Trong phần này chúng tôi xin đ−a ra khái niệm về cặp Runge yếu đ−ợc đ−a ra trong [10]. Đầu tiên chúng tôi đ−a ra một điều kiện t−ơng đ−ơng để kiểm tra một cặp (D, D0) với D, D0 là những tập con giả lồi của Cn có là cặp Runge yếu. Sau đó chúng tôi đ−a ra một đặc tr−ng hoá của cặp Runge yếu trong tr−ờng hợp D0 là compact t−ơng đối trong D.
Định nghĩa 2.2.1. Cho D, D0 là những tập con giả lồi của Cn, ta nói rằng
(D, D0) là một cặp Runge nếu D0 ⊂ D và những hàm chỉnh hình trên D0 có thể đ−ợc xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi hàm chỉnh hình trên D.
Định nghĩa 2.2.2. Cho D, D0 là những tập con giả lồi của Cn, ta nói rằng
(D, D0) là một cặp Runge yếu nếu D0 ⊂ D và những hàm chỉnh hình trên D0
có thể đ−ợc xấp xỉ đều trên mỗi tập compact bởi những hàm p/q ở đây p, q là những hàm chỉnh hình trên D
là: rD(K) = {z ∈ D : f là hàm chỉnh hình trên D,{f = 0} ∩ K 6= ∅ ⇒ f(z) = 0} thì mọi hàm chỉnh hình trên một lân cận của K có thể đ−ợc xấp xỉ đều trên K bởi những hàm p/q, ở đây p, q là những hàm chỉnh hình trên D.
Chứng minh:
Dùng nguyên lý về tính compact nh− trong chứng minh bổ đề 1.7.6 ch−ơng 1, ta có thể tìm thấy những hàm chỉnh hình Pi, 1 6i 6m chỉnh hình trên D
và những số nguyên d−ơng a1, . . . , am+n sao cho f chỉnh hình trên một lân cận U của K, ở đây
U = {z ∈ D : |z1| < a1, . . . ,|zn| < an, an+1 < |P1(z)|, . . . , am+n < |Pm(z)|}.
Xét ánh xạ Oka: ϕ : U −→Cm+n
xác định bởi : ϕ(z) = {z1, . . . , zn, an+1(z)/P1(z), . . . , am+n/Pm(z)}
Thì ϕ(U) ánh xạ U song chỉnh hình lên một đa tạp con đóng, phức của đa đĩa:
∆ ={z ∈ Cn+1 :|z1| < a1, . . . ,|zn| < an,|zn+1| < 1, . . . ,|zm+n| < 1}.
Theo Định lý thác triển Cartan, hàm fe= f ◦ϕ có thể mở rộng tới một hàm chỉnh hình trên ∆ mà ta vẫn ký hiệu là fe. Chú ý rằng tổng riêng fk của chuỗi luỹ thừa mở rộng của fehội tụ đều tới fetrên mỗi tập con compact của ∆, từ đó suy ra fk◦ϕ hội tụ đều tới f trên K.Ơ
Định lý 2.2.4. Cho D và D0 là những miền giả lồi trong Cn, D0 ⊂ D, thì những khẳng định sau là t−ơng đ−ơng:
a, (D, D0) là một cặp Runge yếu.
b, Với mỗi điểm a ∈ D∩∂D0 và mỗi tập con compact K của D0, tồn tại một hàm chỉnh hình f trên D sao cho f(a) = 0, K ∩ {f = 0} = ∅.
Chứng minh:
Gọi KbD0 là bao lồi chỉnh hình của K đối với D0. b
KD0 = {z ∈ D0 : |f(z)| 6 ||f||K,∀ hàm f chỉnh hình trên D0}. Ta có rD(K)∩D0 = KDb 0.
Thật vậy giả sử rằng có z0 ∈ rD(K)∩D0 \KbD0 thì tồn tại hàm f chỉnh hình trên D0 sao cho |f(z0)| ≥ ||f||K. Vì (D, D0) là một cặp Runge yếu nên ta có thể xấp xỉ f trên K∪ {z0} bởi những hàm p/q ở đây p, q là những hàm chỉnh hình trên D, q 6= 0 trên K∪ {z0}, vậy ta tìm thấy hàm p, q chỉnh hình trên D
sao cho với a = p(z0)/q(z0) ≥ ||p/q||K.
Đặt g = p−aq thì g(z0) = 0 và {g = 0} ∩K = ∅. Điều này mâu thuẫn với
z0 ∈ rD(K).
Giả sử rằng z0 ∈ rD(K)∩∂D0∩D, thì hàm bằng 1 trên một lân cận đủ nhỏ của a và bằng 0 trên một lân cận của rD(K)∩D0 là chỉnh hình trên một lân cận của rD(K). Theo Bổ đề 2.2.3 f có thể đ−ợc xấp xỉ đều trên K∪ {z0} bởi những hàm dạng p/q ở đây p, q chỉnh hình trên D. Điều này có nghĩa là có hàm p, q chỉnh hình trên D sao cho p(z0)/q(z0) ≥ ||p/q||K. Lặp lại lập luận trên dẫn đến mâu thuẫn với z0 ∈ rD(K) . Do đó rD(K)∩ ∂D0 ∩D = ∅. (b) ⇒ (a):
Cố định một tập con compact K của D0, ta chỉ ra những hàm chỉnh hình trên
D0 có thể đ−ợc xấp xỉ đều trên K hàm p/q với p, q là những hàm chỉnh hình trên D vàq 6= 0 trên K. Khi D giả lồi ta suy ra rD(K) là compact và KbD đối với D. Từ (b) ta có rD(K)∩∂D0∩D = ∅ . do đó rD(K) = K1 ∪K2 ở đây
K1 và K2 là những tập con compact của D0 và D\D0 t−ơng ứng. Theo Bổ đề 2.2.3 với mỗi hàm bằng 0 trên một lân cận của K1 và bằng 1 trên lân cận của
K2, ta tìm thấy những hàm chỉnh hình p, q trên D, q 6= 0 trên K1 ∪K2 sao cho |p/q| < 1
3 nh−ng |p(z)/q(z)| > 1
2 với mọi z ∈ K2, chú ý rằng K ⊂ K1
vậy theo Bổ đề 2.2.3 ta có đpcm.
Định lý 2.2.5. Cho D và D0 là những miền giả lồi trong Cn, D0 compact t−ơng đối trong D thì những khẳng định sau là t−ơng đ−ơng :
a, Với mỗi điểm a ∈ D∩∂D0 và mỗi tập con compact K của D0, tồn tại một hàm chỉnh hình f trên D sao cho f(a) = 0, K ∩ {f = 0} = ∅.
b, Với mỗi tập con compact K của D0, tồn tại một hàm đa điều hoà d−ới trên
D sao cho u là trơn vô hạn trên một lân cận của D0, đa điều hoà d−ới chặt trên một lân cận của ∂D∪∂D0 và đa điều hoà trên một lân cận của K.
Chứng minh:
(a) ⇒ (b):
Với mỗi x ∈ ∂D0, có một hàm chỉnh hình f trên D sao cho f(x) = 0 và
K ∩ {f = 0} = ∅. Bằng cách thêm vào f những đa thức bậc một thích hợp ta nhận đ−ợc những hàm chỉnh hình f1. . . , fn trên D mà cho những toạ độ địa ph−ơng tại x và fi(x) = 0, K ∩ {fi = 0}= ∅ với mọi 1 6i 6n.
Đặt vε = n X j=1 (log|fj| ∗ρε) ở đâyρε = ( 1 ε2n)ρ(z
ε), ε >0, ρlà hàm trơn của|z|, suppρ = B(0,1),
R
Cn
ρdλ = 1. Cho ρ là hàm trơn vô hạn, đa điều hoà d−ới chặt vét cạn đối với D. Chọn
c > 0 đủ lớn sao cho D0 ⊂⊂ {ρ < c}. Với ε đủ nhỏ, vε là hàm đa điều hoà d−ới, trơn vô hạn trên một lân cận U của Dc. Do hàm log|fi| là đa điều hoà trên một lân cận của K nên hàm vε đa điều hoà trên một lân cận của K. Hơn nữa vì f1, . . . , fn là những hàm toạ độ địa ph−ơng tại x nên ta có vε là hàm đa điều hoà d−ới chặt trên một lân cận của x với ε > 0 đủ nhỏ. Lấy V là một lân cận của Dc, V compact đối với U.
Đặt A1 = inf Dc vε, vε > 0, A2 = sup ∂V vε, A3 = inf ∂V ρε > 0 ở đây ρc = max(ρ−c,0), thì hàm ρ0 = 2A2 −A1 A3 ρc +A1
là nhỏ hơn vε trên Dc và lớn hơn vε trên ∂V. Vì vậy hàm vx = max(ρ0, vε) trên V ρ0 trên D\V (2.9)
là đa điều hoà d−ới trên D (theo Định lý 1.5.5 ch−ơng 1) hơn nữa vx = vε
trên Dc và vx là hàm đa điều hoà d−ới chặt trên một lân cận của ∂D và từ tính compact của ∂D0 ta có thể tính tổng những hàm địa ph−ơng vx để nhận đ−ợc hàm u thoả mãn các tính chất của (b).
(b) ⇒ (a):
Cho K là một tập con compact của D0 và a ∈ ∂D0 chọn một hàm ϕ đa điều hoà d−ới trên D, đa điều hoà d−ới chặt trên một lân cận của ∂D∪ ∂D0 và ϕ
đa điều hoà trên một lân cận của K thì U = D\ddcϕ là compact t−ơng đối trong Ω. Vậy theo Định lý 2.1.3 ta có thể tìm đ−ợc hàm f chỉnh hình trên D
sao cho f(a) = 0 và {f = 0} ∩K = ∅.Ơ
Ví dụ 2.2.6. Trong mặt phẳng phức ta cho D = C và D0 = {z ∈ C : 0 <
|z| < 1} thì cặp (D0, D) là cặp Runge yếu nh−ng không phải là một cặp
Ch−ơng 3
Bao lồi đa thức và dòng d−ơng đóng
3.1 Bao lồi đa thức và dòng d−ơng đóng
Trong ch−ơng này ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữaKb\K (K là tập compact trong Cn) với những dòng d−ơng đóng song chiều (1,1).
Khi xét nghiệm của bài toán Lêvi trong [7], ta có bao lồi đa thức của K là t−ơng đ−ơng với bao đa điều hoà d−ới của K từ đó suy ra mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.1.1. Cho K là tập compact trong Cn thì x 6∈ Kb nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm ϕ đa điều hoà d−ới không âm với ϕ(x) > 0 và ϕ triệt tiêu trong một lân cận của K. Hơn nữa ta có thể coi ϕ là đa điều hoà d−ới chặt gần điểm
x.
Chứng minh
Nếu x 6∈ Kb thì ta có x 6∈ KbP SH
Cn . Vậy tồn tại hàm ϕ ∈ P SH(Cn) ta có thể coi ϕ là hàm trơn (vì nếu không thì lấy tích chập với hàm ρε) sao cho
ϕ(x) > sup
z∈K|ϕ(z)| ≥ 0
Ng−ợc lại cho một hàm ϕ ∈ P SH(Cn), ϕ là hàm trơn, ϕ(x) > 0 và ϕ = 0
x ∈ Kb thì x ∈ KbP SH
Cn , vậy với mọi hàm f ∈ P SH(Cn) ta có
f(x) 6 sup
z∈K|f(z)|
Đặc biệt
ϕ(x) 6 sup
z∈K|ϕ(z)| = 0
suy ra ϕ(x) 60 (mâu thuẫn). Vậy x 6∈ Kb. Ơ
Mệnh đề 3.1.2. Giả sử T là một dòng d−ơng song chiều (1,1) trong Cn\K. Giả sử T có giá bị chặn và ddcT <0 trong Cn\K thì suppT ⊂Kb.
Chứng minh:
Nếu có x ∈ suppT\Kb thì theo Mệnh đề 3.1.1 tồn tại một hàm đa điều hoà d−ới ϕ≥ 0, ϕ = 0 trên một lân cận của K và ϕ là đa điều hoà d−ới chặt gần điểm x. Lúc đó ta có
0 < hT, ddcϕi = hddcT, ϕi 6 0
Điều này mâu thuẫn vậy suppT ⊂ Kb. Ơ
Mệnh đề 3.1.3. Ta nói x ∈ Kb nếu và chỉ nếu có một độ đo xác suất à giá trên
Ksao cho
ϕ(x) 6 Z
ϕdà (3.1)
cho mỗi ϕ = logP, ở đây P là một đa thức chỉnh hình.
Nhận xét:
i, Mệnh đề trên đ−ợc suy ra từ định nghĩa độ đo Jensen của Bishop trong [3]. ii, Mệnh đề trên vẫn đúng cho lớp hàm đa điều hoà d−ới (xem trong [6] hoặc [11]) vì vậy nếu đặt ν = à−δx ở đây δx là độ lớn Dirac tại x, thì ν(ϕ) ≥ 0
Mệnh đề 3.1.4. Cho ν là một phân bố với giá compact trong Cn. Giả sử
ν(ϕ) ≥0 khi ϕ là hàm đa điều hoà d−ới, trơn thì tồn tại một dòng d−ơng song chiều (1,1) với giá compact sao cho
ddcT = ν (3.2)
Chứng minh:
Gọi E là không gian của những phân bố với giá compact trong Cn. Giả sử
suppν ⊂ B ở đây B là một hình cầu trong Cn.
Đặt C = {ddcT, T ≥ 0,song chiều(1,1), suppT ⊂ B} thì C là một nón và đóng trong E.
(+) C là một nón.
Thật vậy cho T, T0 là những dòng d−ơng song chiều (1,1) sao chosuppT ⊂B,
suppT0 ⊂ B, α, β ≥ 0 thì ta có αT + βT0 là một dòng d−ơng song chiều (1,1), ta chứng minh
sup(αT +βT0) ⊂ B
lấy điểm x 6∈ B, gọi U là một lân cận của x, θ là một hàm đa điều hoà d−ới trên U, ta có
hαT +βT0, ddcθi = αhT, ddcθi+βhT0, ddcθi
Do suppT ⊂B, suppT0 ⊂ B nên ta có
hαT + βT0, ddcθi = 0
trên U suy ra x 6∈ sup(αT + βT0). (+) C là đóng trong E
E. Ta có
||Tn|| = hTn, ddc|z|2i = hddcTn,|z|2i → hη,|z|2i
khi n → ∞. Vậy ||Tn|| bị chặn nên dãy {Tn} có một dãy con {Tnk} hội tụ. Giả sửTnk hội tụ đến T thìT là một dòng d−ơng song chiều (1,1) vàsuppT0 ⊂ B. Ta có
hddcTnk, ϕi → hddcT, ϕi
và
hddcTnk, ϕi → hη, ϕi
với mọi ϕ ∈ C∞
0 (Cn). Do tính duy nhất của giới hạn ta có ddcT = η suy ra
η ∈ C.
Coi E = (C0∞(Cn))0, giả sử rằng (3.2) không có nghiệm T thì ν 6∈ C. Vì vậy theo Định lý Hahn-Banach có một hàm ϕ ∈ C∞(Cn) và một số c sao cho
hν, ϕi < c 6 hT, ddcϕi ∀T ∈ C (3.3)
Vì C là một nón nên c 6 hn1T, ddcϕi ,∀n. Cho n → ∞ ⇒ c 6 0.
Ta có hT, ddcϕi ≥ 0. Thật vậy giả sử ∃T để hT, ddcϕi < −ε với ε > 0 nào đó. Do C là một nón nên suy ra hnT, ddcϕi < −nε → -∞ khi n → ∞. Vậy từ 3.3 ⇒ hν, ϕi < c 6 −∞ (vô lý). Vậy hT, ddcϕi ≥ 0 với mọi T ≥ 0, song chiều (1,1) suy ra ddcϕ ≥ 0 trên B tức ϕ đa điều hoà d−ới trên B. Coi ϕ ∈ P SH(Br)∩C∞(Br) với r > 1 và B là hình cầu đơn vị.
Lấy 1 < r1 < r .Đặt u = M(|z|2 −r21), xét hàm e ϕ = max{ϕ, u} trên B u trên Cn\B (3.4) Ta có với M đủ lớn thì u < ϕ ⇒ ϕe= ϕ trên B.
Khi r1 = r, xét trên |z| = r ta có thể coi ϕ < 0 vì nếu không thì ta lấy hàm
ϕ−suppϕ trên |z| = r và ta có u ≥ ϕ. Vậy theo Định lý 1.5.5 ch−ơng 1 ta có ϕe là hàm đa điều hoà d−ới trên Cn. Bằng phép lấy tích chập với hàm ρε
ta coi ϕe là trơn, vậy hν,ϕie < 0 (mâu thuẫn) từ đó suy ra 3.2 có nghiệm. Ơ
Định lý 3.1.5. Cho K là tập compact trong Cn những điều kiện sau đây là t−ơng đ−ơng:
i, x ∈ Kb
ii, Tồn tại một dòng d−ơng song chiều (1,1) T trên Cn với giá compact sao cho
ddcT = à−δx
ở đây à là một độ đo xác xuất trên K và δx là độ lớn Dirac tại x.
Chứng minh:
(ii)⇒ (i):
Lấy x ∈ Cn\K và gọi Ux là một lân cận của x, ϕ là hàm đa điều hoà d−ới trên Ux và ϕ > 0. Lúc đó ta có hddcT, ϕi = hà−δx, ϕi = Z Cn\K ϕdà−ϕ(x) =−ϕ(x) 6 0
(Do à độ đo xác suất trên K). Vậy ddcT 6 0 nên suppT bị chặn vậy theo Mệnh đề 3.1.3 ta có x ∈ Kb (i)⇒ (ii): Vì x ∈ Kb nên với ∀ϕ ∈ P SH(Cn)∩C∞(Cn) thì hà−δx, ϕi = Z ϕdà−ϕ(x) ≥0
hay
(à−δx)(ϕ) ≥ 0
Vậy theo Mệnh đề 3.1.4 tồn tại dòng T ≥ 0, song chiều (1,1) giá compact sao cho
ddcT = à−δx.Ơ
Định lý 3.1.6. Nếu x ∈ Kb thì tồn tại một dòng d−ơng song chiều (1,1) T và một độ đo à có giá trên K sao cho
ddcT = à−δx (3.5)
Chứng minh:
Gọi L là tập lồi compact của những độ đo giá trên K. Nếu (3.5) không có nghiệm thì (δx+C)∩L = ∅. Theo Định lý Hahn-Banach về tách các tập lồi thì tồn tại hàm ϕ ∈ C∞(Cn) và những hằng số c1, c2 sao cho
Z
ϕdλ 6 c1 < c2 6ϕ(x) +hT, ddcϕi (3.6)
với ∀λ ∈ L.
Ta có hT, ddcϕi ≥ 0 với ∀T ≥ 0, song chiều (1,1), thật vậy giả sử tồn tại T
sao cho hT, ddcϕi 6 −ε (ε > 0).
Do C là một nón nên có một số M đủ lớn sao cho
hMT, ddcϕi 6−Mε → −∞
khi đó
ϕ(x) +hMT, ddcϕi → −∞
suy ra c2 = −∞ điều này mâu thuẫn với (3.6), vậy ddcϕ ≥ 0 trên
Với cách lập luận nh− trong Mệnh đề 3.1.4 ta có ϕ đa điều hoà d−ới và trơn trong Cn. Do C là một nón nên (3.6) cũng đúng cho dòng d−ơng 1
nT tức là Z ϕdλ 6 c1 < c2 6ϕ(x) +h1 nT, dd cϕi → ϕ(x) khi n → ∞ Lấy y ∈ K thì y ∈ Kb suy ra ϕ(y) < Z ϕdλ 6 c1 < c2 6 ϕ(x)
Vậy ϕ(y) < ϕ(x), điều này mâu thuẫn với định nghĩa của Kb. Ơ
Hệ quả 3.1.7. Nếu T là dòng d−ơng song chiều (1,1) sao cho ddcT 6 0 thì
b
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã thu đ−ợc những kết qủa sau:
1, Xây dựng đ−ợc những siêu mặt phức không giao với một tập compact cho