biên đối với phương trình song điều hòa
3.3Một số thực nghiệm và kết quả
Tôi tiến hành một số thực nghiệm trên máy tính nhằm kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (3.13) - (3.15) đã được chứng minh về mặt lý thuyết. Miền Ω được lựa chọn làm thực nghiệm là hình vuông đơn vị. Phủ Ω bởi lưới đều có cỡ của bước lưới lần lượt là h = h1 = h2 = 321 , tương ứng với lưới 65×65, h = h1 = h2 = 1281 , tương ứng với lưới 129×129. Các hàm
u được chọn trước làm nghiệm gốc của bài toán (3.1) , từ đó các hàm vế phải được tính theo u sao cho thỏa mãn các điều kiện biên. Các bài toán vi phân (3.13), (3.14) được xấp xỉ bậc hai trên các lưới, các đạo hàm theo pháp tuyến và các đạo hàm riêng được xấp xỉ bởi công thức sai phân có độ chính xác cùng bậc. Các hệ phương trình thu được sau sai phân được giải bằng phương pháp thu gọn khối lượng tính toán trong [16]. Tiêu chuẩn dừng lặp cho quá trình lặp (3.13) - (3.15) làu(k+1)−u(k)
h là bước lưới. Thông qua con đường thực nghiệm, tôi nhận thấy: khi chọn các giá trị tham số lặp τ dần đến 1 thì số lần lặp K thực hiện thuật toán sẽ giảm và nhỏ nhất khi τ = 1, vì vậy trong các thực nghiệm dưới đây, tham số lặp τ được chọn trước bằng 1. Sai số Erro = ku−uappk∞, uapp là nghiệm xấp xỉ của quá trình tính toán. Các thực nghiệm được thực hiện trên PC Pentium 4 CPU 1.80Ghz trong môi trường MATLAB. Các kết quả chính của thực nghiệm được thống kê qua bảng dưới đây
u = x2 −12. y2 −1 Bảng 1
Lưới K Error Thời gian(giây) 33X33 8 1.02e−4 4.13
65X65 11 2.35e−5 7.36 129X129 14 4.18e−5 12.09
u = sin(πx).cos(πy) Bảng 2
Lưới K Error Thời gian(giây) 33X33 7 6.33e−3 2.53
65X65 7 3.72e−4 4.17 129X129 15 2.09e−4 9.55
u = x2 −1ey + y2 −1ex
Bảng 3
Lưới K Error Thời gian(giây) 33X33 4 5.21e−4 2.43
65X65 4 1.37e−4 5.12 129X129 7 3.09e−5 8.40
u = 0.25x4 + 0.5y4 +x2 +y2
Bảng 4
Lưới K Error Thời gian(giây) 33X33 3 1.78e−4 1.27
65X65 4 2.62e−4 4.41 129X129 6 8.07e−5 6.03
Qua các kết quả thực nghiệm tôi nhận thấy khi phủ Ω bởi lưới dày hơn, chẳng hạn thay lưới 65×65 bởi lưới 129×129, thì số mắt lưới tăng lên, do đó, số lần thuật toán buộc phải tăng lên, tỉ lệ thuận với giá trị của K và thời gian thực hiện, nhưng sai số giữa nghiệm gốc và nghiệm xấp xỉ giảm xuống, tức độ chính xác được tăng lên. Cũng cần lưu ý rằng thời gian thực hiện thuật toán trên mỗi loại PC có thể không như nhau, tùy thuộc vào cấu hình và tốc độ xử lí của mỗi loại.
Kết luận
Nội dung được trình bày trong luận văn bao gồm:
- Đưa vào một số kiến thức chuẩn bị: các khái niệm về không gian Sobolev, định lý Vết, định lý về sự thác triển, định lý về tính trù mật, định lý Nhúng, định lý Lax - Milgram, bất đẳng thức Holder, sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirchlet và bài toán Neumann...
- Nghiên cứu một phương pháp để tìm nghiệm của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa: phương pháp lặp.
- Đưa ra một số kết quả thực nghiệm trên máy tính điện tử để kiểm tra tính hội tụ của phương pháp lặp.
Trong luận văn trên tôi đã đi xét một bài toán Vật lý có thật đã được mô hình hóa toán học và tìm được phương pháp tìm nghiệm giải tích của bài toán. Nhưng không phải lúc nào ta cũng tìm được nghiệm chính xác của bài toán. Nhờ phương pháp sai phân ta còn có thể tìm được nghiệm xấp xỉ. Như vậy cùng một bài toán tôi đã chỉ ra hai cách tìm nghiệm. Hy vọng luận văn này sẽ là một tư liệu có ích cho những ai đang quan tâm tới bài toán biên của phương trình song điều hòa.
Thái Nguyên, ngày 11 tháng 10 năm 2014
Người thực hiện Trần Thị Hải