2 Phương pháp nhiễu kì dị
2.6Kết hợp các xấp xỉ trên một đoạn
Trong phần này, ta chủ yếu đề cập tới bài toán giá trị biên. Như ở Mục2.1, ta sẽ minh họa bài toán bằng cách tìm một xấp xỉ của hàmy:
(Hàm này là một nghiệm của một phương trình vi phân sau này). Ta sẽ quan sát cấu trúc của hàm khiε →0.
Hình 2.5: Xấp xỉ trongyIvà xấp xỉ ngoàiyOcủa hàmy(ε,x)trong (2.76)
Chú ý rằng, với x>0, lim ε→0+ e−2x/ε /εn =0,
với mọi số dương n: hàm số tiến đến 0 rất nhanh khiε →0+. Do đó, với mỗi x>0cố định:
y(ε,x)≈e−12x =yO, (2.77) với sai sốO(εn) với mọin>0. Nhưng quan sát lại (2.76), ta thấy xcàng lấy giá trị nhỏ thì ε càng phải nhỏ hơn nữa để (2.77) trở thành một xấp xỉ chấp nhận được. Nói chung, xấp xỉ đó không tốt tại x=0vì vế trái (2.77) bằng 0, còn vế phải bằng 1. Do đó, (2.77) không là một xấp xỉ đều trên0≤x≤1, và ta cần một dạng khác ở gầnx=0. Hàm số yO xác định trong (2.77) được gọi là xấp xỉ ngoài của y. Để nhận được xấp xỉ gầnx=0, ta không thể xét vớix
cố định do (2.77). Do đó, ta phải xétxtiến tới 0 cùng vớiε bằng cách đặt:
x(ε) =ξ ε, (2.78)
ở đó,ξ có thể lấy giá trị bất kỳ. ξ được gọi là một biến giãn: theo quan điểm nó khuyếch đại lớp biên thành độ dàyO(1). Khi đó,
y(ε,x) =e−12ξ ε−e21ξ εe−2ξ ≈1−e−2ξ, (2.79) vớie±12ξ ε =1+O(ε). Sai số làO(ε)với mỗiξ cố định. Hiển nhiên, nó được thể hiện tốt hơn khi ξ không quá lớn. Ta cần biểu thị ý tưởng này theo cách khác bằng cách nói:
y(ε,x)≈1−e−2x/ε =yI, (2.80) với sai số O(ε) miễn là x=O(ε) (bao gồm cả trường hợpx=O(ε)). Điều này khá giống với tình huống đã miêu tả với t >0 ở đầu Mục 2.1. Xấp xỉ (2.80) được chỉ ra trong Hình 2.5. Hàm yI xác định trong (2.80) được gọi là xấp xỉ trong của y. Với một giá trị của x vàε đã cho chúng ta cần phải quyết định chọn xấp xỉ nào vì một sai số bậc thấp của ε không nhất thiết nhỏ với bất kỳ giá trị nhỏ đã cho của ε. Ta có thể thấy miền nào xấp xỉ tốt hơn qua biểu diễn trên mặt phẳngε, x. Miền trong (2.77) và (2.80) có sai số nhỏ hơn 0.05 và 0.01 được chỉ ra trong Hình 2.6. Cận sai số của miền ngoài được cho bởi:
Hình 2.6: Các vùng xấp xỉ tốt với (2.77) (xấp xỉ ngoài) và (2.80) (xấp xỉ trong) với sai số E: (a) E=0.05; (b) E=0.01 với sai sốO(ε)miễn làx=O(ε)(bao gồm cả trường hợpx=O(ε)).
trong đó,E > 0 là một sai số dự kiến. Do vậy, biênC0 được cho bởi:
x= 2εlnE ε−4 . Cận sai số của miền trong được cho bởi:
|y(x,ε)−yI|= e−12x−1+e−2x/ε 1−e12x =E.
Phương trình này có thể được giải tìmε (nhưng không tường minh vớix) và suy ra biên sai số trongCI xác định bởi:
ε =−2x/ln 1−E−e−12x
1−e12x
!
.
hình vẽ cho thấy có một miền trong mặt phẳng ε, x; trong đó, cả (2.77) và (2.80) đều có sai số nhỏ. Do đó, ta cho rằng có thể có trường hợp “giữa” trường hợp x bằng hằng số và x=O(ε), trong đó, cả hai xấp xỉ đều có một sai số nhỏ. Chẳng hạn, nếu: x=η √ ε,η− hằng số, (2.81) y(ε,x) trở thành: e−12η √ ε−e−12η √ εe− 2η √ ε =1+O √ ε, (2.82) và (2.77) trở thành: y0 =e−12η √ ε =1+O √ ε, (2.83) và (2.80) trở thành: yI =1−e−2η/ √ ε =1+O √ ε, (2.84) (chính xác là 1+O √
ε). Như vậy, hàm ban đầu và cả hai xấp xỉ đều có sai số tiến đến 0 cùng với ε khix=η√
ε với η cố định. Ta nói rằng hàm số “khớp” tới O(1) trong “miền chồng chéo”. Hình 2.7 cho biết diễn biến của một điểm ε,η
√
ε= (ε,x) khi nó di chuyển vào các miền mà tại đó cả hai xấp xỉ (2.77) và (2.80) đều có sai số tiến tới 0 cùng với ε. Ta mong muốn chỉ ra rằng không có khoảng trống trong “miền chung”. Do đó, thay vì (2.81), ta
xét trường hợp tổng quát hơn:
x(ε) =ς ψ(ε),
trong đó,ς là hằng số bất kỳ vàψ tiến đến 0, nhưng chậm hơn ε, nên:
Hình 2.7: Khi ε →0, điểm ε,η
√
ε (η- hằng số) luôn nằm sau cùng trong vùng chồng chéo với các xấp xỉ (2.77)và (2.80). Ở đây, đường cong pha được chỉ ra với η ≈0.4 và với các sai số E=0.05; 0.03; 0.01. lim ε→0 ε ψ(ε) =0. Khi đó,ytừ (2.76) trở thành: y(ε,x) =e−12ς ψ(ε)−e12ς ψ(ε)e−2ς ψ(ε)/ε =1+o(1). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Xấp xỉ ngoài (2.77) cho ta:
e−12x =e−12ς ψ(ε) =1+o(1).
Xấp xỉ trong (2.80)cho ta:
1−e−2x/ε =1−e−2ς ψ(ε)/ε =1+o(1).
Những điều này trùng nhau tớio(1). Ví dụ dưới đây cho ta thấy cách giả thiết về “miền chung” được sử dụng cùng với phương trình vi phân để xác định một hằng số chưa biết. Trong trường hợp này, ta đã đặt:
ψ(ε) =e1−δ,0<δ <1,
để cho một sự tổng quát nhất định.
Ví dụ 2.6. Một hàm ycó hai xấp xỉ trên0≤x≤1: một xấp xỉ trong :
y(ε,x)≈A+ (1−A)e−εx =yI, (2.85) với sai số O(ε) khix=O(ε), và một xấp xỉ ngoài:
y(ε,x)≈e1−x =yO, (2.86)
với sai số O(ε), choxhằng số. Tìm giá trị của A. Lời giải
với: x=η ε1−δ, 0<δ <1, η− hằng số,0≤x≤1, Ta phải có ít nhất: lim ε→0 n A+ (1−A)e −η ε δ o = lim ε→0e1−η ε1−δ, η−hằng số. Do đó,A=e1=e.
Bài tập 2.4. Tìm xấp xỉ trong và ngoài của:
y=1−e−εx cosx, 0≤x≤ 1
2π, 0<ε 1.
Phác họa đồ thị các xấp xỉ và y.