L ỜI CẢM ƠN
3.1. Giới thiệu bài toán nhân chập cầu
Giống như mô hình nhân chập trên , chúng ta xét bài toán nhân chập trên quả cầu
2
. Với bất kì một quan sát thực nghiệm, các dữ liệu bị nhiễu được cho bởi
Z Xi = εi i , i∈{1,..., N} (3.1)
trong đó ε1,...,εN là các biến ngẫu nhiên, độc lập và có cùng phân phối trên ( )3 , nhóm quay trong 3; X ,..., X1 N là các biến ngẫu nhiên, độc lập và có cùng phân phối trên quả cầu đơn vị 2 trong 3. Giả sử rằng εi và Xi độc lập.
Gọi fZ và f lần lượt là hàm mật độ của Z và X, fε là hàm phân phối của ε. Giả sử
Z
f , f liên tục tuyệt đối với độ đo thông thường trên 2, fε liên tục tuyệt đối với độ đo Haar trên ( )3 và xem như fε đã biết.
Khi đó, từ mô hình (3.1) ta có
f Z = fε ∗f (3.2) trong đó ∗ ký hiệu cho tích chập đã được định nghĩa trong chương 1.
Nói chung, mỗi quan sát Xi bị làm nhiễu bởi một phép quay nhỏ ngẫu nhiên εi, mục đích của chúng ta là tìm lại hàm mật độ chưa biết f từ các quan sát bị nhiễu Zi đó. Mặc dù bài toán giải chập được giải quyết nhiều trên nhưng trên quả cầu thì rất ít, do hình học cầu có những đặc trưng riêng của nó, bao gồm các công cụ giải tích phức tạp hơn.
Các tác giả đầu tiên giải quyết bài toán này là Healy, Hendriks và Kim. Họ đưa ra một phương pháp dựa vào tính trực giao của cơ sở Fourier của ( )2
2
, đó là các hàm điều hòa cầu, và đánh giá sự thực hiện của phương pháp này về lý thuyết bằng cách đưa ra tiêu chuẩn hội tụ đều theo Sobolev. Hơn nữa, các hàm điều hòa cầu tạo thành cơ sở phân tích giá trị kỳ dị (Singular Value Decomposition, viết tắt là SVD) trong việc giải chập cầu và do đó ta luôn tìm được nghịch đảo toán tử nhân chập fε. Sau đó, các tác giả Kim và Koo đã chứng minh rằng tiêu chuẩn hội tụ đó là tối ưu và hoàn chỉnh các kết quả này bằng cách thêm một điều kiện siêu trơn (super-smooth condition) vào hàm phân phối fε (xem [5]). Phương pháp
SVD được thu hút bởi vì việc lấy nghịch đảo toán tử fε nhanh và đơn giản, nhưng nó ít có tính năng địa phương. Thật vậy, các hàm điều hòa cầu phết (tản ra) khắp hình cầu nên có thể là nhược điểm khi chúng ta muốn làm nổi bật một số tính năng địa phương của hàm mật độ cần xem xét. Đây là trường hợp mỗi khi ai đó tập trung vào chuẩn vô cực hoặc muốn thích ứng với sự trơn không đồng đều đều bắt gặp. Để giải quyết vấn đề này, Kerkyacharian, Phạm Ngọc và Picard đã xét đến một phương pháp ngưỡng dựa trên các needlet (xem [6]). Theo Narcowich, Petrushev và Ward, needlet có tính chất khoanh vùng rất tốt. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ quan sát trên một vùng nhỏ của quả cầu, không mở rộng trên toàn thể. Do đó, thay vì giải bài toán với một cơ sở, hoặc các hàm điều hòa cầu, hoặc các needlet, ta có thể kết hợp để xem xét một bộ hàm (ϕ1,...,ϕK) hoàn chỉnh hơn, với K có thể lớn hơn kích thước N của không gian mẫu, ngược lại với phương pháp ngưỡng (K≤N). Với mục đích này, chúng ta muốn xây dựng ước lượng của f như một tổ hợp tuyến tính của các hàm của bộ hàm (ϕ1,...,ϕK) với ( )2
k 2 ϕ ∈ ,∀ =k 1, K. Gọi fλ là tổ hợp tuyến tính đó, ta có ( ) K k k( ) k 1 fλ x λ ϕ x = = ∑ với 2 x∈ , ( ) K 1,..., K λ= λ λ ∈ .
Chúng ta mong muốn ước lượng của f là ma trận thưa thớt, nghĩa là hầu hết các tọa độ của λˆ đều bằng 0, với λˆ là ước lượng của λ. Một câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được cấu trúc thưa thớt của λˆ? Bằng cách xem xét một bộ hàm tổng quát, chúng ta sẽ tìm ra ma trận thưa thớt đó. Nói cách khác, phương pháp tiếp cận bộ hàm có khả năng tìm lại hàm mật độ
f trong (3.2).