(x)−χB(x)| =        0 nếu x ∈ AT B 1 nếu x ∈ A∆B = (AB)∪(BA). (2.2) Do đó µ(A∆B) = R X |χA −χB|dµ.

Với mỗi E ∈ M, thì χE : X → Rđo được và R

X χEdµ = µ(E) < +∞ nên χE ∈ L1(X, µ). Ta xác định toán tử T :M → L1(X, µ) E 7−→ T(E) = χE. Khi đó ta có: ρµ(A, B) = µ(A∆B) =R X |χA−χB|dµ =k χA −χB k1 =k T(A)−T(B) k1,∀A, B ∈ M.

Xét (An)n là một dãy Cauchy trong (M', ρµ). Khi đó ρµ(An, Am) → 0, khi n, m → ∞ hay k T(An)−T(Am) k1 → 0

(n, m → ∞)suy ra(T(An))n là một dãy cauchy trong không gianL1(X, µ). Theo Định lí Riesz-Fischer và Hệ quả 1.7.4 thì có hàm f ∈ L1(X, µ) sao cho

T(An) → f(n → ∞) trong L1(X, µ)

và có dãy con (T(Ank)k ⊂(T(An))n sao cho

T(Ank)(x) → f(x)(k → ∞)∀x ∈ XE, với E ⊂ X và µ(E) = 0. Vì T(Ank) =χAnk nên 0≤ f(x) ≤ 1 h.k.n trên X.

Đặt A0 = {x ∈ XE : limk→∞T(Ank)(x) = f(x) = 1}. Ta có A0 đo được vì f ∈ L1(X, µ). Ta chứng minh f = 0 trên (XE)A0.

Lấy x ∈ (XE)A0. Khi đó limk→∞T(Ank)(x) =f(x) < 1.

Chọn ε : 0 < ε < 1 − f(x) thì có k0 ∈ N sao cho với k ≥ k0 ta có

|T(Ank)(x)−f(x)| < ε

hay −ε+f(x) < T(Ank)(x) =χAnk(x) < ε+f(x) < 1,

tức là T(Ank)(x) = 0 ∀k ≥ k0.Suy ra f(x) = 0.Vậy f = χA0 hầu khắp nơi trên X. Do đó ta có: ρµ(An, A0) = µ(An∆A0) = Z X |χAn −χA0|dµ = Z X |T(An)−χA0|dµ =k T(An)−χA0 k1→ 0(n → ∞).

Vậy An → A0(n → ∞) trong (M', ρµ), tức là (M', ρµ) là đầy đủ. Bổ đề 2.2.2. Cho (X,M, µ) là một không gian độ đo hữu hạn vàν là một độ đo hữu hạn trên M. Lấy E0 là một tập đo được với ε > 0 và δ >0 sao cho với bất kì tập đo được E, nếu ρµ(E, E0) < δ, thì |ν(E)−ν(E0)| < ε4. Khi đó với bất kỳ các tập đo được A và B nếu ρµ(A, B) < δ,

thì |ν(A)−ν(B)| < ε.

Chứng minh. Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh: nếu ρµ(A,∅) < δ thì ν(A) < ε2 (2.2.2). Ta thấy rằng nếu D ⊆ C

thì C∆D = CD. Lấy A∈ M sao cho ρµ(A,∅) =µ(A) < δ, khi đó:

(E0A)∆E0 = E0(E0A) =E0∩ (E0 ∩Ac)c = E0 ∩(E0c∪A) = E0 ∩A ⊆A. Do đó

ρµ(E0A, E0) = µ((E0A)∆E0) =µ(E0∩A) ≤ µ(A) < δ, theo giả thiết thì |ν(E0A)−ν(E0)| < 4ε.

Mặt khác ν là độ đo hữu hạn nên ta có:

ν(A∩ E0) =ν(E0(E0A)) =ν(E0)−ν(E0A) < ε

Bây giờ ta để ý rằng:

E0∆[E0 ∪(AE0)] = [E0∪ (AE0)]E0 = [E0∪(A∩E0c)]∩E0c

= A∩E0c = AE0 ⊆ A ⇒µ(AE0) < δ. Theo giả thiết ta có ν(AE0) =ν(E0∪[AE0)]−ν(E0) < ε4. Do đó

ν(A) =ν[(A∩E0)∪(AE0)] = ν(A∩E0) +ν(AE0) < ε

Vậy ta có (2.2.2).

Bây giờ với bất kỳ hai tập đo được A và B sao cho

Vậy ta có đều phải chứng minh.

Chúng ta đã chứng minh rằng một độ đo ν hữu hạn trên M là tuyệt đối liên tục đối với µ nếu và chỉ nếu mỗi ε > 0, có một δ > 0 sao cho nếu µ(E) < δ, thì ν(E) < ε, có nghĩa là nếu ν là hữu hạn, thì ν là tuyệt đối liên tục đối với µ nếu và chỉ nếu hàm tập ν là liên tục với không gian

mêtric liên kết Nikodym tại ∅. Tuy nhiên chúng ta sẽ suy luận từ Bổ đề 2.2.2 nếu một độ đo hữu hạn ν trên M là liên tục với không gian mêtric liên kết Nikodym tại một tập E0 trong M, thì nó liên tục đều trên M. Đó là kết quả của mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 2.2.3. Cho (X,M, µ) là một không gian độ đo hữu hạn và ν là một độ đo hữu hạn trên M là tuyệt đối liên tục đối với µ, thì ν xác định một tính chất hàm liên tục đều trên không gian mêtric Nikodym liên kết với (X,M, µ).

Chứng minh. ν là tuyệt đối liên tục đối với µ nên với ε > 0 cho trước, ∃δ sao cho với bất kỳ tập E ∈ M nếu: µ(E) < δ ⇒ ν(E) < ε4. Bây giờ áp dụng Bổ đề 2.2.2 ta lấy E0 = ∅ ta sẽ có với ε > 0 và δ >0 sao cho với bất kỳ tập đo được E nếu ρµ(E,∅) < δ hay

µ(E) < δ ⇒ |ν(E)−ν(∅)| = ν(E) < ε

từ đây ta suy ra ∀A, B ∈ M, ρµ(A, B) < δ , thì |ν(A)−ν(B)| < ε. Vậy ta đã chứng minh được rằng ν liên tục đều trên không mêtric Nikodym liên kết với (X,M, µ).

Định nghĩa 2.2.4. Cho (X,M) là một không gian đo được. Một dãy

(νn)n các độ đo trên M được gọi là hội tụ từng tập trên M tới hàm tập ν nếu

ν(E) = limn→∞νn(E),∀E ∈ M.

Định nghĩa 2.2.5. Cho (X,M, µ) là một không gian độ đo hữu hạn. Một dãy (νn)n các độ đo hữu hạn trên M, mỗi một trong số đó đều là tuyệt đối liên tục đối với µ, thì được gọi là tuyệt đối liên tục đều đối với µ nếu

cho trước một ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho để với bất kỳ tập đo được E và bất kỳ số tự nhiên n,nếu

µ(E) < δ, thì νn(E) < ε.

Định nghĩa 2.2.6. Một dãy hàm {hn : S → R} trên không gian mêtric (S, ρ) thì được gọi là liên tục đồng bậc tại một điểm u ∈ S cho trước nếu với mỗi ε > 0,∃δ >0 sao cho ∀ν ∈ S và ∀n∈ N

ρ(u, v) < δ thì |hn(u)−hn(v)| < ε.

Dãy {hn : S → R} gọi là liên tục đồng bậc trên S nếu nó liên tục đồng bậc tại mọi điểm thuộc S.

Định nghĩa 2.2.7. Cho µ là một độ đo trên một không gian đo được, một tập hợp các hàm {fα} được gọi là khả tích đều nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ >0 sao cho ∀α,∀E ∈ M, µ(E) < δ ⇒ |R

fαdµ| < ε.

Bây giờ cho (νn)n là một dãy các độ đo hữu hạn tuyệt đối liên tục với µ trên M với µ là σ-hữu hạn khi đó theo Định lí Radon - Nikodym với mỗi số tự nhiên n có một hàm fn không âm khả tích, đạo hàm Radon - Nikodym của νn đối với µ là:

νn(E) =R E

fndµ,∀E ∈ M. Chúng ta có các mệnh đề tương đương dưới đây.

Mệnh đề 2.2.8. Cho (X,M, µ) là một không gian độ đo hữu hạn và

(νn)n là dãy các độ đo hữu hạn trên M, mỗi một trong số đó đều là tuyệt đối liên tục đối với µ, thì các điều dưới đây là tương đương với nhau: i. Dãy các độ đo (νn)n là tuyệt đối liên tục đều đối với độ đo µ.

ii. Dãy các hàm {νn : M → R} là liên tục đồng bậc đối với không gian mêtric Nikodym ρµ.

iii. Dãy các đạo hàm Radon - Nikodym {dνn

dµ} là khả tích đều trên X đối với độ đo µ.

Chứng minh. i ⇔ ii. + i ⇒ ii

Xét A∈ M tùy ý, với ε > 0 cho trước do (νn)n là dãy hàm tuyệt đối liên tục đều nên ∃δ >0,∀E ∈ M,∀n∈ N:

µ(E) < δ ⇒νn(E) < ε

Bây giờ áp dụng Bổ đề 2.2.2 với E0 = ∅ ta có ρµ(E,∅) = µ(E) < δ

⇒ |νn(E)−νn(∅)| = νn(E) < ε

4,∀n ∈ N. Nên theo Bổ đề 2.2.2, ∀B ∈ M :

ρµ(A, B) < δ ⇒ |νn(A)−νn(B)| < ε,∀n∈ N.

Vậy dãy (νn)n liên tục đồng bậc tại A nhưng do A ∈ M tùy ý nên (νn)n

liên tục đồng bậc đối với không gian mêtric Nikodym (M', ρµ)

+ ii ⇒ i

Ta có∅ ∈ M. Do dãy (νn)n liên tục đồng bậc tại ∅nên với mỗiε > 0,

∃δ >0,∀B ∈ M,∀n∈ N:

ρµ(∅, B) = µ(B) < δ ⇒ |νn(∅)−νn(B)| < ε

hay νn(B) < ε. Vậy theo định nghĩa dãy độ đo (νn)n là tuyệt đối liên tục đều đối với µ.

i ⇔iii. + i ⇒ iii

Ta có:{dνn

dµ } = {fn}, vớiε > 0cho trước vì dãy (νn)n là tuyệt đối liên tục đều nên ∃δ > 0 sao cho ∀E ∈ M,

hay νn(E) =R E

fndµ < ε.

Vậy theo định nghĩa dãy đạo hàm Radon - Nikodym {dνn

dµ} là khả tích đều trên X đối với độ đo µ.

+ iii ⇒i Vì dãy {dνn

dµ }= {fn} là khả tích đều trên X đối với µ nên với mỗi ε > 0,∃δ >0: µ(E) < δ ⇒ | Z E fndµ| < ε,∀n∈ N mà R E

fndµ = νn(E) nên νn(E) < ε,∀n ∈ N. Suy ra (νn)n tuyệt đối liên tục đều đối với độ đo µ.

Định lí 2.2.9. Cho (X,M, µ) là một không gian độ đo hữu hạn và (νn)n

là một dãy các độ đo hữu hạn trong M tuyệt đối liên tục đều đối với µ. Nếu (νn)n hội tụ từng tập trong M tới ν, thì ν là một độ đo của M, tuyệt đối liên tục đối với µ.

Chứng minh. Ta có: 1. ν(E) = limn→∞νn(E) ≥ 0,∀E ∈ M. 2. ν(∅) = limn→∞νn(∅) = 0. 3. Xét E1, E2, ..., Ek ∈ M, Ei∩Ej = ∅, i 6= j, i = 1, k, j = 1, k. Ta có: ν(∪ik=1Ei) = lim n→∞νn(∪k i=1Ei) = lim n→∞ k X i=1 νn(Ei) = k X i=1 lim n→∞νn(Ei) = k X i=1 ν(Ei). Suy ra ν cộng tính hữu hạn.

Bây giờ ta sẽ chứng minh ν cộng tính đếm được. Xét (Ek)∞k=1 ⊂ M

ν( ∞∪ k=1Ek) = ∞ X k=1 ν(Ek).

Nếu có một chỉ số k sao cho ν(Ek) = +∞ thì ∞ P k=1 ν(Ek) = +∞ và ν( ∞∪ k=1Ek) ≥ ν(Ek) nên ν( ∞∪ k=1Ek) = +∞= ∞ P k=1 ν(Ek). Do đó chúng ta giả sử rằng ν(Ek) < +∞,∀k ∈ N. Từ tính cộng tính hữu hạn của ν, với mỗi số tự nhiên n ta có:

ν(∞∪ k=1Ek) = ∞ P k=1 ν(Ek) =Pn k=1ν(Ek) +ν( ∞∪ k=n+1Ek).

Cho trước ε > 0từ tính tuyệt đối liên tục đều đối với µcủa dãy (νn)n

nên có một số δ > 0 sao cho ∀E ∈ M,∀n∈ N.

Nếuµ(E) < δ ⇒ νn(E) < 2ε và do đó nếuµ(E) < δ ⇒ν(E) < ε (2.2.3). Do µ là độ đo hữu hạn nên µ(X) < +∞, ta có: µ(∪∞

k=1Ek) < +∞ hay ∞ P k=1 µ(Ek) < +∞. Vậy chuỗi số dương

∞

k=1

µ(Ek) < +∞hội tụ. Do đó với số δ ở trên ∃N ∈ N

sao cho: ∞ X k=N+1 µ(Ek) < δ hay µ( ∞∪ k=N+1Ek) < δ ⇒ν( ∞∪ k=N+1Ek) < ε ⇒ν( ∞∪ k=1Ek)− N X k=1 ν(Ek) < ε (2.2.4)

(do mỗi ν(Ek) < +∞). Dễ thấy rằng (2.2.4) luôn đúng ∀n∈ N, n ≥ N. Vậy ta có: ν( ∞∪ k=1Ek)−Pn k=1ν(Ek) < ε, ∀n ∈ N, cho n → ∞ ta được 0 ≤ ν( ∞∪ k=1Ek)− ∞ X k=1 ν(Ek) ≤ε.

Điều này đúng với ε > 0 tùy ý nên ν( ∞∪

k=1Ek) =

∞

k=1

ν(Ek).

Vậy ν là một độ đo trong M. Từ (2.2.3) suy ra rằng ν là tuyệt đối liên tục đối với µ.

Định lí 2.2.10. (Vitali-Hanh-Saks). Cho (X,M, µ) là một không gian độ đo hữu hạn và (νn)n là một dãy các độ đo hữu hạn trên M, mỗi một trong số chúng là tuyệt đối liên tục đối với µ, giả thiết rằng (νn(X))n là bị chặn và (νn)n hội tụ từng tập trên M tới ν. Khi đó dãy (νn)n là tuyệt đối liên tục đều đối với µ. Hơn nữa ν là một độ đo hữu hạn trên M, tuyệt đối liên tục đối với µ.

Chứng minh. Ta biết rằng không gian mêtric Nikodym là đầy đủ,

(νn)n là dãy các hàm liên tục trên không gian mêtric này hội tụ từng điểm ( hội tụ từng tập) tới hàm ν. Vì (νn(X))n là bị chăn nên ν nhận giá trị thực từ kết quả của Định lí 1.2.10 sẽ có một tập E0 ∈ M sao cho dãy các hàm {νn : M → R} là liên tục đồng bậc tại E0 tức là với ε > 0,∃δ > 0

sao cho với mọi tập E đo được :

ρµ(E0, E) < δ ⇒ |νn(E)−νn(E0)| < ε,

với mỗi ∀n ∈ N, νn là hữu hạn. Áp dụng Bổ đề 2.2.2 ta có với mỗi tập E đo được và ∀n∈ N:

ρµ(E,∅) < δ ⇒ |νn(E)−νn(∅)| < ε hay

µ(E) < δ ⇒νn(E) < ε.

Từ đây suy ra (νn)n là tuyệt đối liên tục đều, theo Định lí 2.2.9 ν là một độ đo hữu hạn tuyệt đối liên tục đối với µ.

* Chú ý: Dĩ nhiên σ-đại số không phải là không gian tuyến tính và các toán tử tuyến tính không phải là những độ đo tuy nhiên có một sự tương

tự giữa định lí Vitali- Hahn - Saks và tính liên tục của giới hạn từng điểm

của một dãy toán tử tuyến tính liên tục và định lí Baire-category là cơ sở

của các chứng minh của cả hai kết quả.

Định lí 2.2.11. (Nikodym). Cho (X,M) là một không gian đo được và

(νn)n là một dãy các độ đo trên M hội tụ từng tập trong M tới hàm tập ν, giả thiết rằng (νn(X))n là bị chặn, thì suy ra ν là một độ đo trên M.

Chứng minh. Với mỗi tập E ∈ M, xác định: µ(E) = ∞ X n=1 1 2nνn(E).

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng µ là một độ đo hữu hạn trên M. Thật vậy. Ta có: νn(E) ≥ 0,∀E ∈ M,∀n ∈ N nên µ(E) ≥0. νn(∅) = 0,∀n∈ N ⇒µ(∅) = 0.

(Ei)∞i=1 ⊂ M, sao cho: Ei ∩Ej = ∅, i 6= j. Do νn(X) ≤ M,∀n ∈ N nên với mỗi E ∈ M ta có chuỗi

∞ P n=1 1 2nνn(E) ≤ ∞ P n=1 M 2n < +∞. Do đó chuỗi ∞ P n=1 1 2nνn(E) hội tụ, nên ta có: µ(∪∞i=1Ei) = ∞ X n=1 1 2nνn(∪∞i=1Ei) = ∞ X n=1 1 2n ∞ X i=1 νn(Ei) = ∞ X n=1 ∞ X i=1 νn(Ei) 2n = ∞ X n=1 lim k→∞ k X i=1 νn(Ei) 2n = lim k→∞ k X i=1 ∞ X n=1 νn(Ei) 2n = ∞ X i=1 ∞ X n=1 νn(Ei) 2n = ∞ X i=1 µ(Ei).