2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính
2.6Tính chất của tập nghiệm
Xét bài toán minf(x);
với điều kiện x ∈ X. (M OLP)
Định nghĩa 2.6.
Cho X ⊂ Rn và f :X →Rm. Ta nói f là Rm+ - liên tục tại x0 ∈ X nếu mọi lân cận V của f(x0) trong Rm tồn tại lân cận U của x0 trong Rn sao cho:
f(x) ∈ V +Rm+, ∀x ∈ U ∩X,
và f là Rm+ - liên tục trên X nếu Rm+ - liên tục tại mọi x0 ∈ X.
Định lý 2.7.
Nếu X đóng và f là Rm+ - liên tục trên X thì W S(X, f) là tập đóng. Chứng minh:
Giả sử phản chứng rằng, tồn tại dãy {xk} ⊂ W S(X, f) hội tụ tới x0 ∈/ W S(X, f). Khi đó, vì X đóng ta có x0 ∈ X, tồn tại x ∈ X sao cho:
f(xk)−f(x) ∈ intRm+.
Lấy lân cận V của f(x0) sao cho:
V ⊂ f(x) +intRm+. (2.1) Vì f là Rm+ - liên tục trên X, tồn tại chỉ số k0 sao cho:
kết hợp điều này với (2.1) ta nhận được
xk ∈/ W S(X, f),
mâu thuẫn. Hệ quả 2.1.
Nếu f(X) đóng thì W M in(f(X)) đóng. Nói riêng ra, nếu X compact và f liên tục thì W M in(f(X)) đóng.
Chứng minh:
Nếu f(X) đóng thì theo định lý trên ta có W S(X, f) đóng. Kí hiệu id
là ánh xạ đồng nhất trên f(X). Vì W M in(f(X)) trùng với W S(f(X), id), ta suy ra WMin(f(X)) đóng.
Nếu X compact và f liên tục thì f(X) đóng.
Nhắc lại rằng, tập con X0 của đa diện lồi X được gọi là một diện nếu
X0 = X hoặc tồn tại siêu phẳng H sao cho X được chứa trọn trong một nửa không gian sinh bởi H và sao cho X0 = X ∩H.
Định nghĩa 2.7.
Tập B ⊂ Rn được gọi là liên thông cung nếu với mọi a, b ∈ B tồn tại hữu hạn điểm của B : b0 = a, . . . , bl+1 = b sao cho các đoạn thẳng
[bi, bi+1], i= 0, . . . , l thuộc B.
Định lý 2.8.
Với mọi đa diện lồi X trong Rn, nếu các tập M in(X) và W M in(X)
khác rỗng thì chúng gồm một số diện của X và chúng liên thông cung. Chứng minh.
Chúng ta biết rằng, với mọi hàm tuyến tínhξ trên Rn, tập các điểm cực tiểu của ξ trên X là một diện đóng của X. Do đó, khẳng định thứ nhất suy từ Theorem 3.3, [4].
Phần còn lại của định lý được suy ra từ phần thứ nhất và những kết quả về tính liên thông liên quan đến các tập lồi. Dưới đây là cách chứng minh của Podinovski-Nogin (1983) [4], p.137. Kí hiệuX1, X2, . . . , Xk là các mặt mở tương đối của X đôi một không giao nhau và hợp của chúng là
M in(A). Lấy ai ∈ Xi và xét các nón lồi đóng: C∗(ai) ={ξ ∈ Rn | ai ∈ S(X, ξ)}, i = 1,2, . . . , k. Nếu kí hiệu: C0 = {ξ ∈ ri(C∗) | min{hξ, xi | x ∈ X}} tồn tại thì C0 ⊆C∗(a1)∪ · · · ∪C∗(ak) (2.2) Thực vậy, với ξ ∈ C0, tập nghiệm S(X, ξ) là một mặt đóng của X và nó thuộc vào M in(X). Do đó tồn tại i sao cho: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
xi ⊆ S(X, ξ).
Điều này này nghĩa làξ ∈ C∗(ai). Bây giờ lấya, b ∈ M in(X)vớia ∈ Ai, b ∈
Aj với i, j ∈ {1,2, . . . , k}. Ta phải chỉ ra rằng có b0, . . . , bl+1 ∈ M in(X)
sao cho:
a = b0, b = bl+1 (2.3)
và
Khi đó, theo Proposition 3.2, Chapter 4 của [4], tồn tại
ξa ∈ C0 ∩C∗(ai), ξb ∈ C∗(aj)
sao cho:
a ∈ S(X, ξa), b ∈ S(X, ξb).
Rõ ràng C0 là một nón lồi, do đó [ξa, ξb] ⊆ C0. Dựa vào (2.2), tồn tại
ξ1, . . . , ξl sao cho:
ξ1 = ξa, ξl = ξb (2.4)
[ξa, ξb] = [ξ1, ξ2]∪, . . . ,∪[ξl−1, ξl] và (2.5)
[ξr, ξr+1] ⊆ C∗(ai(r)), (2.6) trong đó i(r) ∈ {1, . . . , k}, r = 1, . . . , l −1. Từ trên suy ra:
ξr+1 ∈ C∗(ai(r))∩C∗(ai(r+1))∩C0 và do đó [ai(r), ai(r+1)] ⊆ S(X, ξr+1) ⊆M in(X). (2.7) Vì ξ1 = ξa, a ∈ S(X, ξ1) và vì a ∈ Xi ta có xi ⊆ S(X, ξ1). Nói cách khác ai(1)−ai và [ai, ai(1)]⊆ S(X, ξ1) ⊆M in(X). (2.8) Tương tự [ai(l), b]⊆ S(X, ξl) ⊆ M in(X). (2.9) Đặt b0 = a, br = ai(r), bl+1 = b, r = 1,2, . . . , l và sử dụng (2.7), (2.8), (2.9) ta nhận được (2.3).
Với W M in(X) chứng minh tương tự. Định lý 2.9.
Tập S(X, f) và tập W S(X, f) của bài toán (MOLP) là những tập liên thông cung và bao gồm một số diện đóng của tập lồi đa diện X.
Chứng minh.
Kết luận
Luận văn trình bày tổng quan về một số nội dung của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính như:
• Những kết quả về sự tồn tại nghiệm.
• Những kết quả về điều kiện hữu hiệu.
• Những mối quan hệ xuất hiện trong các kết quả đã trình bày. Các kết quả đạt được trong luận văn là:
• Trình bày được một cách tương đối có hệ thống một số kết quả cho bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính trên cơ sở những kết quả của những bài toán đa mục tiêu tổng quát. Một số kết quả tổng quát đã được diễn giải và tính toán lại một cách chi tiết.
Tài liệu tham khảo
Tài liệu tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học và kĩ thuật Hà Nội.
[2] Đinh Thế Lục (1998), Giáo trình tối ưu hóa đa mục tiêu, Viện Toán học, Hà Nội.
[3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (bản thảo), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tài liệu tiếng Anh
[4] Dinh The Luc (1989), Theory Of Vector Optimization, Springer- Verlag.
[5] M. Zeleny (1974), Linear Multiobjective Programming, Springer Ver- lag.