3 Định lý bóng cho tập hyperbolic của vi phôi
3.3 Không gian tiệm cận của tập hyperbolic
Cho f : U → Rn là C1 - vi phôi và S là tập compact hyperbolic của f. Chúng ta có thể xác định đa tạp ổn định của S :
và đa tạp không ổn định của S
Wu(S) ={x ∈U : dist (fk(x), S)→0 khi k → −∞}.
Chúng ta có thể xác định đa tạp ổn định và không ổn định của các điểm trong S như sau Ws(x) ={y ∈U : kfk(y)−fk(x)k →0 khi k → ∞}, Wu(x) = {y ∈U : kfk(y)−fk(x)k →0 khi k → −∞}. Rõ ràng rằng ∪ x∈SWs(x)⊂ Ws(S), ∪ x∈SWu(x)⊂Wu(S).
Khi S là tập bất biến cô lập, chúng ta sẽ sử dụng tính chất bóng để chứng minh rằng một quỹ đạo thật tiệm cận tập S thì phải tiệm cận một quỹ đạo nào đó trong S.
Định lý 3.3.1. Cho S là tập compact hyperbolic cô lập của C1 - vi phôi f :
U →Rn. Khi đó ∪
x∈SWs(x) = Ws(S), ∪
x∈SWu(x) = Wu(S).
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức đầu tiên bởi vì việc chứng minh đẳng thức thứ hai được tiến hành tương tự. Ta chỉ cần chỉ ra rằng Ws(S) ⊂
∪
x∈SWs(x) vì chiều ngược lại là hiển nhiên. Giả sử z ∈Ws(S) và đặt zk =fk(z).
Khi đó dist (zk, S)→0 khi k → ∞. Tiếp theo cho
β1 = 1 +λ1
2 , β2 =
1 +λ2
2 ,
ở đây λ1 và λ2 là các số mũ của S, và giả sử ∆ là một hằng số của sự co giãn của S (chính xác hơn, ∆ có tính chất như d trong Mệnh đề 2.5.2 với β1, β2 đã được chọn) và giả sử ∆ có tính chất sao cho S là tập bất biến lớn nhất đối với f trong {x ∈ U : dist (x, S) ≤ ∆/2}. Chọn một số dương δ sao cho δ ≤ δ0 và
2M δ ≤ ∆, ở đây δ0, M là các hằng số trong Định lý 3.1.2 Tiếp theo chọn một số dương d sao cho
(1 +M1)d ≤δ, 2d ≤ ∆,
ở đây M1 được xác định trong (3.16) (thông thường, để đơn giản ta giả sử rằng U là lồi).
Tiếp theo tồn tại k0 sao cho với k ≥k0 dist (zk, S)≤ d và vì vậy với k ≥ k0 tồn tại yk ∈ S sao cho
kzk −ykk ≤ d. Chú ý rằng nếu k ≥ k0
kyk+1 −f(yk)k ≤ kyk+1−zk+1k+kf(zk)−f(yk)k ≤d+M1d
≤δ.
Vì vậy nếu ta đặt yk = fk−k0(yk0) với k < k0, ta thấy rằng {yk}∞k=−∞ là một δ - giả quỹ đạo của f trong S. Vì vậy, theo Định lý 3.1.2, tồn tại duy nhất một quỹ đạo thật {xk}∞k=−∞ của f sao cho với mọi k
kxk −ykk ≤ M δ.
Do M δ ≤ ∆/2 nên suy ra rằng xk ∈ S với mọi k. Nếu k ≥ k0, kfk(z)−fk(x0)k ≤ kzk −ykk+kyk −xkk ≤ d+M δ ≤∆. Khi đó theo Mệnh đề 2.5.2 suy ra rằng
kfk(z)−fk(x0)k → 0 khi k → ∞. Vì vậy z ∈ Ws(x0) và định lý được chứng minh xong.
KẾT LUẬN
Chúng ta đã chứng minh rằng trong không gian Rn, tập bất biến hyperbolic của C1 vi phôi thì có tính bóng và tính co giãn. Định lý bóng được áp dụng để chứng minh hai kết quả về tính vững của tập hyperbolic và không gian tiệm cận của các tập hyperbolic.
Trong luận văn này thì giả thiết của bài toán là hàm f xác định trên tập lồi, mở U vẫn còn là một giả thiết khá chặt và có thể mở rộng được. Chúng tôi sẽ nghiên cứu phần mở rộng này trong thời gian tới.
Tài liệu tham khảo
[1] Aoki, N. (1983), On homeomorphisms with pseudo-orbit tracing property. Tokyo 1. Math. 6, 329-334.
[2] Aoki, N. (1989), Topological dynamics, in Topics in General Topology, K.Morita and J.Nagata ed., North Holland, Amsterdam, 625-740.
[3] Aoki, N. and Hiraide, N. (1994), Topological Theory of Dynamical Systems. Recent Advances, North-Holland, Amsterdam.
[4] Chen, L. and Li, S. (1992), Shadowing property for inverse limit spaces, Proc.Amer.Math.Soc. 115, 573-580.
[5] Coomes, B.A. (1997), Shadowing orbits of ordinary differential equations in invariant submanifolds. Trans.Amer.Math.Soc. 349, 203-216.
[6] Coomes, B.A., Kocak, H. and Palmer, K.J. (1994), Shadowing orbits of ordinary differential equations. J. Comp. Appl. Math. 52, 35-43.
[7] Coomes, B.A., Koc;ak, H. and Palmer, K.J. (1995), A shadowing theorem for ordinary differential equations, Z. Angew. Math. Phys. 46, 85-106. [8] Coomes, B.A., Koc;ak, H. and Palmer, K.J. (1996), Shadowing in discrete
dynamical systems, in Six Lectures on Dynamical Systems, B.Aulbach and F.Colonius ed., World Scientific, Singapore, 163-211.
[9] Coppel, W. A. (1965), Stability and Asymptotic behavior of differential equations, D. C. Heath, Boston.
[10] Coppel, W. A. (1978), Dichotomies in stability theory, Lecture note in mathematics 629, Springer - Verlag, Berlin.
[11] Feckan, M. (1991), A remark on the shadowing lemma, Funk. Ekvac. 34, 391-402.
[12] Fenichel, N. (1996), Hyperbolicity and exponential dichotomy, Dynamics Reported 5, 1-25.
[13] Henry, D. (1981), Geometric theory of similinear parabolic equation, Lec- ture notes in mathemmatics 840, Springer - Verlag, New York.
[14] Henry, D. (1994), Exponential dichotomies, the shadowing lemma, and homo clinic orbits in Banach spaces, Resenhas IME-USP 1, 381-40l.
[15] Hisch, M. W. and Smale, S. (1974), Differential equation, Dynamical sys- tems and Linear algebra, Academic Press, New York.
[16] Landford, O. E. (1985), Introduction to hyperbolic sets, in Regular and Chaotic motion in dynamic systems, Vol. 118, Plenum Press, New York, 73 - 102.
[17] Li, S. (1992), Shadowing property for inverse limit spaces, Proc. Amer.Math.Soc. 115, 573-580.
[18] Ombach, J. (1986), Equivalent conditions for hyperbolic coordinates, Topology and applications, 23, 87 - 90.
[19] Palmer, K. (2000), Shadowing in dynamic systems theory and applications, Kluer Academic Publishers.
[20] Sawada, K. (1980), Extended f-orbits are approximated by orbits, Nagoya Math. J. 79, 33-45.