Phơng trình vô định siêu việt 3.1 Phơng pháp lựa chọn môđulô
3.1.3. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
3x −2y =1.
Giải. Xét phơng trình: 3x −2y =1. (1) Chỉ có các khả năng sau xảy ra :
1) Nếux=1.Khi đó từ (1) ta có 2y = ⇒ =2 y 1. Trờng hợp này ta nhận đợc nghiệm nguyên dơng (1, 1) của (1).
2) Nếu x l số lẻ à >1, tức x=2k+1,với k nguyên ≥0. Lúc này (1) có dạng 32k+1−2y =1. (2) Do 32 ≡1(mod 4), nên 32k+1≡3(mod 4). Từ (2) suy ra
2y ≡(32k+1−1 (mod 4)) ⇒2y ≡2(mod 4). (3) Do 2 4y M với mọi y≥2 (dĩ nhiên ynguyên), nên từ (3) suy ra y=1.Khi y=1, thay lại v o (1) v cóà à x=1. Loại khả năng này vì x>1.
3) Nếu x là số chẵn (x=2k). Thay lại vào (1) và có
2y =32k − ⇔1 2y =(3k −1 3) ( k +1 .) (4) Từ (4) suy ra 3k−1, v à 3k+1 phải cùng là lũy thừa của 2, tức là
3k + =1 2 ;a 3k − =1 2b (a b> là các số nguyên dơng). Ta c ó : 2=(3k + −1) (3k − =1) 2a−2b =2 2b( a b− −1). T ừ đ ó d ễ t h ấ y a=2, b= ⇒ = ⇒ =1 k 1 y 2 v à x=3.
Vậy phơng trình 3x−2y =1 có hai nghiệm nguyên dơng :(x y, ) ( )= 1, 1 ;(3, 2 .)
3.1.4. Tìm nghiệm nguyên không âm của phơng trình
2x−3y =1.
Giải. Chỉ có các khả năng sau xảy ra :
1) Nếu y=0.Khi đó từ phơng trình: 2x −3y =1. (1) Suy ra 2x = ⇒ =2 x 1. Vậy trong trờng hợp này (1, 0) là nghiệm nguyên không
âm của (1).
2) Nếu x=0. Khi đó từ (1) có 3y =0. (2) Vì 3y >0, nên từ (2) suy ra vô lí. Vậy (1) không có nghiệm nguyên ≥0 trong trờng hợp này.
3) Nếu x y, nguyên và ≥1(tức x y, nguyên dơng).
Vì 2x = −(3 1) ( )x ≡ −1 x(mod 3), 3y ≡1(mod 3). Vì lẽ đó x phải là số chẵn, hay
2 .
x= k Thay lại vào (1) và có: 22k− =1 3y ⇔(2k−1 2) ( k+ =1) 3 .y (3) Từ (3) suy ra : 2 1 3 2 1 3 , k u k v − = + =
ở đây u v, nguyên ≥0. Từ hệ trên đi đến : 3v − =3u 2. (4) Nếu u v, ≥1 thì vế trái của của(4): 3v−3u ≡0 (mod 3), đó là điều vô lí vì vế phải của (4) ≡2(mod 3). Lại do v u> , nên chỉ có thể xảy ra v=1; u=0. Từ đó k =1, nên x=2k=2 v à y=1.Trong trờng hợp này đi đến nghiệm (2,1) của (1).
Vậy phơng trình 2x− =3y 1 có nghiệm nguyên không âm sau đây
(x y, ) (= 1, 0) v à(2, 1).