Biến chênh lệch và mô hình hàm truyền đạt

4. Cấu trúc của luận văn

2.2.3. Biến chênh lệch và mô hình hàm truyền đạt

Mô hình hàm truyền đạt là một công cụ mô tả toán học không thể thiếu được cho phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển. Để có được mô hình hàm truyền đạt cần lưu ý: Mô hình hàm truyền đạt chỉ áp dụng cho hệ tuyến tính và giá trị khởi đầu của tất cả các biến liên quan (kể cả các đạo hàm xuất hiện trong phương trình mô hình) phải bằng 0. Nếu mô hình ban đầu (thường là dưới dạng hệ phương trình vi phân đại số) là phi tuyến, ta có thể thực hiện một số phương pháp tuyến tính hóa như tuyến tính hóa tại điểm làm việc. Để đảm bảo điều kiện thứ hai, ta sử dụng các biến chênh lệch so với điểm làm việc thay cho các biến quá trình thực. Tại điểm làm việc của hệ thống, các biến quá trình không thay đổi về giá trị, vì thế giá trị các biến chênh lệch cũng như đạo hàm của chúng bằng 0. Sau khi đã biến đổi mô hình để thỏa mãn hai điều kiện trên, ta áp dụng phép biến đổi Laplace cho cả hai vế của các phương trình mô hình và rút gọn về dạng chuẩn [4].

Với giả thiết lưu lượng ra không phụ thuộc đáng kể vào chiều cao chất lỏng trong bình, phương trình (0.4) được viết thành:

o

dV Adh F F

dt  dt   (0.5)

trong đó hh là mức chất lỏng vàA là tiết diện cắt ngang của bình chứa (coi như đều từ trên xuống). Phương trình (0.5) đã tuyến tính nên ta chỉ cần thay thế các biến

chênh lệch vào thay vị trí các biến thực tương tứng. Cụ thể hơn, ta viết phương trình ở trạng thái xác lập: 0 0 dh A F F dt    (0.6)

với ký hiệu (*) biểu diễn giá trị của một biến tại điểm làm việc (ở trạng thái xác lập). Trừ hai vế của phương trình (0.5) cho phương trình (0.6) ta được

o d h A F F dt      (0.7) trong đó ký hiệu (Δ*) biểu diễn biến chênh lệch so với giá trị tại điểm làm việc, tức là hhh,Fo Fo F0, F F F.

ta sử dụng các ký hiệu thông dụng cho các biến mới

h

y  ,u  Fo,d  F

phương trình (0.7) được viết thành:

1

dy

(u d)

dt  A  (0.8)

Ở trạng thái ban đầu (điểm làm việc), tất cả các biến chênh lệch y, d và u cũng như đạo hàm dy dt/ đều bằng 0. Với các điều kiện này ta có thể biến đổi Laplace cho cả hai vế

1 1

sy(s) u(s) d(s)

A A

  (0.9)

và đi với mô hình truyền đạt

k k

y(s) u(s) d(s)

s s

 

  (0.10)

(0.10) biểu diễn một khâu tích phân với d là nhiễu đầu vào, k được gọi là hệ số khuếch đại và τ được gọi là hằng số thời gian tích phân. Nếu sử dụng những đơn vị theo chuẩn SI, ở đây ta có k 1 m/(m3/giây) = 1 giây/m2 và /giây =A/m2

.

Khi không có nhiễu:

k y(s) u(s) s   (0.11) với   A3 14 0 25 /4 0 04906,  , 2  , m2

Khi tốc độ bơm P01 đạt 100% thì lưu lượng nước đưa vào bình đạt 30 l/min, từ đó ta có thể tính được hệ số chuyển đổi bằng 3/10. Mô hình bình nước cấp có thể biểu diễn dưới dạng sơ đồ khối như hình 2-2.

Do đặc tính của biến tần - động cơ nên hàm truyền của hệ có dạng khâu quán tính bậc nhất nối tiếp với khâu tích phân.