b2 (ứ + Jt0) ( ; c - ứ ) = - 2a 2ỵ0ỵ
2 2
Vì T(x0, yo) e (E) nên ta có: ~ ị + ~ ỳ = 1
a b 2 ^0 _ X l = X Q yi = yo (2)
Thay (2) vào (1) ta được: 2 +
f b Ỵ = 1. I e ( E ) : 4 + T ẳ r = ' 1^1 2 X
Vậy tập họp giao điểm I chính là elip có phương trình dạng: 2+ ■
f b_
v 2
2.2.2.4. Tập họp điểm dạng Hypebol Ví dụ 1
Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, c cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tập hợp điếm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC.
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với o là trung điểm của BC, Ox trùng với đoạn thẳng BC.
Đặt BC = 2a > 0. Khi đó tọa độ B ( - a , 0); C (a, 0). Giả sử A (x0, y0), y0 ^ 0. Khi đó trọng tâm G -
Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là:
X = X().
Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh c xuống cạnh AB là:
( x + a ) ( a - x 0) - y 0y = 0. Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình sau:
X = x n X = X, (x + a ) ( a - x 0) - y 0y = 0<=> y - 2 2 a - X n H = í 2 2 's a - X o x0’---— y0 V y0
Trung điểm K 2x0 .3a - 3 x ;+ y ;
V 3 6y<>
Điểm K thuộc đường thẳng BC: y = 0 khi và chỉ khi:
3a2- 3 x ỉ + y 2ữ 2 2 2 xị yl
— 0 o 3 a 3x0 + — 0 o 2 0 2 — (yo '~f~ 0).
oỵ0 a 3 a
2 2
X ỵ ■>
Vây tâp hop A là hypebol 2“ 2"= 1 bỏ đi hai điêm B, c.
a 3 a
Ví dụ 2
Cho đoạn thẳng AB cố định. M là điểm di động (M khác A và B). H là hình chiếu của M trên AB. Tìm tập hợp điểm M biết = = k, k > 0.
HAHB
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho tia Ox qua A và B, Oy là đường trung trực của đoạn AB.
Giả sử AB = 2a (a > 0). Khi đó A(-a, 0), B(a, 0). Gọi М(хм, Ум) => H(xM, 0).
Ta có : M H 2 = ị ^ Ị ( x M - X M ) + = y ị
HA = Ặ x ~ ¥ a f
HB = Ặ x ~ ã f
Theo giả thiết ta có = £ <=> 7---Ặ~7---"Т = <=> = к
HAHB [xM+ a ) { x M- a ) x „ - a
o k x ị - k a 2 = y ị =
a b
2 2
X у
Vậy tập hợp điêm M là hypebol có phương trình dạng: T - ~TT - (k >
ũ. Kữ
Ví dụ 3
Jt2 y 2 , , 9 Г
Cho (Н): 2 “ 2 = 1(0< a< b). Đường thăn (d) đi qua điêm M cô đinh
a b
không thuộc hai đường tiệm cận của (H) và cắt (H) tại л , B. Chứng minh rằng trung điểm I của AB chạy trên một hypebol cố định.
Lời giải: ,
x = x0+(xJÍ- x 0)í Giả sử M(xM, Ỵm) và I(x0, y0). Khi đó: < ,t e R
y ^ o + U V - y o ) '
Xét sự tương giao giữa (d) và (H) là:
X = X0 + ( XM - * o ) t y = y0 + { y M - y 0)t
2 2 2 2 „ 2 7 .2
b X - a y = a b
=> ~(*M -*o)2/?2-(>'a/ ->'o)2fl2^ 2+2~(*A/ -*o)V>2-(>’m -J(,)2>o«2^ + ^ 2->’Ổ«2-« 2^ =0 (1) Vì (d) n (H) = {A, B} nên (1) có 2 nghiệm tA, tB thoả mãn:
-2 l A + t B - {XM - x ữ)xữb 2- ( y M- y ữf yữa- (*w-Xo f b 2- ( y M - y „ ) a ’ x0 ~ y<òa —a b (xM-x „ ) b2- ( y M- y ữ) a 2
Vì I là trung điểm của AB nên ta có:
2xfì= [ x 0 + ( x M - x (í) t A'\ + \_xũ + { x M - x 0)f8 ] 2 y 0 = [ y 0 + { y M - 3 ,o ) ^ ] + [ 3 ,o + ( > ,M - 3 ' o ) í iỉ ] 2x0 = x a+x b < 2y0 = y A+ y B \ 2 í <=> M 2 y M \ 2 2 2 XM y M a ~4 4 a .2 ' (2)
Vậy tập họp trung điểm I của AB là một hypebol có phương trình dạng:
M y y M Y a T 4 2 2 _ *A/ _ 2 b 2 a
Ví dụ 4
Cho (C): X 2 + ỵ 2 = \ . (C) cắt Oy tại các điểm A(0, 1), B(0, -1). Đường thẳng y = m (-1 < m < 1, m Ỷ 0) cắt (C) tại T và s. Đường thẳng qua A và T cắt đường thẳng qua B và s tại p. Tìm tập hợp điểm p.
Lời giải:
Đặt S = ( x0, y n) ^ T = ( - x fí, y 0).
_ * y 1 _ /
Phương trình đường thăng AT: - 7 x (yo ~ *) + -*0^ - x 0
~ x0 y 0 ~ *
X _ y + ì
Phương trình đường thẳng BS:
*0 ^0 +
Toạ độ của p là nghiệm của hệ phương trình sau:
J < t i > x ( y 0 + l ) - x 0y = x 0 .
x ( y ữ- \ ) + xữy = xl x ( y 0 + i ) - x 0y = xl
X =
VI s (x0, Jo) e (C) -*0 + — 1 ( \ io_ 1*0, + 1 = v> w x 2 + \ = y 2.
Suy ra p thuộc hypebol ỵ 2 - X 2 = 1, (X ^ 0).
Vậy tập hợp điểm p là một hypebol có phương trình: y ■- X 2 = \ , ( x ^ 0).
2.2.2.5. Tập họp điểm dạng Parabol Ví dụ 1
Cho Parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là (P): = ỉ 2
y 2 * ; (d): 2mx - 2y + 1 = 0. Chứng minh răng với mọi giá trị của m, (d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M,N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
Lời giải:
Ta có (P): ỵ = —x 2 o X 2 = 2ọó tiêu điểm Ta thấy F e (d) vì 2 m .0 - 2 .- + l = 0,Vra
2
Toạ độ giao điếm của (P) và (d) là nghiệm của hệ sau:
Ị
_ X
^ 2 => X 2 - 2m x - 1 = 0
2 m x - 2 ỵ + 1 = 0 (1)
Ta có À’ = m + 1 > 0 Vm => (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy (P) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt M(xM, Ỵm) , N(xn, yN) có hoành độ thoả mãn:
X M + X N = 2 m X M • x /V — — 1
*1 = 2 (* « + * " ) 1 y T = m x , + — 1 1 2 (vì I e MN) Xj = /77 1 y, = ra x + — 2 2 1
Vậy tập họp trung điểm I của đoạn MN thuộc parabol có phương trình
_____2 1
dạng)7- * + —. Ví dụ 2
Cho đường tròn ( 0 \ R), đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O ’) tại A. Điếm M di động trên mặt phang, B là hình chiếu của M trên (d) và c là tiếp điểm của tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (O ’) sao cho MB = MC. Tìm tập hợp điểm M.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho o trùng với A, tia Ox đi qua O ’, đường thẳng (d) là trục Oy.
Giả sử M(xM, Ỵm) ta có: MB = MC « • MB2 = MC2
<Z>MB2= Ơ M 2 + Ơ Ơ
<=>*£ = {R - x M)2 + y 2M- R2
<^ > — — 2RxM +
^ y M = 2 R xM •
Vậy tập hợp M là parabol có phương trình dạng y2 = 2px.
Ví dụ 3
Cho (P): y2 = 2px. Đường thẳng (d) đi qua điểm M cố định không thuộc (P) và cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng trung điểm I của AB chạy trên một parabol cố định.
Lời giải:
Giả sử M(xM, Ỵm) và I(x0, yo). Khi đó (d) có phương trình dạng:
y 2 = 2 p x
^■{yM- yo) 2t 2+2[ { y M - y o ) y o - p { xM - xo)]t + y l - 2Pxo = ữ (1)
Vì (d) n (P) = {A, B} nên (1) có 2 nghiệm tA, tB thoả mãn:
l \ { x M - x ữ) p - ( y M - y ữ) yữ]
t +tA = --—--- --- ---—B , x 2 (?Af - y 0)
<
y ỉ - 2 pxn
2xn = x A+ x B 2 y0 = y A+ y B O i 2x0 = [ x 0+ ( x M - x ữ)tA~\ + \_x0+ { xM 2 y ữ = \ _ y ữ + { y M - 3 'o) Í 4 ] + [ 3'o + ( } ' m - ^ o ) ^ ] <=>(**/ ~ x0) p - ( y M - y o ) y o = 0 o { x M - xo)P + y 2o - y M y o = ° ( <^> y M Y = {xo~xm)p y ị (2)
Vậ tập họp trung điểm I của AB là một hypebol có phương trình dạng:
y y M
V-
= ( x - x M) p + y M
2.22.6. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho đường tròn (C) có tâm 1(1,2) và bán kính R = 3. Lập phương trình tập hợp các điểm M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) tạo với nhau góc 60°.
Bài tập 2: Cho hai điểm A(-a, 0) và B(a,0) với a > 0. a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho OM2 = MA.MB.
b. Tìm tập hợp điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN co tích hệ số góc bằng k2.
Bài tập 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và cắt Oy tại điểm (0, 1). Tìm tập hợp tâm đường tròn đó.
Bài tập 4: Cho đường d trên đó lấy một điểm A. Cho trước hai số dương a, b sao cho a > b. Xét tất cả các điểm p, Q sao cho AP = a, AQ = b và đường thẳng d là phân giác của ZPAQ. ứ n g với mỗi cặp điểm p, Q xét điểm sao cho
CHƯƠNG 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm bằng phương pháp vectơ3.1.1. Ví dụ minh hoạ 3.1.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho đường tròn (O; R) và AAiA2A3,với mỗi điếm M thuộc đường tròn dựng điểm N sao cho M N = + M \ + M A ^. Tìm tập hợp điểm N.
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của AAị A2A3 nên CÓ3O G = 0 \ + OẠ, + OAy
Theo giả thiết ta có: M N = M \ + MẠ, + M A Ì
o M N = M O + O A l + M O + O A 2 + M O + O A 3 ^ > M N = 3 M O + O A i + O A 2 + O A 3 <=> M O + O N = 3 M O + 3 Ơ G (1) Đặt O K = 3O G nên K cố định. < y ) o 2 M O = O N - O K o K N = 2 M O = 2 K N M O = 2R mà K cố định.
Suy ra tập hợp nhũng điểm N là đường tròn (K, 2R), K cố định xác định bởi
Ví dụ 2
Trong không gian cho hai thẳng (a), (b) chéo nhau. M, N là hai điểm lần lượt di động trên (a) và (b). Tìm tập hợp các điểm I sao cho IM = к ĨN với к là к
là hằng số và к ф о, к ф 1.
Lời giải:
(а)
Lấy điểm A bất kì trên (a) và gọi а ( а ф о ) là vectơ chỉ phương của (a). В là một điểm bất kì trên (b) và gọi b ( b Ф 0 ) là vectơ chỉ phương của (b). Gọi I0 là điểm chia đoạn AB theo tỉ số к hay / 0A = k I 0B .
Vì M G (a), N G (b) nên có hai số thực m, n để:
A M = m a, B N = n b. Với mọi I trong không gian ta có,
IM — IIữ + I 0A + A M = —IqI + ỉc ỉqB + ỈTICI Ĩ N =1TÜ+ J ß + Ш = - Ĩ J + J ß + nb
Ta có Ĩ M = k Ĩ N
—I J + k ĩ 0B + ma = —k l j + k ĩ 0B + knb
—r m -* 72 7 <£=> //.. = <3 + /:
0 ì - k k - \
<^> I e ( a ) với ( a ) là mặt phang qua I0 và nhận a , b làm cặp vectơ chỉ phương hay ( a ) là mặt phang song song với (a), (b).
Ví dụ 3
Trong không gian cho ba đường thẳng (p), (q), (r) đôi một cắt nhau và cùng song song với mặt phang ( « ) nào đó. A, B, c lần lượt là ba điểm di động trên (p), (q), (r). Tìm tập hợp trọng tâm ÀABC.
Lời giải:
Chọn A(), Bo, Co là ba điểm cố định nào đó lần lượt trên ba đường thẳng (p), (q), ( r ) v à p , q , r ( p ^ 0 , p ^ 0 , r 7^ 0 ) tương ứng là các vectơ chỉ phương của (p), (q), (r).
Do (p), (q), (r) đôi một chéo nhau và cùng song song với ( a ) nên p , q , r
đồng phẳng nhưng từng đôi một không cùng phương. Do đó có hai số thực m, n sao cho r = m p + n q .
Vì A e (p ) , B G ( g ) , c e ( r ) nên luôn tìm được cặp số a, b, c:
A()A = a p BỮB = bq
C0C = c r = c m p + cnq
Gọi Go là trọng tâm của À ABC sao cho GữA ữ + G ữB ữ + G0C0 = 0. Mặt khác: G0A = + A0A = GqAq + a p
GữB = G0B 0 + BữA = G0B0 + bq
Khi đó với mọi G trong không giant a có Go là trọng tâm của AABC 1 =-ẬGuA + GnB + G.!»c) ^ G0G = 3 (Go4> + G0B0 + G0C0 ') + ị ị ( a + c m ) p + (b + cn)q~ ( a + c m ) p + (í> + c n ) ặ l <=^> GẨj —- G0G e ( / ? ) với (/?) là mặt phẳng qua Go và nhận p , q làm cặp vectơ chỉ phương hay ((2), (/?) cùng phương.
Suy ra tập hợp điểm G là mặt phang qua Go cùng phương với (<2) đã cho.
3.1.2. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD và M là một điểm di động trong không gian.
Tìm tập hợp điếm những điếm M sao cho
a. ÃĨẢ + ÃĨB + ÃĨC+ÃĨD = 4 MB + MC + MD
b. 3 M A - 2 M B + MC + MÍD = № - M A
Bài tập 2: Cho ba điểm A, B, c. Tìm tập họp những điểm M trong không gian thoả mãn hệ thức: AB.CM = CB.AM .
3.2. Một số bài toán tìm tập họp điếm sử dụng phương pháp toạ độ 3.2.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho hình lập phương A B C D .A iĩ^Q D ! cạnh là a. Tìm tập họp các điểm trong không gian sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến các mặt đối của ABCD.A1B1Q D1 là bằng nhau.
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ Đecac vuông góc Oxyz sao cho o trùng với A. Các điểm B, D, Ai lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó: A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(a, a, 0); D(0, a, 0) Ai(0, 0, a); Bi(a, 0, a); C](a, a, a); D ^o, a, a).
Lúc đó phương trình các mặt hình lập phương là:
( A B C D ) : z = 0 ( A ^ i C i D O : z = a
(ABBtAi): y = 0 (CDDiCi): y = a
(ADDìAi): X = 0 (BCCiBi): X = a
Với M(x, y, z) bất kì trong không gian thì khoảng cách từ M đến các mặt đối của hình lập phương là:
d( M, ( ABCD) ) = |z| d(M,(A, BíClD,)) = \ z - a \
d { M , { A B B íAí ) ) = \ y\ d ( M , ( C D D [Cl ) ) = \ y - a \
d ( M , ( A C C íAí ) ) = \x\ d { M , ( B C C íBí ) ) = \ x - a\
Điểm M thoả mãn điều kiện bài toán khi và chỉ khi:
1*1 + |jc —ớ| = I y \ + 1 y — a\
<
1*1 + 1* —ứ| = |z| + |z —ữ\
Suy ra tập hợp những điểm M bao gồm các điểm bên trong hình lập phương và cả bề mặt cộng với phần bù của các đường chéo của hình lập phương này.
Ví dụ 2
Cho mặt phang (P) và hai điểm А, в cố định có hình chiếu trên (P) là A b В]. Giả sử АА] = a, BBi = b, CCi = c. Điểm M biến thiên trong mặt phẳng (P) sao cho MA, MB tạo những góc bằng nhau với (P). Tìm tập hợp những điểm M. Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho о trùng với A], В] thuộc A ] X , A thuộc A]Z, (P) trùng với (xOy).
Khi đó Ai(0, 0, 0); A(0, 0, a); B ^c, 0, 0); B(c, 0, b). Điểm M G (P) => M(x, y, 0).
Ta có
MA = (x, y ,-ứ )
MB = ( x - c , ỵ , - b )
Từ giả thiết MA, MB tạo những góc bằng nhau với (P) ta được:
ịaị \b\
yjx2 + y 2 + a 2 ^ ( x - c ) 2 + ỵ 2 + b 2
Trường hợp 1: Neu a = b thì (1) có dạng: 2x c- c 2 = 0 < ^ > 2 x - c = 0.
Suy ra tập họp những điểm M thuộc đường thẳng (d) có dạng 2x - c = 0 trong (xOy).
Trường họp 1: Neu a Ỷ b thì (1) có dạng:
2 2 2ca2x a 2c2 _
X + ỵ 2 1 2 2 7 2
a —b a —b
Suy ra tập họp những điểm M thuộc đường tròn tâm I
' 42 h7 2 ’' 0 Ka —b J bán kính R = 4 2 a c a c2 2 trong (xOy). ( V - b 2) a - b : Ví dụ 3
Cho hai đường thẳng (di), (d2) cố định chéo nhau và vuông góc với nhau. Đoạn thẳng MN có độ dài không đổi với 2 đầu mút nằm trên hai đường thẳng (di), (d2). Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
Lời giải:
Giả sử d((di), (d2)) = a và MN = d (d > a).
Ta có (di): ( d 2): x = u y = 0 , u e R z = 0 X = 0 y = t , t G R z = a
Do M G (di), N e (d2) nên M(u, 0, 0) và N(0, t, a) => MN = ( - u , t , a )
- >d2 = M N 2 = u + t 2+a (1) Vì I là trung điểm của MN nên toạ độ của I là:
u x = — 2 t y - _ <^> i 2 a z = — 2 u = 2 x t = 2y a z = — 2 (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
a z = —
2
d 2 - a :
( a \ \ld 2 - a
Suy ra tập hợp điêm I thuộc đường tròn tâm E 0,0,— bán kính R = ---
\ 2) 2
trong (P): z = a
3.2.2. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC vuông ở o có OA = a, OB = b, o c = c. Ba điểm A, B, c di động sao cho a +b +c = 31 (1 là hằng số). Tìm tập hợp tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài tập 2: Cho ba điểm cố định A, B, c. Tìm tập hợp những điểm M sao cho
a. A M 2+ b .B M 2+ c.CM 2 = d với a, b, c cho trước thoả mãn: a + b +c = 0.
3.3. Một số bài toán tìm tập họp điếm sử dụng phương pháp khác. 3.3.1. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phang (ABC) tại A ( M Ỷ A). Tìm tập hợp trọng tâm G và trực tâm H của AMBC.
M
Gọi E là trung điểm của BC.
Trên ME lấy G sao cho MG = 2GE. Khi đó G là trọng tâm của AMBC.
Trong ÀAME kẻ GD II MA (D nằm trên AE) thì D là trọng tâm của À ABC (bởi vậy D cố định) và DG II MA.
=> G nằm trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trọng tâm D của tam giác này (không kể điểm D).
Quỹ tích trực tâm H của ÀMBC.
M
Gọi О là trực tâm của AABC thì о nằm trên AE.
Ta có ВС 1 (MAE) => ВС 1 о н (1) Mặt khác: c o _L AB => c o _L MB
Lại có: CH 1 MB nên MB 1 (СОН) => MB _L о н (2) Từ (1 ) và (2) => OH _L (MBC) => OH _L HE.
=> H nằm trên đường tròn đường kính OE (không kế о, E) trong mặt phang trung trực của BC.
Ngược lại, từ он _L HE => H là trực tâm của ДМВС.
Vậy tập hợp trực tâm H là đường tròn đường kính OE (không kể о, E) trong mặt phẳng trung trực của BC.