II. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số
hai đờng thẳng
A. Mục đích yếu cầu
Học sinh nắm đợc các kiến thức cơ bản về:
- các quan hệ giữa đờng thẳng vuông góc, đờng thẳng song song, đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song.
B. Chuẩn bị
Học sinh : Đồ dùng học tập, sách tham khảo. GV: Tài liệu bồi dỡng, giáo án.
C. nội dung
Các góc tạo bởi một đ ờng thẳng cắt hai đ ờng thẳng: 1-Kiến thức cơ bản:
a.Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì....
+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau +Hai góc đồng vị bằng nhau
b.Hai đờng thẳng song song là hai đờng thẳng không có điểm chung: +Hai đờng thẳng phân biệt thì họăc cắt nhau hoặc song song
+Nếu một đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a,b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau(hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau, kí hiệu a // b
2-Ví dụ: x
Vĩ dụ 1: Cho ∠xMy = 400. Trên tia đối của tia Mx A lấy điểm N kẻ Nz sao cho tia My nằm trong góc xNz.
a.Tính ∠xNz để Nz // My
b.Kẻ MA, NB lần lợt là tia phân giác của M y các góc xMy và xNz. Chứng tỏ rằng MA // NB B N z Hình 3 Giải:
a. Hai góc ∠xNz và ∠xMy là hai góc đồng vị. Nếu ∠xNz = 400 thì ∠xMy = ∠xNz nên hai đờng thẳng Nz và My song song (hình 3)
b. MA, NB lần lợt là tia phân giác của ∠xMy và ∠xNz nên ∠xMA = 1/2∠xMy = 200; ∠xNB = 1/2∠xNz = 200. Suy ra ∠xMA = ∠xNB hai góc này ở vị trí đồng vị của hai đờng thẳng MA và NB cắt Nx do đó MA//NB.
III-TiêN đề ơclit về đ ờng thẳng song song từ vuông góc đến song song.
1.Kiến thức cơ bản:
a.Tiên đề ơclit về đờng thẳng song song b. Từ vuông góc đến song song
2.Ví dụ: Cho tam giác ABC. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia
Ax sao cho ∠CAx = ∠ACB, trên nữa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia Ay sao cho ∠BAy = ∠ABC.
a.Chứng minh hai tia Ax và Ay nằm trên một đờng thẳng
b.Qua C kẻ đờng thẳng d vuông góc với BC. Đờng thẳng d có vuông góc với đờng thẳng xy không ? Vì sao ? Giải: d y A I x B C Hình 4
a. ∠xAC và ∠ACB là hai góc ở vị trí so le trong mà ∠xAC = ∠ACB nên Ax//BC. Hai góc ∠yAB và ∠ABC là hia góc ở vị trí so le trong mà ∠yAB = ∠ABC nên Ay//BC
Theo tiên đề ơclit, qua điểm A chỉ có một đờng thẳng song song với BC nên đờng thẳng chứa các tia Ax; Ay trùng nhau do đó hai tia Ax và Ay nằm trên cùng một đ- ờng thẳng.
b. Gọi I là giao điểm của đờng thẳng d và đờng thẳng xy. Vì xy//BC nên ∠xIC = ∠BCI (hai góc so le trong) do đó đờng thẳng d vuông góc với đờng thẳng BC tại C nên ∠BCI = 900 suy ra ∠xIC = 900 chứng tỏ d ⊥ xy.
IV-Các tr ờng hợp bằng nhau của tam giác:
1-Kiến thức cơ bản:
a.Trờng hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh. b.Trờng hợp 2: Cạnh - góc - cạnh. c.Trờng hợp 3: Góc - cạnh - góc.
d.Trờng hợp đặc biệt: Tam giác vuông.
2-Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là một điểm nằm trong tam giác sao
cho DB = DC; E là trung điểm của BC. Chứng minh: a)AD là tia phân giác của góc BAC.
b)3 điểm A, D, E thẳng hàng
c)DE là đờng trung trực của đoạn thẳng BC.
Giải: A
D
B E C Hình 5 Hình 5
a.Hai tam giác ∆ADB và ∆ADC ó AB = AC (gt) AD chung. DB = DC (gt). Vậy ∆ADB = ∆ADC (C.C.C) suy ra ∠DAB = ∠DAC do đó AD là tia phân giác của ∠BAC.
b.Hai tam giác ∆AEB và ∆AEC có AB = AC (gt) có AE chung; EB = EC (gt). Vậy ∆AEB = ∆AEC (C.C.C) suy ra ∠EAB = ∠EAC do đó AE là tia phân giác của ∠BAC vì AD, AE là tia phân giác của ∠BAC nên AD, AE trùng nhau hay 3 điểm A, D, E thẳng hàng.
c.Theo câu b thì ∆AEB = ∆AEC (C.C.C) nên ∠AEB = ∠AEC mà ∠AEB + ∠AEC = 1800 nên ∠AEB = ∠AEC = 900. Suy ra AE ⊥ BC.
Mặt khác 3 điểm A, D, E thẳng hàng nên DE ⊥ BC ta có E trung điểm của BC. Vậy DE là đờng trung trực của BC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ∠B <900. Trên nữa mặt phẳng có chứa A bờ BC, vẽ tia By vuông góc với BC, trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC. Trên nữa mặt phẳng có chứa C bờ AB, vẽ tia Bx vuông góc với BA. Trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA. Chứng minh rằng: y a.DA = EC D b.DA ⊥ EC A H B / C K E x Giải: a.∆ABD và ∆EBC có AB = BE
∠ABD = ∠EBC (cùng bằng 900 - ∠ABC), BD = BC do đó ∆ABD = ∆EBC (C.G.C). Suy ra DA = EC.
b.Gọi giao điểm của DA với BC và EC theo thứ tự là H và K ta có ∆ABD = ∆EBC (câu a). Suy ra ∠ADB = ∠ECB do đó ∠BDH = ∠KCH .Xét ∆DBH và ∆CKH có: ∠BDH = ∠KCH; ∠DHB = ∠CHK(đ đ) nên ∠DBH = ∠CKH do ∠DBH = 900 nên ∠CKH = 900 vậy DA ⊥ EC
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ∠A < 900; AB = AC, kẻ CE vuông góc với AB(E ∈ AB) và BDvuông góc với AC (D ∈ AC). Gọi F là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng:
a. BD = CE
b. FE = FD và FB = FC
c. FA là tia phân giác của góc BAC
Giải: A E D F B C Hình 7
a) BD và CE lần lợt vuông góc với AC và AB, do đó ∠ADB = ∠AEC = 900. Xét hai tam giác vuông ADB và AEC có AB = AC (gt) ∠BAC chung nên suy ra ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền - góc nhọn ) Suy ra BD = CE.
b) Theo câua ta có ∆ADB = ∆AEC nên ∠ABD = ∠ACE (Hai góc tơng ứng) AE = AD (cạnh tơng ứng) mà AE + EB = AB; AD + DC = AC do AB = AC (gt) nên EB = DC.
Xét tam giác vuông EFB và DFC có BE = CD, có ∠EBF = ∠DCF. Vậy ∆EFB = ∆DFC (Cạnh góc vuông-góc nhọn). Suy ra FE = FD và FB = FC.
c) Xét ∆FEA và ∆FDA có EA = DA ( ∆ADB = ∆AEC)
∠AEF = ∠ADF = 900, FE = FD ( câu b). Vậy ∆AEF = ∆ADF (C.G.C). Suy ra ∠FAE = ∠FAD do đó AF là tia phân giác của ∠BAC.
Phần II: Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C. Trên các cạnh góc vuông CA và CB ngời
ta lấy thứ tự theo các điểm D và E sao cho CD = CE. Qua C và D vẽ các đờng thẳng vuông góc với AE cắt AB ở H và K. Chứng minh rằng KH = HB.
Giải: A
Qua B dựng đờng thẳng vuông góc K
với AE cắt AE ở P, cắt AC ở M, AP đờng cao, BC đờng cao cắt nhau D H
tại E. Suy ra E trực tâm ∆ABM N nên ME ⊥ AB tại N. ∆MNA vuông tại N có ∠MAN = 450 (gt)⇒∠AMN = 450 C B
⇒∆MCE vuông cân nên CM = CE E lại có CD = CE (gt). ⇒CM = CD.Do vậy ba đờng thẳng DK, CH, MB là 3 đờng thẳng song song và cách đều nên KH = HB. M Hình 8
Bài 2: Cho tam giác ABC. Ngời ta vẽ tam giác vuông cân ABD đỉnh B sao cho A và D
ở về hai phía đối với đờng thẳng BC. Rồi vẽ tam giác vuông cân CBG đỉnh B sao cho A và G ở cùng phía đối với đờng thẳng BC. Chứng minh rằng GA ⊥ CD.
Giải: ∠B1 + ∠B2 = 900 ⇒∠B1 = ∠B3 G ∠B2 + ∠B3 = 900 1 Xét ∆ABG và ∆DBC bằng nhau (C.G.C) ⇒∠G1 = ∠C1 mà ∠E1 = ∠E2 (đối đỉnh) ∠G1 + ∠E1 = 900 ⇒∠C1 + ∠E2 = 900 A nên ∆EMC vuông tại M
⇒ GM ⊥ CD Hay GA ⊥CD 1 1 E B 2 2 1 C 3 M D Hình 9
Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = BC) trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Dựng BH ⊥ AD (H ∈ AD); CK ⊥ AE ( K ∈ AE). Chứng minh rằng:
a.BH = CK b.BC // HK
Giải:
a.Xét ∆ADB và ∆AEC chúng có AB = AC (gt); ∠ACE = ∠ABD (cùng bù ∠C1 và ∠B1) mà ∠C1 = ∠B1 (gt) và BD = CE nên ∆ADB = ∆AEC (C.G.C)
Suy ra ∠ADB = ∠AEC và AD=AE.
Xét tam giác vuông HBD và ∆KCE A có CE = BD (gt); ∠HBD = ∠KCE, <HDB =<KEC
(chứng minh trên) nên ∆HBD = ∆KCE (cạnh huyền- góc nhọn)
⇒ BH = CK.
b.Xét tam giác vuông AHB và ∆AKC
có AB = AC (gt); BH = CK(chứng minh trên).Suy ra
∆AHB = ∆AKC (CH-CGV)⇒AH =AK.Nên
∆AHK cân⇒ ∠AHK = ∠AKH (1) H K ∠AHK = 2 180−∠HAK (2) 1 1 ∠ADE = 2 180−∠DAE (3) D B C E Từ (1) , (2) và (3)suy ra ∠AHK = ∠ADE Hình 10
nên DE // KH hayBC//HK. phần III: Bài tập về nhà
Bài 1: ( Toán nâng cao về các chuyên đề)
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đờng thẳng vuông góc với BC, kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lợt ở M và N.
Chứng minh rằng: a. DM = EN
b. Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN. c. Đường thẳng vuụng gúc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
---The end---
Chuyên đề2:
Phơng pháp phản chứng
Để chứng minh một mệnh đề nào đó, ngời ta có thể dùng phơng pháp chứng minh trực tiếp, hoặc dùng phơng pháp chứng minh gián tiếp. Một trong những cách chứng minh gián tiếp đó là chứng minh bằng phản chứng.
Các bớc của phơng pháp chứng minh phản chứng. B
ớc 1 : Giả sử có điều trái với kết luận ( phủ định kết luận) B
ớc 2 : Từ điều giải sử trên và cùng với các giả thiết ta suy ra điều mâu thuân với giải thiết hoặc trái với những điều đã biết ( tiêu đề, định lý, hệ quả các chứng minh trên...) ( dẫn đến mâu thuẫn).
B
ớc 3 : Từ điều mâu thuẫn trên ta khẳng định điều trái với kết luận là sai. Vậy kết luận cần phải chứng minh là đúng ( khẳng định kết luận).
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu độ dài các cạnh của tam giác thoả mãn bất đẳng thức: A2 + b2 > 5c2 thì c là cạnh độ dài nhỏ nhất của tam giác.
Giải: Giải sử c không phải là cạnh nhỏ nhất của tam giác. Không mất tính tổng quát: Giả sử: a < c => a2 < c2 theo bất đẳng thức tam giác.
Ta có: b < a + c nên b2 < (a + c) 2 do a < c nên
( a+ c)2 < 4c2 => b2 < 4c2. Từ đó suy ra : a2+ b2 < 5c2 điều này trái với giả thiết. Vậy c là cạnh nhỏ nhất của tam giác.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng một tam giác có hai đờng phân giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Giải: Xét Δ ABC có hai phân giác AM, BN bằng nhau.
Ta phải chứng minh tam giác ABC cân. Giả sử Δ ABC không cân ở C khi đó AC > BC hoặc AC < BC.
Nếu AC > BC thì góc ABC > BAC suy ra góc ABN > góc MAB. Xét tam tam giác MAB và Δ MBA có BN = AM;
AB chung và góc ABN > góc MAB nên AN > BM. Từ M kẻ đờng thẳng // với AC.
Từ N kẻ đờng thẳng // với AM, hai đờng thẳng này cắt nhau tại D.
Δ MAN = Δ NDM ( c.g.c) suy ra AN = MD mà AN > MB
do đó MD > MB khi đó trong Δ MBD ta có : góc MDB < MBD ( 1) mặt khác góc NDM = NAM = MAB
NBA = NBM ( 2) từ ( 1) và ( 2) suy ra:
Góc NDB < NBD . Vì thế trong tam giác NBD ta lại có BN = ND nhng ND = AM , do đó BN < AM trái với giả thiết.
Nếu AC < BC chứng minh tơng tự ta có BN > AM trái với giả thiết. Vậy Δ ABC cân ở C.
Bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh rằng không thể cắt một tam giác không là tam giác cân thành hai tam giác bằng nhau.
H ớng dẫn giải: C A B N M D
Giả sử có đờng thẳng đi qua đỉnh A cắt cạnh BC tại điểm D chia tam giác ABC thành hai tam giác: Δ ABD = ΔACD => góc B = C => Δ ABC cân tại A ( trái với giả thiết).
Bài 2: Có hay không một tam giác sao cho hai đờng cao của nó đều lớn hơn 1m có diện tích nhỏ hơn 1cm2.
H
ớng dẫn giải: Giả sử tồn tại tam giác có hai đờng cao AH = ha > 100cm; BK = hb > 100cm. Khi đó BC = a > BK = hb > 100cm do đó S ABC = 2 1 aha , a > 2 1 100.100> 1cm2. Vậy không tồn tại thoã mãn đề bài.
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D và E lần lợt là trung điểm của AB, BC, M là một điểm trên cạnh AC. Chứng minh rằng nếu MD < AD thì ME < EC.
H
ớng dẫn giải: Hạ BB1 AC ta có BB1 = AD và B1E = EC
Giả sử ME < MC thế thì ME < B1 E nh vậy điểm M phải nằm giữa B1 và C. Suy ra MD > DB1 = DA trái với giả thiết.
Nếu ME = MC thì M = B1 khi đó MD = B1D = DA trái với giả thiết. Vậy ME > MC.