C. Bài tập rèn luyện
Câu hỏi trắc nghiệm cuối chương
Câu 1 : Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? a) Hai đường thẳng khơng cĩ điểm chung thì chéo nhau b) Hai đường thẳng khơng song song thì chéo nhau
c) Khơng cĩ đường thẳng nào cắt cả hai đường thẳng chéo nhau
d) Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng khơng cùng nằm trong một mặt phẳng Câu 2 : Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
a) Cho đường thẳng a // mp(P) và đường thẳng b bất kỳ nằm trong mp(P) thì a song song với b b) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song
c) Cĩ duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng khơng chứa điểm đĩ d) Cả ba câu trên đều sai
Câu 3 : Cho tứ diện ABCD.Các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng:
a) Cĩ ba cặp đường thẳng chéo nhau là AB và CD, AD và BC ,AC và BD b) Các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối thì đồng qui
c) Các đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện thì đồng qui d) Cả ba câu trên đều đúng
Câu 4 : Cho tứ diện ABCD .Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại E .Lấy điểm O bất kỳ trong tam giác BCD.Các kết luận sau kết luận nào đúng?
(I) mp(OMN) ∩mp(BCD) = OE
(II) Giao điểm của mp(OMN) với đường thẳng BD là giao điểm của BD với đường thẳng OE (III) Giao điểm của mp(OMN) với đường thẳng CD là giao điểm của CD với đường thẳng ON a) chỉ (I) b) chỉ (I) và (II) c) chỉ (II) d) cả ba (I) (II) (III)
Câu 5 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành ABCD tâm O.Gọi M là trung điểm của SC.Các kết luận sau kết luận nào đúng?
(I) Giao điểm I của đường thẳng AM với mp(SBD) thuộc SO (II) IA = 2IM
(III) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và mp(SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB a) ba câu (I),(II),(III) đều đúng b) chỉ (I)
c) chỉ (I) và (III) d) chỉ (I) và (II)
Câu 6 : Cho tứ diện ABCD .Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD và G là trong tâm tam giác BCD.Giao điểm của đường thẳng EG và mp(ACD) là :
a) Điểm F b) Giao điểm của đường thẳng EG và đường thẳng AF c) Giao điểm của đường thẳng EG và đường thẳng AC
d) Giao điểm của đường thẳng EG và đường thẳng CD
Câu 7 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.Điểm P tuỳ ý trên cạnh AD. Thiết diện của hình tứ diện ABCD với mp(MNP) là :
a) Thường là hình bình hành b) Một tam giác c) Một hình thang d) Mơt ngũ giác
Câu 8 : Cho tứ diện ABCD cĩ các cạnh đều bằng a.Lấy điểm M trên AB với AM =
3
a.Diện tích của thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng qua M và song song với mp(BCD) là :
a) 2 3 12 a b) 2 3 18 a c) 2 3 24 a d) 2 3 36 a
Câu 9 : Cho tứ diện ABCD cĩ các cạnh đều bằng a.Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD thì đoạn G1G2 bằng bao nhiêu?
a) 4 a b) 3 a c) 2 3 a d) đáp số khác
Câu 10 : Cho hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau.Điểm M di động trên Ax và điểm N di động trên By sao cho BN = AM.Trên tia Bz // Ax lấy điểm M’ sao cho BM’ = AM Gọi I là trung điểm của MN.Câu nào sau đây đúng?
a) M’N song song với một đường thẳng cố định b) MN song song với một mặt phẳng cố định c) I chạy trên tia Ot với O là trung điểm của AB d) Cả ba câu trên đều đúng
Câu 11 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang (AD//BC).Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là :
a) Đường thẳng qua S và trung điểm của AB b) Đường thẳng qua S và song song với AD c) Đường thẳng qua S và song song với AB
d) Đường thẳng qua S và giao điểm O của AC và BD
Câu 12 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CC’.Mặt phẳng (A’MN) cắt AB tại H thì HA
HB bằng :
a) 2 b) 3 c) ½ d) tỉ số khác
Câu 13 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi H là trung điểm của A’B’.Mặt phẳng (BCH) cắt A’C’ tại K thì tỉ số ' ' ' A K A C bằng : a) 2 b) ½ c) 1 4 d) 3 4
Câu 14 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ .Gọi H là trung điểm của A’B’.Mặt phẳng (BCH) cắt AC’ tại E thì tỉ số AE bằng : AC' a)2 3 b) 1 c) 2 1 4 d) 3 4
Câu 15 : Cho tứ diện ABCD cĩ các cạnh đều bằng a.Gọi G là trọng tâm tam giác BCD.Cắt tứ diện bởi mặt phẳng (ABG) thì diện tích của thiết diện bằng :
a) 2 3 4 a b) 2 2 2 a c) 2 2 4 a d) 2 3 2 a
Câu 16 : Cho tứ diện ABCD và M là trung điểm của CD.Lấy điểm O trên BM với BO = 3 OM.Đường song song với AB kẻ từ O cắt mp(ACD) tại A’ thì tỉ số
'
OO
a) 1
3 b) 1
4 c) 1
2 d) 2
3
Câu 17 : Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình thang ABCD (AD//BC) .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SC .Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là :
a) Đường thẳng AD b) Đường thẳng song song với MN c) Đường thẳng AM d) Đường thẳng BN
Câu 18 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành .Một mặt phẳng (P) qua điểm M trên cạnh SA và song song với AC và SB lần lượt cắt AB, BC, SC , BD và SD tại N,Q,R,E và F.Các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?
a) MNPR là hình bình hành
b) MN,QR và EF cùng song song với SB c) MQ, NR và EF đồng qui
d) Cả ba câu trên đều đúng
Câu 19 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Lấy điểm M trên AB với AB = 4AM, điểm N trên DD’ với ND = 3ND’ và điểm P trên B’C’ với B’C’ = 4 B’P.
Các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? a) mp(MNP) song song với mp(AB’D’) b) mp(MNP) song song với mp(AC’D’) c) MN song song với AP
d) Cả ba câu trên đều sai
Câu 20 : Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
(I) Một đường thẳng cĩ thể trùng với hình chiếu song song của nĩ
(II) Tam giác ABC cĩ hình chiếu song song là tam giác A’B’C’ thì trọng tâm của tam giác ABC cĩ hình chiếu là trọng tâm tam giác A’B’C’
(III) Một đường thẳng luơn cắt hình chiếu của nĩ
a) Chỉ (I) b) chỉ (I) và (II) c) chỉ (III) d) cả ba (I) (II) (III)
Bảng trả lời
1d 2c 3d 4b 5a 6b 7c 8d 9b 10d 11b 12a 13b 14a 15c 16b 17b 18d 19a 20b
A B C D M N E O Hướng dẫn giải 1d 2c 3d
4b (I) đúng vì hai mặt phẳng (OMN) và (BCD) cĩ hai điểm chung O và E Vậy
mp(OMN) ∩mp(BCD) = OE
(II) đúng vì OE và BD nằm trong mặt phẳng (BCD) nên cắt nhau tại F thì F là giao điểm của BD với mp(OMN)
(III) sai vì CD và ON khơng cắt nhau
x S C B A D M O I
• đúng vì AM và SO là hai trung tuyến của tam giác SAC giao nhau tại trọng tâm I ,mà SO nằm trong mp(SBD) nên AM cắt mp(SBD)tại I trên SO
• (II) đúng vì I là trọng tâm tam giácSAC
• (III) đúng vì hai mặt phẳng (SAB) (SCD) cĩ S chung và AB//CD
6 b F là trung điểm của CD nên BF là trung tuyến của tam giác BCD.Do đĩ G thuộc BF.Vậy trong tam
giác ABF, EG và AF cắt nhau tại H thì H là giao điểm của EG và mp(ACD)
7c MN // BC ,do đĩ mp(MNP) cắt mp(BCD) theo giao tuyến PQ // BC// MN
Vậy thiết diện MNPQ là hình thang
A B B C A' B' C' M N E H A B C A' C' H K
8d Thiết diện là tam giác đều cạnh bằng
3
a .Vậy diện tích của thiết diện là S = 2 3 36
a
9b Gọi M là trung điểm của CD thì G1∈ BM và G2∈ AM. Ta cĩ : 1 2 1 3 MG MG MB = MA = Do đĩ G1G2 // AB Vậy 1 2 1 3 G G AB = Suy ra G1G2 = 3 a
10d Ta cĩ BN = BM’ = AM .Do đĩ tam giác BNM’ cân nên cạnh NM’ // với phân giác ngồi Bu của gĩc
yBz.
Ta cĩ MM’ // AB và NM’ // Bu nên mp(MNM’) // mp(ABu) Vậy MN // mp(ABu) cố định
Gọi O là trung điểm của AB và J là trung điểm của NM’ thì OI // BJ Vậy I thuộc tia Ot // pnân giác trong Bv của gĩc yBz
11b Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cĩ điểm S chung và lần lượt chứa AD và
BC song song . Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng qua S và song song với AD
12a Đường thẳng MN cắt đường thẳng BB’ tại E
Đường thẳng A’E cắt AB tại H thì H là giao điểm của mp(A’MN) với AB. M là trung diểm của BC nên BE = CN = 1
2CC’mà BB’ = CC’ và AB = A’B’ Vậy 1 ' ' ' 3 HB EB B = EB = A Suy ra HA = 2 HB 13c Ta cĩ BC // B’C’ . Do đĩ mp(BCH) cắt mp(A’B’C’) theo giao tuyến HK // B’C’.
H là trung điểm của A’B’.Vậy K là trung điểm A’C’. Suy ra ' 1
' ' 2
A K
A C =
14a AC’ cắt CK tại E thì E là giao điểm của mp(BCH) với AC’
Vậy 2 ' 3
AE
AC =
15c Mặt phẳng (ABG) cắt CD tại trung điểm M.Vậy thiết diện là tam giác
ABM cân tại M với AB = a và MA= MB = 3 2
a ,đường cao MH của tam giác bằng 2 2
a .
Vậy S = 2 2 4
a A
16b Trong tam giác ABM, đường song song với AB kẻ từ O cắt AM tại A’
Ta cĩ : '
4
OA MO 1
AB = MB =
A'
17b Ta cĩ MN // BC (đường trung bình của tam giác SBC B D O
Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cĩ S chung và lần lượt chứa AD // BC //MN M Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng qua S và song song với MN C
18d
• mp(P) qua M và // với SB và AC nên mp(P) (SAB) =
MN //SB. ∩ S • mp(P) ∩mp(ABC) = NQ // AC • mp(P) ∩mp(MAC) = MR // AC M F • mp(P) ∩ mp(SBC) = QR // SB R • mp(P) ∩ mp(SBD) = EF // SB Vậy tứ giác MNQR là hình bình hành A D Ta cĩ MN // QR // EF // SB
Vì NQ // AC nên E là trung điểm của NQ và EF // MN .Vậy EF qua giao điểm của hai đường chéo MQ và NR
N E E B Q C C' B' A' C B A D' D M N P 19a. Ta cĩ : ' 1 3 MA ND B = ND = M
Do đĩ theo định lí Ta-lét đảo thì MN, AD’và BD cùng song song với một mặt phẳng hay MN // mp(AB’D’)
Ta cũng cĩ ' 1 3
MA PB
B = PC =
M nên MP , AB’ và BC cùng song song với một mặt phẳng hay MP // mp(AB’D’)
Vậy mp(MNP) // mp(AB’D’)