điểm không Cohen-Macaulay dãy
Ta biết rằng khi R là th-ơng của một vành Cohen-Macaulay thì quỹ tích không Cohen-Macalay nCM(M) ={p∈SuppM :Mp không Cohen-Macaulay} là tập đóng. Vì vậy theo Hệ quả 1.4.8 ta có p(M) = dimnCM(M) khi M là đẳng chiều. Bổ đề sau giúp ta chứng minh Định lý 3.2.4.
Bổ đề 3.2.1. (theo[9,5.1]) Cho D:D0 ⊂D1 ⊂...⊂Dt =M là lọc chiều của M.
Ký hiệu V(M) ={p∈SuppM :Mp không Cohen-Macaulay dãy}. Khi đó (1) V(M) = ∪t
i=1nCM(Di/Di−1) ,
(2) Nếu R là th-ơng của một vành Cohen-Macaulay thì V(M) là tập đóng .
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3.1, thì lọc Dp : (Ds1)p⊂(Ds2)p ⊂...⊂(Dsl)p =Mp
là lọc chiều của Mp. Từ đây suy ra Mp không Cohen - Macaulay dãy khi và chỉ khi với mọi lọc chiều Fp của Mp, tồn tại 1 ≤ i ≤ t sao cho (Di/Di−1)p không Cohen - Macaulay.
Từ đó suy ra V(M) = ∪t
i=1nCM(Di/Di−1).
(2) VìR là th-ơng của một vành Cohen-Macaulay nên nCM(Di/Di−1)là tập đóng với mọi i = 1, ..., t. Do đó V(M) là tập đóng.
Bổ đề 3.2.2. (theo [9,5.2]) Giả sử R là th-ơng của một vành Cohen-Macaulay.
Khi đó
dimV(M) = max{p(Di/Di−1) :i= 1, ..., t} .
Chứng minh. Vì Di/Di−1 là đẳng chiều và R là th-ơng của một vành Cohen- Macaulay nên dimnCM(Di/Di−1) = p(Di/Di−1) theo Hệ quả 1.4.8. Do đó theo Bổ đề 3.2.1, ta có
dimV(M) = max{dimnCM(Di/Di−1) :∀i= 1, ..., t}
= max{p(Di/Di−1) :i= 1, ..., t}.
Bổ đề 3.2.3. (theo [9,5.3]) Ta có
pD(M)≤max{p(Di/Di−1) :i= 1, ..., t} .
Chứng minh. Cho x= (x1, ..., xd) là một hệ tham số tốt của M. Ta có
`(M/xM) = `(M/xM+Dt−1) +`(xM +Dt−1/xM)
= `(M/xM+Dt−1) +`(Dt−1/Dt−1∩xM)
≤ `(M/xM+Dt−1) +`(Dt−1/xDt−1).
Đặt di = dimDi. Ta biết rằng (x1, ..., xdi) là một hệ tham số tốt của Di và
xDi = (x1, ..., xdi)Di. Bằng quy nạp theo t ta có `(M/xM)≤ t X i=1 `(Di/(x1, ..., xdi)Di+Di−1) +`(D0).
Kết hợp các điều trên và thay x bởi x(n) ta đ-ợc
ID,M(x(n))≤ t X i=1 (`(Di/(xn1 1 , ..., xnddi i )Di+Di−1)−e(xn1 1 , ..., xnddi i ;Di/Di−1)). Do đó pD(M)≤max{p(Di/Di−1) :i= 1, ..., t}.
Định lý 3.2.4. (theo [9,1.2]) Cho R là th-ơng của một vành Cohen-Macaulay và
D:D0 ⊂D1 ⊂...⊂Dt =M là lọc chiều của M. Khi đó ta có
pD(M) =max{p(Di/Di−1) :i= 1,2, ..., t}=dimV(M).
Chứng minh. Từ các Bổ đề 3.2.2 và 3.2.3 ta đ-ợc (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
pD(M)≤max{p(Di/Di−1; i= 1,2, ..., t}= dimV(M).
Ta chỉ còn phải chứng minh dimV(M) ≤ pD(M). Thật vậy, ta sẽ chứng minh rằngMp là Rp-môđun Cohen-Macaulay dãy với mọi iđêan nguyên tố p∈SuppM
sao cho dimR/p> pD(M). Theo các Bổ đề 2.3.1 và 2.3.3, Mp có lọc chiều
Dp : (Ds1)p ⊂(Ds2)p ⊂...(Dsl)p =Mp
và tồn tại một hệ tham số tốt x= (x1, ..., xd) của M sao cho (xr+1, ..., xs) là một hệ tham số tốt của Mp, ở đây r= dimR/p và s= dimMp + dimR/p. Tr-ớc tiên ta chứng minh rằng IDp,Mp(xr+1, ..., xs) = 0.
Với mọi i= 1, ..., d, đặt di = dimDi và xi = (x1, ..., xi). Theo Bổ đề 2.1.10, ta có
Dj = 0 :M xi với mọi dj < i≤ dj+1. Đặt dk =dj + 1, khi đó dk < i+ 1 ≤ dk+1, suy ra Dk = 0 :M xi+1 với mọi dj < i≤dj+1. Do đó nếu i=dj + 1 =dk với một
j nào đó thì e(xi; 0 :M xi+1) =e(xi;Dk). Nếu dj + 1< i≤dj+1 thì i > dk, khi đó
e(xi; 0 :M xi+1) =e(xi;Dk) = 0 theo Mệnh đề 1.2.7. Hơn nữa, do 0 :M xi+1 =Dj và dj < i+ 2 nên
(0 :M xi+1)∩(xi+2, ..., xd)M ⊆Dj∩(xi+2, ..., xd)M = 0. Do đó
0 :M xi+1 '(0 :M xi+1+ (xi+2, ..., xd)M)/(xi+2, ..., xd)M.
áp dụng công thức Auslander - Buchsbaum cho hệ x với thứ tự xd, ..., x1 ta đ-ợc
ID,M(x) = `(M/xM)− t P i=0 e(x1, ..., xdi;Di) = d P i=0 e(xi; (xi+2, ..., xd)M :M xi+1/(xi+2, ..., xd)M)− t P i=0 e(xi; 0 :M xi+1) = dP−1 i=0 e(xi; (xi+2, ..., xd)M :M xi+1/(xi+2, ..., xd)M)− dP−1 i=0 e(xi; 0 :M xi+1) = dP−1 i=0 e(xi; (xi+2, ..., xd)M :M xi+1/(xi+2, ..., xd)M + 0 :M xi+1) ≥e(xi; (xi+2, ..., xd)M :M xi+1/(xi+2, ..., xd)M+ 0 :M xi+1) . Thay x bởi (xn1 1 , ..., xni i , xi+1, ..., xd) ta đ-ợc ID,M(xn1 1 , ..., xni i , xi+1, ..., xd)≥ ≥n1...nie(xi; (xi+2, ..., xd)M :M xi+1/(xi+2, ..., xd)M + 0 :M xi+1)
với mọi số nguyên d-ơng n1, ..., ni, i= 1, ..., t. Chú ý rằng pD(M)là bậc của một đa thức chặn trên hàm ID,M(xn1
1 , ..., xni
Vì vậy,
e(xi; (xi+2, ..., xd)M :M xi+1/(xi+2, ..., xd)M + 0 :M xi+1) = 0
với mọi i > pD(M). Chọn i ≥ r > pD(M). Theo Mệnh đề 4.7 của [1] ta có
xi+1∈/ q với mọi q∈Ass(M/(xi+2, ..., xd)M + 0 :M xi+1) sao cho dimR/q≥i. Nếu dimRp/qRp ≥i−r thì vì R là xích nên dimR/q≥i .
Do đó xi+1 ∈/ qRp với mọi qRp ∈ Ass(Mp/(xi+2, ..., xs)Mp + 0 :Mp xi+1) sao cho
dimRp/qRp ≥i−r. Sử dụng Mệnh đề 4.7 của [1] một lần nữa ta đ-ợc
e(xr+1, ..., xi; (xi+2, ..., xs)Mp :Mp xi+1/(xi+2, ..., xs)Mp+ 0 :Mp xi+1) = 0
với mọi i > r. Vì vậy,
IDp,Mp(xr+1, ..., xs) = = sP−1 i=r e(xr+1, ..., xi; (xi+2, ..., xs)Mp :Mp xi+1/(xi+2, ..., xd)Mp+ 0 :Mp xi+1) = 0 . Thay (xr+1, ..., xs) bởi (xnrr+1+1, ..., xns
s ) với mọi số nguyên d-ơng nr+1, ..., ns ta có thể chứng minh t-ơng tự IDp,Mp(xnr+1
r+1 , ..., xns
s ) = 0. Vì vậy Mp là Rp môđun Cohen-Macaulay dãy theo Hệ quả 3.1.9.
Kết luận của luận văn
Luận văn đạt đ-ợc những kết quả chính sau đây :
1. Trình bày và chứng minh một cách chi tiết một số tính chất cơ bản của hệ tham số tốt và của lọc chiều. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2. Trình bày đặc tr-ng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua dd-dãy và qua hệ tham số tốt và khảo sát một số tính chất về lọc chiều của môđun địa ph-ơng hoá.
3. Chứng minh chi tiết sự tồn tại của bất biến pF(M) và liên hệ giữa bất biến pF(M) với môđun Cohen - Macaulay dãy và môđun Cohen - Macaulay suy rộng dãy.
4. Chỉ ra mối liên hệ giữa bất biến pD(M) với kiểu đa thức p(Di/Di−1) và với quỹ tích các điểm không Cohen-Macaulay dãy. Làm rõ phép chứng minh của Định lý 3.2.4.
5. Đ-a ra và chứng minh kết quả mới về sự so sánh giữa pD(M) với
pD/xdD(M/xdM) và giữa pD(M) với dimM (Mệnh đề 3.1.10 và Hệ quả 3.1.11).
Tài liệu tham khảo
[01] Auslander M. and Buchsbaum D. A. (1958), "Codimension and multiplicity", Ann. Math. 68, 625-657.
[02] Bruns W. and Herzog J. (1993), Cohen Macaulay rings, Cambridge Univer- sity Press.
[03] N. T. Cuong (1991), "On the dimension of the non-Cohen - Macaulay locus of local rings admitting dualizing complexes", Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 479-488.
[04] N. T. Cuong (1990), "On the length of the powers of systems of parameters in local ring", Nagoya Math. J. 120, 77-88.
[05] N. T. Cuong (1991), "On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters on local rings", Nagoya Math. J. 125, 105-114.
[06] N. T. Cuong and D. T. Cuong (2003), "dd-sequences and Euler-Poincaré char- acteristics of Koszul complex ", Vietnam J. Math. 3132), pp. 353-358.
[07] N. T. Cuong and D. T. Cuong (2007), "On sequentially Cohen-Macaulay modules", Math.AC/ 0507202v1.
[08] N. T. Cuong and D. T. Cuong (2007), "On the structure of sequentially gen- eralized Cohen-Macaulay modules", Math.AC./ 0701729v1.
[09] N. T. Cuong, D. T. Cuong and H. L. Truong (2006), "On a new invariant of finite modules over local rings", Proc. The 2nd Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra, Meiji University, Tokyo, Japan, pp. 26-37.
[10] N. T. Cuong and N. Đ. Minh (2000), "Lengths of generalized fractions of modules having small polynomial type", Math. Proc. Cambrigde Phil. Soc. 128, 269-282.
[11] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2003), "Pseudo Cohen - Macaulay and pseudo generalized Cohen Macaulay modules", J. Algebra. 267, 156-177.
[12]N. T. Cuong and H. L. Truong (2007), "Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules ", Math.AC./0701730v1.
[13] Eisenbud D. , Commutative algebra, Springer-Verlag.
[14] Matsumura H. (1980), Commutative algebra, The Benjamin/ Cummings Pub- lishing company, INC.
[15]Matsumura H. (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press.
[16] N. Đ. Minh (1995), "On the least degree of polynomials bounding above the differences between multiplicities and lengths of generalized fractions", Acta Mathematica Vietnamica.
[17] Northcott D. R. (1968), Lessons on rings, modules and multiplicities, Cam- bridge at the University Press.
[18] Schenzel P. (1985), "On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules". In: Proc. of Ferrara meiting in homour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium, 245-264.
[19] Sharp R. Y. (1986), Commutative ring , Cambridge University Press.
[20] N. V. Trung (1982), "The theory of d-sequences and powers of ideal", Ad- vances in Mathematics 46, 249-279.
Luận văn đ-ợc thực hiện nhờ sự h-ớng dẫn khoa học tận tâm và nghiêm khắc của PGS.TS. Nguyễn Đức Minh - Tr-ờng Đại học Quy Nhơn. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn chân thành đối với Thầy, ng-ời đã giúp đỡ về tài liệu và h-ớng dẫn tận tình giúp tác giả nhiều điều trong nghiên cứu khoa học và còn động viên tác giả v-ợt qua khó khăn để hoàn thành khoá học và luận văn.
Cho phép tác giả bày tỏ lòng biết ơn đối với tất cả quý thầy, cô trong Ban lãnh đạo Tr-ờng, Khoa Toán, Phòng đào tạo Đại học và Sau đại học của Tr-ờng Đại Học Quy Nhơn; Xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục - Đào tạo Bình Định, Ban giám hiệu và tập thể s- phạm của tr-ờng THPT Nguyễn Trung Trực, các học viên lớp Cao học Toán khoá VII, VIII và bạn bè đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tác giả rất xúc động và chân thành cảm ơn những tình cảm thân th-ơng của bố, mẹ, vợ và anh chị em trong gia đình đã luôn gần gũi, động viên tác giả thực hiện thành công -ớc nguyện của bản thân.
Tác giả Trần Ngọc Anh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});