Xét trường hợp điều chế nhị phân, trong khi bit ‘0’ được biểu diễn bởi một xung ở thời điểm quy định, bit ‘1’ được trễ một khoảng thời gian tương đối δ so với thời điểm quy định (bit ‘0’).
Về mặt toán học có thể biểu diễn tín hiệu là :
x t( ) w (= tr t−δdj) (3.1) Trong đó wtr(t) là dạng xung và: j 0, 0 d 1, 1 j j = = = (3.2)
Giá trị củaδ có thể chọn thuỳ thuộc vào đặc điểm tự tương quan của xung. Hàm tự tương quan của xung có thể định nghĩa
ρ( )t ∞ w ( )w (tr τ tr t τ τ)d
−∞
= ∫ − (3.3)
Hình 3.3: Các dạng xung PPM với các bit ‘1’ và ‘0’
Chẳng hạn khi chúng ta muốn cải thiện PPM chuẩn với các tín hiệu trực giao, giá trị tối ưu của giá trịδ(chúng ta gọi là δopt) là giá trị thoả mãn
ρ δ( opt) ∞ w ( )w (tr τ tr δopt τ τ)d 0
−∞
= ∫ − = (3.4) Hình 3.3 chỉ ra trường hợp đặc biệt trong đó bit dữ liệu ‘1’ được phát ở thời điểm trễ so với thời điểm danh định một lượngτ <Tp, trong đó quy định bit ‘0’ được
phát ở thời điểm danh định. Hệ số điều chế tối ưu thay đổi khi sử dụng các dạng xung khác nhau. Hiệu năng lí thuyết trong kênh AWGN có thể đạt được với các
xung không chồng lấn, trực giao với hệ số điều chế δ ≥1. Tuy nhiên hiệu năng BER và tốc độ dữ liệu cao đạt được nếu hệ số điều chế δ <1 với τ δ= .Tp tại những giá trị
của độ trễ làm cho hàm tự tương quan cực tiểu. Hệ số điều chế tối ưuδopt không phụ
thuộc vào độ rộng xung bởi vì định nghĩa của tỉ lệ tương đối của độ rộng xung. Khi bậc đạo hàm tăng lên, giá trị BER cực tiểu đạt được với giá trịδ nhỏ hơn, và do đó đạt được hiệu năng BER tốt hơn. Hình 3.4 đưa ra hàm tự tương quan chuẩn hoá của một số loại xung khác nhau, và xem xét cả với các độ rộng xung khác nhau.
Bảng 3.1: Các giá trị độ dịch thời gian tối ưu τ với BPPM trong kênh AWGN
Dạng sóng τ tối ưu
Đạo hàm bậc hai 0.292683Tp
Đạo hàm bậc ba 0.243902Tp
Đạo hàm bậc bốn 0.219512Tp
Đạo hàm bậc năm 0.195122Tp
Hai đặc điểm đặc biệt của PPM:
• Các hệ số tự tương quan của các dạng sóng Gaussian có cả các giá trị dương và âm. Điều này giải thích tại sao nó có thể đạt được hiệu năng BER tốt hơn với giá trịτ nhỏ hơn Tp so với trường hợp điều chế các xung trực giao về thời gian có τlớn hơn Tp (δ ≥1 ngụ ý các tín hiệu trực giao thời gian do giá trị của hàm tự tương quan coi như bằng 0, hình 3.4).
• Các hệ số tự tương quan cực tiểu tại một số giá trị τ , tương ứng với
các trường hợp hiệu năng BER cực đại.
Dạng của hàm tự tương quan cung cấp phương pháp lựa chọn giá trị tối ưu của δ trong trường hợp kênh AWGN. Giá trị của δ có thể cố định một giá trị ưu tiên với một dạng xung UWB được chọn. Giá trị tốt nhất để sử dụngδ có thể xác định khi tính toán hệ số tự tương quan của xung đã chọn. Giá trị tối ưu của δ cho mỗi dạng sóng được chỉ ra trên Bảng 3.1.
Hình 3.4: Hàm tự tương quan chuẩn hoá của các dạng sóng khác nhau, và với một số độ rộng xung khác nhau trong đó tp1=0.7521 ns, n=2,5,14; tp2=0.5 ns, n=2,5; với n là bậc của xung Gaussian.