Định lí Cho I là một iđêan chính quy của vành R Các điều sau là tương đương:

IĐÊAN CHÍNH QUY KHẢ NGHỊCH

3.6. Định lí Cho I là một iđêan chính quy của vành R Các điều sau là tương đương:

đương:

( 1 ) I chính quy khả nghịch.

( 2 ) Nếu aRbR với a,bI thì tồn tại u, vu(R) sao cho a = ubv. Chứng minh. ( 1 )  ( 2 )

Giả sử  : aR bR với a,bI.Ta có  (a)bR  (a)RbR.rR:b =

 (ar) =  (a)r (a)R  bR (a)R  (a)R = bR.Do bR là chính quy

cR:  (a) =  (a)c (a)=  (ac (a))a = ac (a) R (a) RaR (a). Vì aI chính quy, ta có a = ada với dR (a) =  (ada)=  (a)daRa.Do đó R (a)Ra. Vì thế ta có Ra = R (a). Ta có  (a)I.theo bổ đề 3.1.5. tồn tại u,vu(R) sao cho  (a) = ua và b =  (a)v  b = uav.

( 2 )  ( 1 )

Cho xI, khi đó tồn tại yR sao cho x = xyx. Đặt e = xy thì ta có e = e2R và xR = eR với x, eI.Vì thế có u,vu(R) sao cho x = uev.Ta chứng minh x = x(v-1u-1)x. Thật vậy, ta có:

x(v-1u-1)x = uev(v-1u-1)uev = ue2v = uev = x.

Do đó x chính quy khả nghịch. Vậy I chính quy khả nghịch. 

3.7. Bổ đề. Cho I là một iđêan chính quy của vành R. Nếu PFP(I) thì tồn tại các lũy đẳng e1, …, enI sao cho Pe1R…enR. các lũy đẳng e1, …, enI sao cho Pe1R…enR.

Chứng minh. Giả sử PFP(I).Thì ta có một R- môđun phải Q sao cho PQnR với n . Đặt e: nR  P là xạ ảnh vào P. Thì Pe(nR), khi đó EndR(P) eMn(R)e. Do P = PI, ta có e(nR) = e(nR)InI. Đặt e = ( 1,…,

n

 ) Mn(R).Ta có e(1, 0, …, 0)T

 nI.Từ đó 1  nI.Tương tự, ta có

2

 ,…,nnI. Do đó eMn(I).Vì I là iđêan chính quy của R nên Mn(I) cũng chính quy. Kiểm tra trực tiếp được EndR(P) là một vành chính quy, do đó là một vành thay thế. Vậy P có tính chất thay thế hữu hạn. Đặt M = P  Q thì ta

có M = P  Q = 1 n i i R 

 với tất cả Ri R.Theo tính chất thay thế hữu hạn của P,

ta có Qi( 1 i n ) sao cho M = P  ( 1 n i i Q   ) ở đây tất cả Qi là số hạng trực

tiếp tương ứng của Ri.Tổng Qi  Pi = Ri,  i. Thế thì P  ( 1 n i i Q   ) = ( 1 n i i P   )( 1 n i i Q 

trực tiếp của R là một R – môđun phải, i. Vì thế ta có các lũy đẳng ei sao cho Pi  eiR. R õ ràng, eiR là một R- môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh.Từ P = PI có P R ( R I) = 0; do đó Pi R ( R I ) = 0. ( eiR ) R ( R I ) = 0, vì thế eiR = eiRI I.Hơn nữa, ta có eiI, i. Do đó, P  e1R  enR,  ei I. 

3.8. Định lí. Cho I là một iđêan chính quy khả nghịch của vành R. Với AMn( I ) thì tồn tại hai ma trận khả nghịch P, QMn( R ) sao cho PAQ =