∆1(a, b) = max{a+b−1,0}
∆2(a, b) =a.b
∆3(a, b) = min{a, b}
Cho hait- chuẩnT1 vàT2. Ta nóiT1 6 T2 nếuT1(a, b) 6 T2(a, b),∀a, b ∈
[0,1].
Khi đó, ta có thể sắp xếp thứ tự các t - chuẩn, t - đối chuẩn ở trên như sau: ∆1 6∆2 6 ∆3 Thật vậy: Ta có ∆1(a, b) = max{a+b−1,0}= 0 nếu a+b−1 < 0 a+b−1 nếu a+b−1 ≥0
∆2(a, b) =ab
Vì (a−1)(b−1) ≥ 0 nên ab−a−b+ 1 ≥ 0
⇔ ab ≥ a+b−1
hay ∆1 6 ∆2.
Vì a, b ∈ [0,1] nên ab 6 min{a, b} hay ∆2 6 ∆3.
Vậy ta có ∆1 6∆2 6 ∆3.
1.2.3. Không gian định chuẩn xác suất
Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ F : R →R được gọi là nửa liên tục dưới nếu với mỗi x0 ∈ R,∀ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ (x0−δ, x0+δ)
ta có
−ε < F(x)−F(x0) 6 0.
Định nghĩa 1.2.3. [41]. Một ánh xạ F : R → [0,1] được gọi là một hàm phân bố nếu nó không giảm, nửa liên tục dưới và inf
t∈RF (t) = 0,
sup
t∈R
F (t) = 1.
Ví dụ 1.2.4.
1. Hàm Heaviside H(t) là hàm phân bố trong đó
H(t) = 1 nếu t > 0 0 nếu t6 0
2. Hàm g : R →R là một hàm phân bố. t7→ g(t) = 1+1e−t Ví dụ 1.2.5. Họ hàm {Hα(t)}α∈ R là họ các hàm phân bố trong đó Hα(t) = 1 nếu t > α 0 nếu t6 α
Định nghĩa 1.2.4. [41]. Cho X là không gian vectơ trên trường K
(thực hoặc phức), F = {Fx :x ∈ X} là một họ hàm phân bố. Khi đó bộ ba (X,F,min) được gọi là một không gian định chuẩn xác suất nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
a) Fx(t) = 1,∀t > 0 ⇔x = 0 b) Fx(0) = 0,∀x ∈ X c) Fαx(t) =Fx t |α| ,∀x ∈ X,∀α ∈ K, α 6= 0,∀t ∈ R d) Fx+y(t+s) > min{Fx(t), Fy(s)},∀x, y ∈ X,∀t, s ∈ R.
Nhận xét 1.2.7. Tôpô trong (X,F,min) được xác định bởi cơ sở lân cận của điểm gốc trong X như sau:
U (0, ε, λ) = {x ∈ X : Fx(ε) > 1−λ}, ε > 0, λ ∈ (0,1)
Đây là tôpô lồi địa phương tách và được gọi là (ε, λ) - tôpô. Với mỗi λ ∈ (0,1), x ∈ X đặt
ta có pλ là một nửa chuẩn trên X và
pλ(x) = 0,∀λ ∈ (0,1) ⇒ x= 0
Thật vậy
Do pλ(x) = sup{t∈ R: Fx(t) ≤1−λ},∀λ ∈ (0,1)
Theo định nghĩa của supremum, ∃tn ∈ {tn} sao cho tn → pλ(x)
Cho qua giới hạn ta có
Fx(pλ(x)) ≤ 1−λ,∀x∈ X,∀λ ∈ (0; 1) (1) Từ tính chất không giảm của Fx(t) và (1) ta suy ra với mọi ε > 0
pλ(x) < ε ⇔Fx(ε) > 1−λ,∀ε > 0 (2) Thật vậy,
pλ(x) = sup{t : Fx(t) ≤ 1−λ} pλ(x) < ε ⇒ ε 6= sup{t :Fx(t) ≤ 1−λ}
Mà Fx(t) là hàm nửa liên tục trái nên
Fx(ε) > 1−λ
Ngược lại, nếu Fx(ε) > 1−λ thì
ε 6= sup{t :Fx(t) ≤ 1−λ} = pλ(x)
Fx(t) là hàm không giảm nên pλ(x) < ε
Ta chứng minh pλ(x+y) 6pλ(x)+pλ(y),∀x, y ∈ X bằng phản chứng. Giả sử ∃λ ∈ (0; 1),∃x, y ∈ X sao cho
Khi đó ∃t, s ∈ R sao cho pλ(x) < s , pλ(y) < t và t+s < pλ(x+y) (3) Đặt pλ(x+y) = a, pλ(x) =b, pλ(y) =c ta có a−(b+c) = ε > 0 Chọn t = b+ ε4, s = c+ ε4 Suy ra t+s = b+c+ ε2 < a Theo (2) ta có b = pλ(x) < t ⇔ Fx(t) > 1−λ c = pλ(y) < s ⇔ Fy(s) > 1−λ Lại có Fx+y(t+s) ≥ min{Fx(t), Fy(s)} > 1−λ
Nên pλ(x+y) < t+ s. Mâu thuẫn với (3). Vậy
pλ(x+y) ≤pλ(x) +pλ(y),∀x, y ∈ X
Tiếp theo ta chứng minh pλ(αx) =|α|pλ(x). Đẳng thức là đúng khi α = 0. Với mỗi x ∈ X,∀α 6= 0,∀λ ∈ (0,1) ta có pλ(αx) = sup{t∈ R : Fαx(t) 6 1−λ} = |α|sup t |α| ∈ R: Fαx(t) 6 1−λ
= |α|sup t |α| ∈ R : Fx t |α| 6 1−λ = |α|pλ(x) Vậy pλ(αx) =|α|pλ(x).
Do đó pλ là một nửa chuẩn trên X.
Như vậy tôpô trênX được xác định bởi họ nửa chuẩn{pλ : ∀λ ∈ (0,1)}
trùng với (ε, λ) - tôpô. Đặc biệt chúng ta có
Fx(pλ(x)) 61−λ,∀x ∈ X,∀λ ∈ (0,1)
và
pλ(x) < ε ⇔Fx(ε) > 1−λ.
Vậy ứng với mỗi không gian định chuẩn xác suất (X,F,min) ta có thể xây dựng một không gian lồi địa phương tách (X,{pλ}, λ ∈ (0,1))
và tôpô trong chúng trùng nhau. Các khái niệm tôpô như tính đóng, bị chặn, compact, . . . trong không gian định chuẩn xác suất (X,F,min)
được hiểu như trong không gian lồi địa phương tương ứng (X,{pλ}).
Định nghĩa 1.2.5. [41]. Dãy {xn} ⊂ (X,{pλ}) được gọi là hội tụ tới
x ∈ X nếu với mỗi λ ∈ (0,1),
lim
n→∞pλ(xn−x) = 0
Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi λ ∈ (0,1),
lim
Không gian X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của nó đều hội tụ về một điểm nào đó thuộc X.
Chương 2
Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian lồi địa
phương
Mở đầu
Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nó được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ X ta có
d(T x, T y) 6 d(x, y).
Như vậy mọi ánh xạ co đều là ánh xạ không giãn. Chúng ta có thể lấy những ví dụ về ánh xạ không giãn mà không có điểm bất động như phép tịnh tiến, phép quay trên mặt phẳng, . . . Thậm chí một ánh xạ không giãn trong tập lồi, đóng, bị chặn của một không gian Banach cũng chưa chắc có điểm bất động.
Chẳng hạn, kí hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong không gian c0,
đó là không gian của các dãy số hội tụ đến 0 với chuẩn sup.
Với mỗi x = (x1, x2, . . .) ∈ B đặt T x = (1, x1, x2, . . .). Khi đó T là ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm bất động.
Thật vậy, giả sử tồn tại x∗ = T x∗ thì ta có
(x∗1, x∗2, x∗3, . . .) = (1, x∗1, x∗2, . . .)
Nhưng khi đó ta có x∗i = 1 với mọi i nên x∗ ∈/ c0. Vậy T không có điểm bất động trong B.
Nếu ánh xạ không giãn có điểm bất động thì điểm bất động có thể không duy nhất (chẳng hạn như ánh xạ đồng nhất).
Như vậy, việc nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ không giãn sẽ phức tạp hơn nhiều so với ánh xạ co. Nó đỏi hỏi phải có những công cụ đặc biệt. Đó là lý do tại sao kết quả cơ bản theo hướng này phải đợi đến năm 1965 mới xuất hiện. Công cụ chính để nghiên cứu vấn đề này là cấu trúc hình học của các không gian Banach, một lĩnh vực của do Clarkson đề sướng năm 1936.
Trong chương 2 này, chúng tôi sẽ trình bày về ánh xạ không giãn trong không gian lồi địa phương, cấu trúc chuẩn tắc và định lý về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian lồi địa phương.