Mô hình Drude cho plasmonpolariton bề mặt

7. Cấu trúc khóa luận

2.2.3 Mô hình Drude cho plasmonpolariton bề mặt

Plasmon polariton bề mặt thƣờng đƣợc gọi đơn giản là plasmon bề mặt là các sóng bề mặt điện từ (photon) liên kết với bề mặt phân cách giữa điện môi/ kim loại. Về mặt vật lý, plasmon polariton bề mặt đƣợc dùng nhƣ một dao động tập thể của các hạt mang điện trong lớp dẫn điện, với kết quả là năng lƣợng đƣợc truyền song song với bề mặt phân cách.

SPP là định nghĩa của việc giải phƣơng trình Macxuen mô tả một sóng điện từ có phân rã evanescent mở rộng ở hai bên của bề mặt phân cách. Một sóng phẳng TE phân cực (s phân cực) - điện trƣờng song song với bề mặt phân cách - chỉ đơn thuần là kết quả trong một chuyển động của các điện tích song song với bề mặt phân cách không liên quan đến lực phục hồi, và do đó không có sóng truyền dọc theo bề mặt phân cách. Đối với sóng TM-phân cực (p-phân cực) với nó vectơ từ trƣờng song song với mặt phân cách giữa hai môi trƣờng, điện trƣờng có một thành phần vuông góc không bị rỗng là kết quả sự tích tụ của các điện tích tại bề mặt phân cách. Trong trƣờng hợp này, lực phục hồi đƣợc tạo ra bởi vì những điện tích đang bị mắc kẹt bên trong vật rắn, dẫn tới trong việc hình thành sóng lan truyền bề mặt dọc theo các bề mặt phân cách theo hƣớng lan truyền.

Phƣơng trình sóng dẫn đến mối quan hệ tán sắc cho plasmon polariton phụ thuộc vào hằng số điện môi. Giải phƣơng trình Macxuen ở bề mặt phân cách phẳng kim loại / điện môi (để đơn giản lấy trƣờng hợp của bề mặt phân cách giữa kim loại / chân không), các mối quan hệ tán sắc cho plasmon bề

26

mặt lan truyền trên bề mặt phân cách khi liên kết từ trƣờng ngang (TM) chiếu sáng (photon) là ) ( 1 ) (        ck . (2.45)

Với mô hình Drude, quan hệ tán sắc này có thể đƣợc viết

2 2 4 4 2 2 2 2 2 ) (   P   P  D k c k  c k   , (2.46)

Quan hệ tán sắc của bề mặt plasmon polariton D(k) trong mô hình Drude đƣợc thể hiện trong hình 2.2

Hình 2.2 Quan hệ tán sắc của plasmon polariton bề mặt D( )k trong mô hình Drude

Đối với plasmon polariton bề mặt k nhỏ là kiểu photon, cho k lớn nó là plasmon bề mặt giống nhƣ với các liên kết mạnh của sóng cơ học và điện từ. Trong giới hạn k lớn,  P / 2 plasmon bề mặt giống nhƣ trong mối quan hệ tán sắc. Khoảng tần số giữa khối và bề mặt plasmon

P

P  

 / 2   là phạm vi tắt dần rất cao, trong đó không có lan truyền.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 k 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Omega DRUDE2

27

2.2.4 Mô hình lượng tử Hamiltonian lần hai cho plasmon polariton bề mặt

Trong các trƣờng hợp tƣơng tự của exciton polariton và phonon polariton, ta xét cho mô hình lƣợng tử lần 2 plasmon polariton bề mặt Hamiltonian dƣới dạng                k k k k k k k k Pk k k k k k a a E c c g a c c a H H  , (2.47)

ở đây ak(ak) và ck(ck) là sự hủy (và sinh) photon và plasmon tƣơng ứng

với xung lƣợng k,k  ck là năng lƣợng photon, EPk P / 2 là năng lƣợng plasmon bề mặt.

Ta ký hiệu vectơ chuyển plasmon-photon là gk (hay hằng số liên kết), vectơ này không có trong lý thuyết plasmon truyền thống vì plasmon là kích thích theo chiều dọc, trong khi photon kích thích ngang. Đối với plasmon bề mặt, ta xét chuyển vectơ plasmon-photon không phải là không bằng nhau mà là một tham số chính của lý thuyết.

Khi sử dụng sơ đồ kỹ thuật Feynman, tôi có thể mô tả các polariton plasmon trong xấp xỉ RPA nhƣ là tổng trong hình 2.3

Hình 2.3 Sơ đồ Feynman của vectơ và lan truyền cho dòng plasmon polariton.

28

2.3 Ứng dụng của Plasmon bề mặt

Ứng dụng của một mô hình mới bẫy nguyên tử lạnh quang học mới sử dụng hiệu ứng plasmon bề mặt đƣợc sinh bởi chùm tia laser Bessel. Khi chùm tia laser Bessel phản xạ hoàn toàn trên bề mặt phẳng phân cách một chất điện môi và một màng mỏng kim loại thì sẽ sinh ra plasmon bề mặt với các pha riêng biệt. Hiệu ứng evanescent sinh bởi chùm tia laser sẽ tạo ra một thế hút hiệu dụng. Khi có plasmon bề mặt thì thế hút hiệu dụng này sẽ tăng lên rất mạnh.

Hình 2.4 Sơ đồ Kretschmann tạo plasmon bề mặt với chùm laser bessel[1].

Bẫy các nguyên tử lạnh trong một thể tích không gian bị giới hạn là các khảo sát vật lý với một lƣợng nhỏ các nguyên tử cho đến sự phát triển của công nghệ mới dựa trên sự định xứ của chuyển động không gian của các nguyên tử. Các nguyên tử lạnh bị bẫy đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của vật lý cũng nhƣ mở ra những triển vọng mới cho ngành vật lý nhiệt độ thấp. Bẫy nguyên tử lạnh cung cấp một khả năng để nghiên cứu các quá trình va chạm trong các mẫu nguyên tử lạnh [2]. Nguyên tử lạnh bị giam cầm có thể đƣợc sử dụng trong việc hình thành các phân tử lạnh [3] và trong nghiên cứu các hiệu ứng thống kê lƣợng tử của tập hợp các nguyên tử ở nhiệt độ thấp nhƣ ngƣng tụ Bose-Einstein. Thời gian sống của bẫy phân tử lạnh vào khoảng ½ giây, do đó, việc tạo ra các nguyên tử và phân tử lạnh chuyển động rất chậm. Một số mẫu bẫy quang học nguyên tử lạnh cũng đã đƣợc đề xuất nhƣ sử dụng

29 dây dẫn quang[5], ….

Điểm mạnh và thú vị của plasmon bề mặt là làm các hiệu ứng vật lý mạnh lên rất nhiều lần, thậm chí tăng “khổng lồ” lên nhiều bậc, ví dụ tăng 14 bậc trong tán xạ Raman bề mặt SERS.

2.3.1 Mô hình bẫy quang học Plasmon và điều kiện để kích thích plasmon bề mặt bề mặt

Ta sử dụng cấu hình kích thích plasmon bề mặt của Kretschrmann để thiết kế bẫy plasmon bề mặt quang học. Cấu hình Kretschrmann đƣợc trình bày trong hình2.5, bao gồm một màng kim loại mỏng M phủ trên bề mặt phẳng

điện môi ký hiệu là (x, y, z = 0), nguồn laser L, và máy dò D.

Hình 2.5 Cấu hình Kretschrmann[1]

Từ nguồn D ta chiếu một chùm tia laser với tần số và bán kính chùm thích hợp trong mặt phẳng (x, y = 0, z) thì sẽ có sự phản xạ toàn phần tại ranh giới giữa chất nền điện môi và màng mỏng kim loại. Do đó mode evanescent plasmon bề mặt sẽ đƣợc tạo ra tại bề mặt phân cách giữa hai môi trƣờng chân không / kim loại. Mode evanescent này sinh ra một thế hấp dẫn hiệu dụng, dẫn đến một trạng thái bị ràng buộc của một nguyên tử lạnh tại bề mặt chân không / kim loại. Ta sử dụng hiệu ứng này để bẫy các nguyên tử lạnh.

30

Các điều kiện để plasmon bề mặt đƣợc sinh ra là

1. Vector sóng của photon và plasmon bề mặt bằng nhau: k kSp

2. Góc tới  phải bằng góc phản xạ toàn phần 0 :  0

3. Độ dày màng kim loại nhỏ hơn so với độ xuyên sâu của sóng.

Khi thỏa mãn các điều kiện trên thì plasmon bề mặt đƣợc sinh ra thể hiện trong hình 2.6

a) b)

Hình 2.6 Điều kiện kích thích cho plasmon bề mặt a, Vectơ sóng của photon và plasmon bề mặt bằng nhau b, Góc tới  phải bằng góc phản xạ toàn phần

Ký hiệu d, mlà hằng số điện môi của điện môi và kim loại, c là vận tốc của ánh sáng trong chân không. Theo định luật tán sắc, tần số dao động của photon trong chân không là

ck , (2.48) và của plasmon bề mặt là

 ck (m1)/m . (2.49)

Từ điều kiện để có phản xạ toàn phần tại mặt phân cách điện môi/ kim loại, thì góc phản xạ toàn phần phải thỏa mãn:

31 0 0 sin( ) ck    . (2.50)

Từ các điều kiện vectơ sóng của photon  và của plasmon bề mặt bằng nhau khi góc tới đạt giá trị để xảy ra phản xạ toàn phần, thì điều kiện cộng hƣởng để kích thích plasmon bề mặt

c (m 1) /m c  0 sin0 0 / k0, (2.51) Với 0 và k0là tần số cộng hƣởng và vectơ sóng (hình 2.7)

Hình 2.7 Tần số cộng hưởng 0và vectơ sóng k cho kích thích plasmon bề 0

mặt

2.3.2 Lý thuyết mô hình bẫy quang plasmon

Khi một chùm tia laser Bessel phản xạ hoàn toàn ở bề mặt phẳng điện môi / kim loại thì có thể có một Mode evanescent plasmon bề mặt đƣợc tạo ra tại bề mặt chân không / kim loại.

Để một chùm tia laser Bessel đi dọc theo trục z và có véc tơ điện trƣờng theo hƣớng có thể viết[1]

Fk l(r,z) CIBeikzzz/z0l 1/2exp( z2/z02)Jl(r/R)

32

Với Clà một hệ số, IBlà cƣờng độ của chùm tia laser Bessel, 2 2

y x

r   là độ lớn của vectơ xuyên tâm (song song với mặt phẳng bề mặt), Rlà bán kính của chùm tia laser Bessel, z0là khoảng cách giữa các vòng điển hình đặc trƣng của chùm tia laser Bessel, Jl(r/R)là hàm Bessel l

Coi chùm ánh sáng nhƣ một đại lƣợng vectơ và góc tới của tia laser Bessel là  , giả sử một toán tử P()để tách hàm ( , )

z k l

F r z theo các hƣớng z và r (x, y) riêng biệt xác định bởi công thức:

P( ) ( , ) F r z  Fz( ) Fr( ) . (2.53) Giả sử chùm tia laser Bessel trong mặt phẳng(y0z) và góc tới  so với trục z, ta có phép biến đổi từ hệ tọa độ gắn với chùm tia sáng hệ tọa độ gắn

với bẫy

xx/cos , y y , zzcos . (2.54) Áp dụng các điều kiện biên cho điện trƣờng và từ trƣờng của chùm tia laser Bessel tại các bề mặt phân cách, ta có thể nhận thấy rằng một ánh sáng Evanescence phân rã theo hàm mũ theo z trong chân không exp(z/). Ở đây là chiều dài phân rã đặc trƣng của trƣờng evanescence, và cho plasmon bề mặt hai chiều với các pha xác định làm hiệu ứng hút mạnh hơn [1].

Thế quang học hiệu dụng theo hƣớng z sinh ra bởi hiệu ứng evanescent có thể đƣợc viết nhƣ sau ) / cos exp( ) / cos exp( ) / cos ( ) ; (z gI z z0 1/2 z z2 2 z02 Vl    B  l       , (2.55) trong đó g là hằng số liên kết hiệu quả cho sự tƣơng tác giữa sóng evanescent và nguyên tử lạnh [3]

Thế quang học hiệu dụng trong bề mặt (xy) sinh ra bởi hiệu ứng evanescent là

33

Ul(x,y;)gIBJl (x2/cos2) y2 /R. (2.56) Điều kiện để kích thích plasmon bề mặt là góc tới phải bằng góc phản xạ toàn phần. Tuy nhiên với các chất điện môi và chùm sóng Bessel khác nhau thì các góc phản xạ toàn phần là khác nhau. Ta có thể xác định đƣợc sự phụ thuộc của các thế hút hiệu dụng vào các góc  đó.

Đặt z' z z/ 0và t  z0/ là các đại lƣợng không thứ nguyên.

Giá trị của các thế hiệu dụng V0 theo trục z nhƣ là 1 hàm của z'và t, và U0

trong mặt phẳng (x, y) cho trạng thái S l=0 đƣợc thể hiện ở Hình 2.8

a ) b)

Hình 2.8 Các giá trị của thế hiệu dụng V theo hướng z như là hàm của 0 z

và t (Hình a), và U trong mặt phẳng (x, y) (Hình b) ở trạng thái S, l=0 khi 0 / 6

34

a)

Hình 2.9 Các giá trị của thế hiệu dụng V theo hướng z như là hàm của 0 zvà t (Hình a), và U trong mặt phẳng (x, y) (Hình b) ở trạng thái S, l=0 khi 0

/ 4  

a ) b)

Hình 2.10 Các giá trị của thế hiệu dụng V theo hướng z như là hàm của z0 

và t (Hình a), và U trong mặt phẳng (x, y) (Hình b) ở trạng thái S, l=0 khi 0

/ 3  

Chúng ta có thể thấy rằng tiết diện hiệu dụng các thế quang học hiệu dụng hấp dẫn trong mặt phẳng (xy) sinh ra bởi hiệu ứng evanescent. Nó càng tròn khi góc tới  càng bé và khi góc tới càng lớn thì độ cao của bẫy càng

a)

35

giảm. Với  xác định, khi t tăng thì độ sâu của hố thế giảm và vị trí mà thế đạt cực tiểu dịch chuyển về phía trục z.

Các giá trị thế hiệu dụng V V0, 1 theo hƣớng z nhƣ là một hàm của z'và  , để đơn giản ta cho z0/ 0.001với trạng thái S, l= 0 và P, l=1đƣợc thể hiện trong hình 2.11

Hình 2.11 Các giá trị thế hiệu dụng V V theo hướng z như là một hàm của 0, 1 '

z và  khi choz0/ 0.001với trạng thái S, l= 0 (Hình a )và trạng thái P, l = 1 (Hình b)

Ta đã biết hiệu quả bẫy tỷ lệ thuận với cƣờng độ của chùm tia laser Bessel và hằng số liên kết cho sự tƣơng tác giữa sóng evanescent và nguyên tử lạnh. Giữa hai trƣờng hợp l = 0 và l = 1, trạng thái S cho biết hiệu quả của bẫy đƣợc tốt hơn.

2.3.3 Mô hình hóa đơn giản bằng hình ảnh của bẫy quang học

Sử dụng chuỗi hàm Bessel ... 64 4 1 ) ( 4 2 0 x   x  x  J , (2.57)

và bỏ qua các vô cùng bé bậc cao của chuỗi, ta có gần đúng thế hiệu dụng:

a)

36 2 2 0( , ) 2 ( 2 ) 4 os B gI x U x y y R c    , (2.58)

Hamiltonian cho chuyển động trong mặt phẳng (x,y) là

2 2 2 2 0 ( , ) 2 ( 2 ) 2 4 os x y B in p p gI x H x y y m R c      , (2.59)

trong đó m là khối lƣợng của nguyên tử lạnh. Hamilton này có dạng của Hamilton cho dao động điều hòa, dễ dàng để giải quyết và đƣa ra phổ năng lƣợng trạng thái bị ràng buộc   * 2 1 2 m E   n , n=0, 1, 2, … (2.60) Với*là tần số dao động của bẫy quang học plasmon

* 2 1 1 1 os 2 B gI c mR           . (2.61)

Hiệu quả bẫy bởi sóng evanescent trong mặt phẳng (x, y) có thể đƣợc mô hình hóa nhƣ một đĩa hình elip biểu diễn bằng phƣơng trình

        2 0 2 2 2 cos 4 ) , ( x y R gI y x T B in  (2.62)

Trong trƣờng hợp chung, khi góc tới của tia laser Bessel bằng góc phản xạ toàn phần 0, ta tính toán cho năng lƣợng trạng thái bị ràng buộc ở mức cơ bản là 2 0 0 cos 1 1 2 2 3 mR gI E B r      , (2.63) Ta có thể thấy rằng tiết diện hiệu dụng các thế quang học hiệu dụng hấp dẫn trong mặt phẳng (xy) sinh ra bởi hiệu ứng evanescent càng tốt khi góc tới  càng bé và khi góc tới càng lớn thì độ cao của bẫy càng giảm. Những cái bẫy đƣợc mô hình hóa bởi một trụ elip nhƣ trình bày trong hình 2.12, tiết diện

37

của bẫy theo phƣơng vuông góc trục z là hình elip, độ cao của bẫy đƣợc phụ thuộc vào vị trí cực tiểu của thế V z t( , ) . Hình elip này đƣợc thể hiện bởi phƣơng trình (2.62) và nằm ở trên mp (xy) vào thời điểm hiệu ứng plasmon xảy ra. Độ mạnh của cái bẫy là gIB

Hình 2.12 Mô hình hóa bởi một trụ elip cho thế plasmon quang hấp dẫn sinh ra bởi hiệu ứng evanescent[1]

38

KẾT LUẬN

Với đề tài “ Một số vấn đề về plasmon, Plasmon bề mặt” em cơ bản đã hoàn thành các nhiệm vụ nghiên cứu đề ra:

- Đƣa ra đƣợc khái niệm Plasmon và một số tính chất và ứng dụng của Plasmon trong khoa học và đời sống.

- Trình bày đƣợc tính chất của plasmon bề mặt và đặc biệt nghiên cứu mô hình bẫy quang học nguyên tử lạnh sử dụng hiệu ứng plasmon bề mặt.

39

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] S. Al-Awfi (2012), “Theoretical Study of Surface Plasmons with Phase

Singularities Generated by Evanescent Bessel Beams”, Sains Malaysiana,

41(11), 1461-1466.

[2] G. M. Bruun and K. Burnett (1998), “Interacting Fermi gas in a harmonic

trap”, Phys. Rev. A 58, 2427 - 2430.

[3] A. Fioretti, D. Comparat, A. Crubellier, O. Dulieu, F. Masnou-Seeuws and P. Pillet (1998), “Formation of Cold Cs Molecules through Photoassociation ”, Phys. Rev. Lett 80, 4402–4405.

[4] Barnes W.L., Dereux A. & Ebbesen T.W. (2003), “Surface Plasmon subwavelength optics”, Nature, 424, 824-830

[5] Yun C. S., Javier A., Jennings T., Fisher M., Hira S., Peterson S., Hopkins B., Reich N. O., and Strouse G. F. (2005), “Nanometal Surface Energy Transfer in

Optical Rulers, Breaking the FRET Barrier”, J. Am. Chem. Soc, 127(9), 3115–

3119

[6] Zoran Jakšić (2011), “Plasmonic waveguides based on synthetic

nanomembranes”, SPIE Newsroom, Nanotecnology

[7] Z. Fei, A. S. Rodin, W. Gannett, S. Dai, W. Regan, M. Wagner, M. K. Liu, A.