C. Vaọn dúng vaứo caực baứi toaựn khaực
CHUYÊN ẹỀ 10 – TÍNH CHIA HẾT ẹỐI VễÙI ẹA THệÙC A Dáng 1: Tỡm dử cuỷa pheựp chia maứ khõng thửùc hieọn pheựp chia
A. Dáng 1: Tỡm dử cuỷa pheựp chia maứ khõng thửùc hieọn pheựp chia
1. ẹa thửực chia coự dáng x – a (a laứ haống) a) ẹũnh lớ Bụdu (Bezout, 1730 – 1783):
Soỏ dử trong pheựp chia ủa thửực f(x) cho nhũ thửực x – a baống giaự trũ cuỷa f(x) tái x = a Ta coự: f(x) = (x – a). Q(x) + r
ẹaỳng thửực ủuựng vụựi mói x nẽn vụựi x = a, ta coự f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r
Ta suy ra: f(x) chia heỏt cho x – a ⇔ f(a) = 0
b) f(x) coự toồng caực heọ soỏ baống 0 thỡ chia heỏt cho x – 1
c) f(x) coự toồng caực heọ soỏ cuỷa háng tửỷ baọc chaỹn baống toồng caực heọ soỏ cuỷa caực háng tửỷ baọc leỷ thỡ chia heỏt cho x + 1
Vớ dú : Khõng laứm pheựp chia, haừy xeựt xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia heỏt cho B = x + 1, C = x – 3 khõng
Keỏt quaỷ:
A chia heỏt cho B, khõng chia heỏt cho C 2. ẹa thửực chia coự baọc hai trụỷ lẽn
Caựch 1: Taựch ủa thửực bũ chia thaứnh toồng cuỷa caực ủa thửực chia heỏt cho ủa thửực chia vaứ dử Caựch 2: Xeựt giaự trũ riẽng: gói thửụng cuỷa pheựp chia laứ Q(x), dử laứ ax + b thỡ
f(x) = g(x). Q(x) + ax + b
Vớ dú 1: Tỡm dử cuỷa pheựp chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1 Caựch 1: Ta bieỏt raống x2n – 1 chia heỏt cho x2 – 1 nẽn ta taựch: x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1
= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dử 3x + 1 Caựch 2:
Gói thửụng cuỷa pheựp chia laứ Q(x), dử laứ ax + b, Ta coự: x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vụựi mói x
Hệ số của đa thức chia Hệ số thứ 2 của đa thức bị chia + Hệ số thứ 1đa thức bị chia a
ẹaỳng thửực ủuựng vụựi mói x nẽn vụựi x = 1, ta coự 4 = a + b (1) vụựi x = - 1 ta coự - 2 = - a + b (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra a = 3, b =1 nẽn ta ủửụùc dử laứ 3x + 1 Ghi nhụự:
an – bn chia heỏt cho a – b (a ≠ -b)
an + bn ( n leỷ) chia heỏt cho a + b (a ≠ -b) Vớ dú 2: Tỡm dử cuỷa caực pheựp chia a) x41 chia cho x2 + 1 b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1 c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1 Giaỷi a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dử x nẽn chia cho x2 + 1 dử x b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9– x) + (x3 – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dử 4x c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 chia cho x2 + 1 dử – 2x + 7 B. Sụ ủồ HORNễ 1. Sụ ủồ
ẹeồ tỡm keỏt quaỷ cuỷa pheựp chia f(x) cho x – a (a laứ haống soỏ), ta sửỷ dúng sụ ủồ hornụ
Neỏu ủa thửực bũ chia laứ a0x3 + a1x2 + a2x + a3, ủa thửực chia laứ x – a ta ủửụùc thửụng laứ b0x2 + b1x + b2, dử r thỡ ta coự
Vớ dú:
ẹa thửực bũ chia: x3 -5x2 + 8x – 4, ủa thửực chia x – 2 Ta coự sụ ủồ
1 - 5 8 - 4
2 1 2. 1 + (- 5) = -3 2.(- 3) + 8 = 2 r = 2. 2 +(- 4) = 0 Vaọy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 laứ pheựp chia heỏt
2. Áp dúng sụ ủồ Hornụ ủeồ tớnh giaự trũ cuỷa ủa thửực tái x = a Giaự trũ cuỷa f(x) tái x = a laứ soỏ dử cuỷa pheựp chia f(x) cho x – a 1. Vớ dú 1:
Tớnh giaự trũ cuỷa A = x3 + 3x2 – 4 tái x = 2010 Ta coự sụ ủồ: 1 3 0 -4 a = 2010 1 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + 0 = 4046130 2010.4046130 – 4 = 8132721296 Vaọy: A(2010) = 8132721296