f) Tính toán bổ trí hệ thống chiếu sảng nơi làm việc
3.1.1.3. Một so úng dụng kiến thức toán trong xây dụng Vỉ dụ 3.1.14: cần phải xây dựng một hố
Vỉ dụ 3.1.14: cần phải xây dựng một hố
ga, dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể
tích V(m3), hệ số k cho trước (k- tỉ số giữa
Hình 3.1.12
Áp dụng Đạo hàm ta có s nhỏ nhất khi X = ỉ
2k + l)V
Khi đó
y =2* h = ỉ\ỉk(2k + 1W
Ví dụ 3.1.15: Trong công tác thủy lợi ở nông thôn hiện nay đang đắp
nhiều máng nổi mà một trong những yêu cầu là phải giảm lượng nước thấm
xuống sườn máng và đáy máng mức c
ít nhất. Nếu cắt máng thì ta sẽ có bài toán sau: (hình 3.1.13)
Hình 3.1.13
máng h sao cho tổng bề rộng đáy máng và hai sườn máng p = a + 2b là nhỏ nhất khi diện tích mặt cắt ngang của máng s = -—-.h cho trước
Ta có:
s2 - — ( a + c ) ( c + a ) ( 2 b — c + a ) ( 2 b + c - a )
16 hay s2 = — (a + c)(a + c)(6b-3c + 3a)(2b + c-a)
18
Bốn số dương a+c, a+c, 6b-3c+3a, 2b+c - a có tích không đổi là 48S2 nên tống của chúng là a + c + a + c + 6a - 3b + 3a + 2b + c - a = 4a + 8b = 4p
, , , X , , • ị a + c = 2 b + c - a „ị a = b
nhó nhât khi: _ Suy ra ị
[ a + c = 6 b - 3 c + 3 a \ c = 2 b
Vậy nên đắp máng nổi sao cho bề rộng đáy máng bằng bề rộng sườn máng và cùng bằng nửa bề rộng miệng máng thì lượng nước bị thấm là ít nhất. Khi c = 2b = 2a thì h = ÍẼ và sườn máng nghiêng một góc 60° so với mặt phang nằm ngang.
Vi dụ 3.1.16: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương
dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của
60 2S s = xy; ể = 2y + x = — + x. 2S Xét hàm số ể(x) = —— + X. Ta có ể (x) = - 2S t _ X2 - 2S ể (x) = 0 <^> X2 - 2S = 0 <=> X =ỆẼS , khi đó y ề
Dễ thấy với X, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là X =^j2S, y
học.
ệ
thì mương có dạng thuỷ động
Ví dụ 3.1.17: Tại vị trí của một căn nhà đã sập chỉ còn một bức tường
đứng thắng, người ta muốn xây dựng một căn nhà mới. Chiều dài bức tường là 12 m. Diện tích của ngôi nhà mới là 112m2 Giá cả xây dựng như sau:
- Sửa lm dài bức tường bằng 25% giá xây dựng lm dài mới.
Lời giải bài toán như sau:
Giả sử rằng người ta giữ lại X mét dài của bức tường cũ và phá phần còn lại là (12 - x) mét dài để lấy gạch xây lại phần tường của ngôi nhà mới. Neu a là giá xây dựng 1 m tường với
tường cũ là —; giá xây dimg môt bức 4
tường dài (12 - x) mét là Hình 3.1.15 2
Để hoàn chỉnh việc xây cạnh y phải xây [y -(12- x)] và tốn là a(y +x -
12). Cuối cùng giá xây dựng bức tường thứ ba là ax và bức tường thứ tư là ay.
Với tích hằng số tổng cực tiểu khi 7x = 8y hay y = —x thay vào xy =112
28 «11,3
ta được: -X2 = 112 <=> X
8
Vì bức tường cũ dài 12m nên cần gỡ bỏ 0.7 mét dài của nó.
Vậy làm thế nào để rào khu đất ấy theo hình chữ nhật sao cho nó có diện tích cực đại? (hình 3.1.16)
Gọi X là chiều dài khu đất, nghĩa là cạnh song song với bờ giậu và y là chiều rộng hay cạnh vuông góc với bờ giậu, như thế ta sẽ cần X + 2y mét rào. Đặt X
Bờ giậu
X Hình 3.1.16
62
s sẽ cùng cực đại với 2y(k -y) là tích của hai thừa số có tổng bằng k không đổi. Để đươc diên tích cưc đai phải có: 2y = k -2y hay y = — ,x = k-2y = -.
4 2
Nói cách khác, X =2y: chiều dài của miếng đất phải gấp đôi chiều rộng.
Vi dụ 3. ỉ. 19: Xây dựng căn buồng đế thu nhạc
Trong các xưởng phim hay trong các nhà hát người ta thường phải xây dựng những căn buồng đặc biệt để thu nhạc. Kiến trúc sư phải chú ý rất nhiều đến yêu cầu kỹ thuật đê bảo đảm cho việc thu nhạc được tốt, tức là bảo đảm các điều kiện tốt nhất về âm học. Những điều kiện đó bao gồm: thể tích, tỉ lệ giữa các kích thước của căn buồng, hình dạng của buồng, cách xây dựng để bảo đảm sự cách âm đối với tiếng ồn xung quanh, độ hấp thụ âm, cách sắp xếp bên trong và một số điều kiện khác nữa. Trong diều kiện trên người ta phân loại ba loại buồng:
N =
2
ỵ_^ỵ_ Như vậy khi làm dự án thiết kế một căn buồng lớn của xưởng
phim dể thu nhạc, các nhà kĩ thuật phải giải phương trình siêu việt: 8N =
Phương trình này chỉ có thể giải bằng đồ thị. Nhân hai vế với 2 ta được: —.SN = —V^.ỉg V <=> — = \g{V3 )V3
3 3 3
Đặt —— = Ề,F3 =x Ta được phương trình xlgx = b hay lgxx = b.
Từ đó tìm hoành độ giao điếm của đường cong y = xlgx và đường thẳng y = b. Sẽ tìm được căn buồng nhỏ có thể tích từ 200 đến 250nr3 và theo thực nghiệm thì tỉ lệ giữa ba kích thước của buồng (dài, rộng, cao) là 1,6 : 1,3 : 1; căn buồng trung bình có thể tích từ 650 đến 1250m3 với tỉ lệ giữa ba kích thước là 2,5 : 1,5 : 1; căn buồng loại lớn có thể tích từ 2000 đến 4000m3 với tỉ lệ giữa ba kích thước là 3 : 2 : 1.
Vi dụ 3.1.20: Bài toán lát gạch nền nhà
Trong thực tế nhân dân ta vẫn dùng gạch để lát nền nhà, lát sân; những người tợ may cũng thường tận dụng những mảnh vải vụn để may thành áo
A/r X ịi 360° , ^ i A ' 360° 180°(w-2)
Muôn lát kín mặt phăng thì —— = a(p > 2) do đó —— =----—---. Suy ra, n - 2p
p - 2
Lần lượt cho p các giá trị lớn hơn 2 ta được các giá trị tương ứng của n (với điều kiện n >3) sau đây: p = 3 v à n = 6 ; p = 4 v à n = 4 ; p = 6 v à n
64
Vì trong thực tế chỉ có loại gạch hình vuông hoặc hình lục giác đều (Lưu ý: 6 tam giác đều bằng nhau tạo thành lục giác đều).