Thiết kế bài học “§1 Các định nghĩa”

6. Cấu trúc luận văn

2.2.1. Thiết kế bài học “§1 Các định nghĩa”

Vào giờ học, giáo viên yêu cầu học sinh hãy vào trang web “vận dụng lý thuyết kết nối vào dạy học”, vào thư mục “các chủ đề”, chọn chương “Vectơ”

và vào bài học “Các định nghĩa”. Nếu điều kiện khơng cho phép thì giáo viên sẽ trực tiếp vào trang web như trên và chiếu trang web lên màn hình lớn trước lớp.

Trước hết, cần vào nút 1 để trả lời các câu hỏi đã được đặt ra (hoặc hoạt động trước khi trả lời)

Nút 1: Các câu hỏi và hoạt động

Câu hỏi 1: Nếu bạn thấy một con tàu trên biển, bạn cĩ thể trả lời câu hỏi sau hay khơng: Sau một ít giờ nữa con tàu ở vị trí nào trên biển (xem hình ảnh minh họa)? Vì sao? (cĩ thể tìm câu trả lời ở nút 2).

Câu hỏi 2: Vectơ là gì? Mỗi vectơ cĩ những thành phần nào? Vectơ liên quan tới khái niệm nào trong vật lý? (nút 2)

Câu hỏi 3: Mối quan hệ của 2 vectơ bất kỳ trong mặt phẳng cĩ được xét như vị trí tương đối của 2 đường thẳng hay khơng?

Nút 2: Nội dung, kiến thức

Trong nút 2, người học sẽ tìm thấy câu trả lời hoặc hướng dẫn, như sau: Trả lời câu hỏi 1: Nếu chỉ thấy một con tàu trên biển, ta chưa thể biết sau một ít giờ nữa con tầu ở vị trí nào trên biển. Bởi vì chưa biết nĩ sẽ theo phương nào, hướng nào và đi với vận tốc bao nhiêu?

Cũng trong nút này, người học sẽ tìm thấy câu trả lời cho các câu hỏi 2, 3,... hoặc hướng dẫn, trao đổi để lĩnh hội các kiến thức trong mục trình bày những kiến thức về vectơ như đã trình bày trong sách giáo khoa. Các kiến thức sẽ được thiết kế thành các hoạt động như sau:

(1) Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB cĩ hướng từ A đến B. Khi đĩ ta nĩi AB là đoạn thẳng cĩ hướng.

23

Trả lời câu hỏi 1: Nếu chỉ thấy một con tàu trên biển, ta chưa thể biết sau một ít giờ nữa con tầu ở vị trí nào trên biển. Bởi vì chưa biết nĩ sẽ theo phương nào, hướng nào và đi với vận tốc bao nhiêu.

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng cĩ hướng.

 Vectơ cĩ điểm đầu là A điểm cuối là B được ký hiệu là AB và đọc là “vectơ AB”. Để vẽ AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút B.

 Vectơ cịn được kí hiệu là a,b,x,y ,…  Độ dài vectơ AB được kí hiệu là:

AB= AB.

 Vectơ cĩ độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. Qua định nghĩa, HS đã trả lời được câu hỏi 2 ở nút 1.

(2) Vectơ cùng phƣơng, vectơ cùng hƣớng

 Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đĩ.

ĐN: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song

hoặc trùng nhau.

 Hai vectơ cùng phương thì cĩ thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ: AB và CD là hai vectơ cùng hướng. PQ và RS là hai vectơ ngược hướng.

 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương.

(3) Hai vectơ bằng nhau, vectơ - khơng

Mỗi vectơ cĩ một độ dài, đĩ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đĩ. Độ dài của vectơ AB được ký hiệu là AB = AB.

Vectơ cĩ độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

A B C D E F P Q R S Hình 2.2

24

ĐN: Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cĩ cùng độ dài, kí hiệu a b .

Chú ý: Cho a và điểm O. Khi đĩ tồn tại duy nhất một điểm A sao cho 

OA a.

 Vectơ - khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ký hiệu là 0. (0 AA , A).

 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.  0= 0.

A  B  AB 0 .

Qua kiến thức ở nút 1, HS sẽ trả lời được câu hỏi.

Trả lời câu hỏi 3: Mối quan hệ giữa 2 vectơ trong mặt phẳng khơng được xét như vị trí tương đối của 2 đường thẳng. Chúng chỉ được xét quan hệ về phương, hướng, độ dài.

Trong nút 3 cĩ các bài tốn cho người học tự rèn luyện hoặc các câu hỏi, bài tập ơn tập về vectơ. Các câu hỏi, bài tập ơn tập được phân chia thành các dạng bài tập ở các mức độ nhận biết, thơng hiểu, vận dụng.

Nút 3: Luyện tập, ơn tập

Dạng 1: Xác một vectơ, sự cùng phƣơng và hƣớng của hai vectơ Phƣơng pháp: Sử dụng các khái niệm về vectơ

+ Khái niệm về vectơ.

+ Khái niệm về hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC. Cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác

25

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm là O. Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AD, BC.

a) Tìm các vectơ cùng phương với AB; b)Tìm các vectơ cùng hướng với AB; c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB;

d)Tìm các vectơ bằng với MO, bằng với OB.

Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF cĩ tâm O

a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB;

c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và cĩ: + Các điểm đầu là B, F, C

+ Các điểm cuối là F, D, C

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm là O. Tìm các vectơ từ 5 điểm

A, B, C, D, O.

a)bằng vectơ AB ; OB. b)Cĩ độ dài bằng OB .

Hƣớng dẫn

Bài 1: Cĩ các cặp điểm {A; B}, {A; C}, {B; C}. Mỗi cặp điểm xác định 2

vectơ. Vậy cĩ tất cả 6 vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác.

Bài 2: a) NM AB BA CD DC; ; ; ; b) MN AB DC; ; c) NM BA CD; ; d) ON  MO; DOOB N M O D A B C Hình 2.3

26

Bài 3:

a) DA AD BC CB AO OD DO FE EF, , , , , , , , b) OC ED FO , ,

c) Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB khi đĩ BB'AB

* FO là vectơ cần tìm

* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB Do CC’//AB CC' AB

+ Tương tự

Bài 4:

a. ABDC,OBDO

b. |OB| | BO| | DO| |OD|

Dạng 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau:

Phương pháp: Ta cĩ thể dùng một trong các cách sau: + Sử dụng định nghĩa: | | | | , cùng hướng       a b a b a b + Sử dụng tính chất của các hình. Nếu ABCD là hình bình hành thì ,

ABDC BC AD,…(hoặc viết ngược lại) + Nếu ab b,   c a c

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC cĩ D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB. Chứng minh: EFCD

Bài 2: Cho tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ABDC

Hình 2.4 O D A B C Hình 2.5 A D C B o Hình 2.6

27 E F D B A C

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu ABDC thì ADBC

Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB,

BC, CD, DA. Chứng minh: MNQP; NPMQ

Hƣớng dẫn Bài 1:

Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD, EF=1 2BC=CD EF=CD EF  CD (1) EF cùng hướng CD (2) Từ (1),(2)  EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành EF=1 2BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hànhEF CD Bài 2:

Chứng minh chiều thuận ():

* ABCD là hình bình hành      CD AB CD AB// * AB DC CD AB CD AB       //

Chứng minh chiều đảo ():

* AB = DC  AB, DC cùng hướng và AB  DC * AB và DC cùng hướng  AB // CD (1) * AB  CD  AB = CD (2). Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành Bài 3: ABDC AB=DC, AB)/CDABCD là hình bình hành  ADBC Hình 2.7 Hình 2.8

28

Bài 4: MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 1

2AC và MN//PQ //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành  ĐPCM.

Nếu HS nắm vững các kiến thức cơ bản và giải được một số dạng bài tập ở nút 3 thì tiếp tục chuyển sang nút 4. Nút 4 trình bày các vấn đề nhằm mở rộng, đào sâu, nâng cao nội dung về vectơ.

Nút 4: Mở rộng/đào sâu/nâng cao

(1) Hệ tiên đề Weyl (lấy điểm, vectơ làm khái niệm cơ bản để định nghĩa

đường thẳng, mặt phẳng và các khái niệm khác của Hình học khơng gian);

Khơng gian Ơ-clit 2 và 3 chiều chỉ là trường hợp riêng của khơng gian Ơ-clit n chiều (nN).

Để xây dựng khơng gian n-chiều tốt nhất là dùng hệ tiên đề do Hermann Weyl đề nghị năm 1918, được trình bày dưới đây (H. Weyl 1885-1955, nhà tốn học người Đức). Cho khơng gian vector n-chiều V.

Khơng gian afin n-chiều: Giả sử ta cĩ một tập hợp A khơng rỗng mà

mỗi phần tử của nĩ được gọi là điểm (khái niệm cơ bản). Tập A được gọi là khơng gian afii n-chiều liên kết với khơng gian vectơ n-chiều V nếu các tiên đề sau đây được thỏa mãn:

Tiên đề 1: Với bất kì cặp điểm cĩ thứ tự A, B của A cĩ thể xác định

được một vector của V, mà ta sẽ kí hiệu là vectơ AB.

Tiên đề 2: Với mỗi điểm A cho trước của A và mỗi vectơ ucho trước của V, cĩ duy nhất một điểm B của A sao cho AB u .

Tiên đề 3: Với bất kì ba điểm A, B, C của A ta cĩ:

AB AC CB 

Khơng gian afin 2-chiều được gọi là mặt phẳng afin.

Khơng gian vector Ơ-clit: Khơng gian vectơ n-chiều V, trên đĩ cĩ xác

29

với một số thực, kí hiệu là a.b, sao cho các tiên đề dưới đây được thỏa mãn, được gọi là khơng gian vectơ Ơ-clit n-chiều; Các tiên đề đĩ là:

1. Với mọi vectơ a, b của V, cĩ: a.b b.a

2. Với mọi vectơ a, b của V và một số thực tùy ý k, cĩ:(k.a).b k.(a.b) 3. Với mọi vectơ a, b, c của V, cĩ: a.(b c) a.b a.c  

4. Với mọi vectơ a 0 của V, cĩ: a.a 0

Với vector a tùy ý, tích vơ hướng a.a được kí hiệu là 2

a , chú ý rằng 2

a  0, 2

a được gọi là độ dài của vector a và kí hiệu là a , tức là 2 a  a

Khơng gian Ơ-clit n-chiều: Nếu V là một khơng gian vectơ Ơ-clit n-

chiều (xem định nghĩa ở trên) thì khơng gian afin A liên kết với V gọi là khơng gian Ơ-clit n-chiều.

Khơng gian Ơ-clit thường được kí hiệu là E.

Khơng gian Ơ-clit 2 chiều được gọi là mặt phẳng Ơ-clit.

Trong hệ tiên đề Weyl, “điểm” là khái niệm cơ bản, cịn các khái niệm khác như: đường thẳng, mặt phẳng, ở giữa, độ dài đoạn thẳng, số đo gĩc… đều được định nghĩa.

Định nghĩa: Giả sử A là khơng gian afin liên kết với khơng gian vectơ

V. Cho điểm A thuộc A và vector a khác vectơ - khơng của V. Tập hợp các điểm M của A sao cho AM k.u , với mọi số thực k, gọi là một đường thẳng.

Điểm B gọi là nằm giữa A và C nếu cĩ số k < 0 sao choBA k.BC . Độ dài đoạn thẳng AB trong khơng gian Ơ-clit là độ dài của vectơ AB. Số đo gĩc giữa hai vector u và v là số thực φ được xác định bởi cơng thức cos u v.

u v

30

Từ đĩ, ta cĩ thể định nghĩa gĩc giữa hai đường thẳng và sự vuơng gĩc giữa hai đường thẳng.

Trong trường hợp n=3, ta chứng minh được hệ tiên đề Weyl khơng gian Ơ-clit 3 chiều tương đương với hệ tiên đề Hin-be và tương đương với hệ tiên đề ở phổ thơng nĩi trên.

Nút 5: Ứng dụng kiến thức vào thực tiễn

Trong nút 5 (Ứng dụng kiến thức vào thực tiễn) chúng tơi trình bày một số ứng dụng của vectơ trong khoa học kỹ thuật; một số bài tốn trong thực tiễn mà việc giải nĩ liên quan đến kiến thức về vectơ.

Vectơ thường được ứng dụng nhiều trong việc điều hướng, như điều hướng máy bay trên đường hàng khơng, điều hướng thuyền bơi trên mặt nước... Ví dụ, khi một chiếc thuyền băng qua một con sơng chảy, ta cần phải xác định được các yếu tố: điểm xuất phát, điểm đích trên bờ đối diện, vận tốc dịng chảy, để từ đĩ xác định phương và vận tốc cho thuyền một cách thích hợp. Điều này chỉ cĩ thể được biết được nhờ các ứng dụng của vectơ, đĩ chính là một vectơ vận tốc.

Hình 2.9

Nút 6: Những bài giảng hay

Khi HS hoặc GV muốn tham khảo các bài giảng hay liên quan đến vectơ thì vào nút 6. Chúng tơi sẽ tích hợp trên trang web liên kết sau để học sinh tham

Vận tốc dịng nước

Vận tốc của thuyền phụ thuộc vào vận tốc dịng nước Vận tốc thực của thuyền khi đi qua sơng

31

khảo bài “Các định nghĩa”: https://www.youtube.com/watch?v=1v2cDA7f44k; https://www.youtube.com/watch?v=MQBWXr2vRgA.

Nút 7: Lịch sử vấn đề, bối cảnh này sinh những tƣ tƣởng tốn học

Vectơ là một khái niệm nền tảng của tốn học và cĩ nhiều ứng dụng trong Vật lý. Ý tưởng đầu tiên về vectơ trong việc sử dụng hình bình hành để biểu diễn hợp của hai lực, một cách làm khá phổ biến ở thế kỷ 16 - 17. Tuy nhiên, khơng phải khái niệm vectơ tốn học và phép cộng vectơ đã được biết ở thời kỳ này.

Quy tắc bình hành bổ sung cho lý thuyết vectơ là rất trực quan nhưng nguồn gốc của nĩ khơng rõ ràng. Nĩ cĩ thể đã xuất hiện trong một tác phẩm bị mất của Aristotle (384-322 trước Cơng nguyên), và nĩ đang ở trong kỹ thuật cơ khí của Heron (thế kỷ thứ nhất sau cơng nguyên) của Alexandria. Đây cũng là hệ quả tất yếu đầu tiên trong Principia Mathematica năm 1687 của Isaac Newton (1642 - 1727). Trong Principia, Newton xử lý rộng rãi với những gì bây giờ được coi là đơn vị vectơ (ví dụ như vận tốc, lực), nhưng chưa khái niệm về một vectơ. Nghiên cứu cĩ hệ thống và sử dụng các vectơ xuất hiện cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20.

Việc nghiên cứu lịch sử đã chỉ ra rằng khái niệm vectơ được nảy sinh từ hai xu hướng nghiên cứu sau:

- Xây dựng các hệ thống tính tốn trong nội tại hình học. - Liên quan đến việc mở rộng số thực.

(I). HỆ THỐNG TÍNH TỐN ĐẦU TIÊN TRONG NỘI TẠI HÌNH HỌC

(1). Leibniz và hình học vị trí

Ý tưởng đầu tiên về sáng tạo ra một hệ thống tính tốn trong nội tại hình học thuộc về Leibniz (1646 - 1716), xuất phát từ nhận xét rằng phương pháp giải tích của Descartes và Fermat. Nĩ cung cấp một cơng cụ khá mạnh cho việc giải các bài tốn hình học nhưng lại tạo ra tấm màn che lấp đi trực giác hình học.

Leibniz muốn tìm cách đại số hĩa hình học nhưng khơng thốt khỏi phạm vi hình học. Với ý định đĩ Leibniz đã xây dựng hình học vị trí, lý thuyết

32

này được hình thành trên hệ tương đẳng “Hai cặp điểm được gọi là tương đẳng nếu các khoảng cách giữa ai điểm của từng cặp bằng nhau, hai bộ ba điểm được gọi là tương đẳng nếu hai tam giác giữa chúng chồng khít lên nhau”. Với khái niệm tương đẳng ơng đã giải quyết được một vài bài tốn khá cơ bản nhưng chỉ dừng lại ở đĩ.

Hình học vị trí khơng đáp ứng được những mong muốn của Leibniz vì khi xem xét quan hệ giữa hai điểm với khái niệm tương đẳng chỉ giữ lại độ dài. Hơn nữa trong hình học vị trí Leibniz khơng định nghĩa phép tốn trên các đối tượng hình học.

(2). Tính tốn tâm tỉ cự của Mobius

August Ferdiman Mobius (1790 - 1866) khơng trực tiếp xây dựng nên lý