Ví dụ: Cho hệ liên tục tuyến tính có mô hình trạng thái như sau:
Xác định tính quan sát được của hệ.
Bài giải: Áp dụng tiêu chuẩn Kalman ta có:
→→
→ → Hệ có tính quan sát được.
Điều khiển Modal chính là điều khiển gán điểm cực với cấu trúc phản hồi trạngthái. Tạo phản hổi trạng thái của hệ thông qua ma trận phản hồi K đóng vai trò là thái. Tạo phản hổi trạng thái của hệ thông qua ma trận phản hồi K đóng vai trò là bộ điều khiển. Nhiệm vụ đặt ra là phải xác định bộ điều khiển để hệ kín mới đạt được những điểm cực mong muốn, từ đó làm cho hệ thỏa mãn các yêu cầu đề ra.
Ma trận phản hồi K (bộ điều khiển Modal) được xác định bằng phương phápnhư sau: như sau:
Giả sử hệ đã cho được miêu tả bằng phương trình trạng thái:
Sau khi tạo phản hồi trạng thái thì tín hiệu điều khiển có dạng:
trong đó K – ma trận (m), m – số lượng đầu vào, n – số lượng biến trạng thái.Lúc này phương trình trạng thái của hệ kín mới có dạng: Lúc này phương trình trạng thái của hệ kín mới có dạng:
) → → Đặt →
→ – ma trận hệ thống của hệ kín mới, do đó các điểm cực của hệ kín mới lànghiệm của phương trình: nghiệm của phương trình:
(1)
Giả sử hệ kín mới có các điểm cực mong muốn là: . Khi đó phương trình đặctính mong muốn có dạng: tính mong muốn có dạng:
(2)
Đồng nhất hai phương trình (1) và (2) bằng cách cho các hệ số tương ứngbằng nhau, ta thu được một hệ phương trình tuyến tính đối với các hệ số của K. bằng nhau, ta thu được một hệ phương trình tuyến tính đối với các hệ số của K. Giải hệ phương trình này sẽ tìm được các hệ số của K. Bài toán này giải được (có nghiệm) nếu hệ ban đầu có tính điều khiển được.
Khảo sát đối tượng, ta có các điểm cực của hệ là nghiệm của phương trìnhđặc tính: → đặc tính: →
→
→ hệ không ổn định vì có 1 điểm cực nằm bên phải trục ảo.
Tiếp theo ta sẽ tổng hợp bộ điều khiển Modal để dịch chuyển các điểm cựccủa hệ về các vị trí mong muốn: . Hai điểm cực này đều nằm bên trái trục ảo, như của hệ về các vị trí mong muốn: . Hai điểm cực này đều nằm bên trái trục ảo, như vậy hệ sẽ ổn định.
Tạo phản hồi trạng thái bằng véc tơ K(12):
Ma trận hệ thống của hệ kín mới có dạng:
Phương trình đặc tính của hệ kín mới có dạng: → →
→ → →
→ (1)
Phương trình đặc tính mong muốn có dạng: (2) (2)
Đồng nhất các phương trình (1) và (2), ta có:
Vẽ sơ đồ khối của hệ điều khiển Modal:
*Nhận xét về điều khiển Modal:- Ưu điểm: - Ưu điểm: – 2 2 x w s 1 2 s 1 3 u x1 1 k 2 k
+ Đơn giản, dễ thực hiện+ Không làm tăng bậc của hệ. + Không làm tăng bậc của hệ.