Phương pháp này thường được sử dụng để biến đổi một bài toán có ràng buộc thành các bài toán không có ràng buộc bằng cách sử dụng một hàm phạt.
Xét bài toán:
f∗ = min{f(x) : x ∈ X, gj(x) ≤0, j = 1, ..., m}, (P) trong đó X ⊆ Rn, f, gj(x) : Rn →R, (j = 1, ...m). Giả sử X là đóng, không rỗng và f, gj là liên tục trên X.
Xét
C = {x ∈ X : gj(x) ≤ 0, j = 1, ..., m}, là tập chấp nhận được và giả sử tập ràng buộc
C0 = {x ∈ X : gj(x) < 0, j = 1, ..., m},
Ta có thể tìm một điểm x0 ∈ C0. Hàm phạt (p) được xây dựng như sau (i) p là liên tục trên C0;
(ii)Với bất kì dãy{xk} ⊆ C0 hội tụ đếnx /∈ C0 ta cóliminf p(xk) = +∞.
Ví dụ 2.1. p(x) = − m X j=1 log(−gj(x)).
Ta có p xác định trên C0, nếu các hàm gj lồi thì plồi chặt. Với mỗi p > 0 cố định, ta định nghĩa bài toán phạt:
min{Ft(x) = f(x) +tp(x) : x ∈ C0.} (I)
Định lí 2.3. (Định lý hội tụ) Giả sử (P) là giải được. Xét 0 < tk →0 và xk
là nghiệm của (I) thì f(xk) → f∗ và bất kì điểm tụ của dãy {xk} là nghiệm
Chứng minh. . Vì xk là nghiệm tối ưu của (I) với mọi k ta có
f(xk) +tkp(xk) ≤ f(xk+1) +tkp(xk+1) f(xk+1) +tk+1p(xk+1) ≤f(xk) +tk+1p(xk). Cộng hai bất đẳng thức trên ta thấy f(xk) ≥ f(xk+1) với mọi k.
Vậy limf(xk) không tồn tại. Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Bài toán (P) có một nghiệm x∗ ∈ C0. Vì xk là nghiệm tối
ưu của (I) ta có thể viết
f(xk) + tkp(xk) ≤ f(x∗) +tkp(x∗) (2.17) Ta giả sử u∗ là điểm tụ của {xk}.
Giả sử rằng xk → u∗. Nếu u∗ ∈ C thì lấy giới hạn trong (2.17), vì tk → 0, ta có f(u∗) ≤ f(u∗).
Vậy u∗ là nghiệm tối ưu của (P), và do tính đơn điệu của {f(xk)} ta thấy toàn bộ dãy {f(xk)} tiến về f∗.
Nếu u∗ 6∈ C0, vì xk → u∗, từ (b) có một chỉ số K1 sao cho {tkp(xk)} ≥0 với mọi k ≥ K1.
Khi đó từ (2.17) ta có:
f(xk) ≤ f(x∗) +tkp(x∗),∀k ≤K1.
Cho k →+∞, từ tk →0, ta có limf(xk) ≤f(x∗). Nhưng vì xk ∈ C với mọi k, f(xk) ≥ f(x∗).
Vậy
limf(xk) = f∗.
Trường hợp 2. Bài toán (P) không có nghiệm trong C0.
Giả sử β := limf(xk). Vì f(xk) ≥ f∗ với mọi k, ta có f∗ ≥ β.
Nếu f∗ < β. Vì xk ∈ C0 và tính liên tục của f, phải tồn tại u ∈ C0 sao cho
f∗ < f(u) < β. (2.18) Thì
Theo chứng minh trên ta có
f(xk) ≤f(u) + tkp(u),∀k ≥ K1.
Cho k → +∞ ta có β = limf(xk) ≤ f(u) điều này mâu thuẫn với (2.18). Vậy
limf(xk) = f∗
Ví dụ 2.2. Tìm nghiệm tối ưu của bài toán min{f(x, y) = x−2y}. Các điều kiện ràng buộc
y2 −x−1≤ 0; y ≥ 0. Giải Miền ràng buộc D = {(x, y) : y2 −x−1≤ 0;y ≥0}. Ta có: g1(x, y) = y2 −x−1 ≤ 0; g2(x, y) = −y ≤ 0. Đặt ∗ P0(z) := −[ ln(−y2 +x+ 1) +lny ], trong đó z = (x(t), y(t) Xét bài toán phạt M in{F(z, t) =f(z) +tp0(x, y) : z ∈ C0} đây là một quy hoạch lồi
Giả sử (x(t), y(t)) là nghiệm tối ưu của bài toán này. Khi đó theo điều kiện cần và đủ tối ưu, ta được:
∗ F(z, t) := f(z) +P0(z) = (x−2y)−t , ln(−y2 +x+ 1)−t lny. ∂F(z, t) ∂x = 1− t 1 +x−y2 = 0 ∂F(z, t) ∂y = −2− t y + 2ty 1 +x−y2 = 0 ⇔ t 1 +x−y2 = 1; −2− t y + 2y = 0.
Ta có: −2− t y + 2y = 0 ⇔ 2y2 −2y −t = 0 ⇔ " y(t) = 1 + √ 1 + 2t 2 > 0 (thỏa mãn); y(t) = 1−√1 + 2t 2 < 0 (loại). Cho t →0 thì y(t) = 1 + √ 1 + 2t 2 y→1 −→ 1. Khi x(t) →0, y(t) → 1 thì f(x(t), y(t)) → f∗ = −2. Vậy (0,1) là nghiệm tối ưu với:
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các vấn đề sau:
1. Trình bày kiến thức cơ bản nhất về tập lồi, hàm lồi, bất đẳng thức Jensen, hàm nửa liên tục trên, hàm nửa liên tục dưới.
2. Phát biểu bài toán tối ưu, một số ví dụ điển hình về bài toán tối ưu đó là: bài toán thể tích lớn nhất, bài toán lập kế hoạch sản suất, bài toán định vị và bài toán phân viêc. Trình bày sự tồn tại nghiệm tối ưu và các điều kiện tối ưu không ràng buộc, tối ưu có ràng buộc, điều kiện tối ưu Kuhn - Tucker và các ví dụ minh họa.
3. Trình bày các kiến thức cơ bản về toán tử chiếu lên tập lồi đóng, các tính chất của toán tử chiếu và thuật toán để giải bài toán này, cụ thể:
* Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán tối ưu không khả vi * Thuật toán hàm phạt điểm trong không phải là phương pháp chiếu nó là một kỹ thuật cho phép đưa việc giải bài toán tối ưu có ràng buộc về việc giải các bài toán không có ràng buộc qua đó cho phép tránh phải tính hình chiếu vì rất nhiều trường hợp tính hình chiếu rất khó, thậm trí không thực hiện được.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kiến thức và thời gian có hạn nên kết quả trong luận văn còn nhiều hạn chế và chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
Tài liệu tham khảo
Tài liệu Tiếng Việt
[1] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn các phương pháp tối ưu, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội.
[2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền và Nguyễn Hữu Điển (sẽ ra), Nhập
môn giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi
tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tài liệu Tiếng Anh
[4] D. P. Bertsekas (2005), Convex Analysis and Optimization, Cambridge University Press.
[5] L. D. Muu (sẽ ra), Introduction to Optimization Theory, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ.