định lý.
Ví dụ 1: Tổng ba góc của một tam giác
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
GV: Hãy lần lượt vẽ những tam giác ( dùng thước thẳng, thước đo độ dài và compa) có ba cạnh tùy ý, có ba góc bằng:
a) 60 ,40 ,70 ; b) 50 ,70 ,75 ; c) 75 ,55 ,62 ; HS: Vẽ
GV: có vẽ được tam giác với những bộ ba góc đã cho như trên hay không? HS: không vẽ được.
GV: Nhận xét vì sao không vẽ được tam giác trong các trường hợp trên không? HS: Khi vẽ mỗi tam giác, sau khi đã vẽ xong 2 góc thì vẽ luôn được tam giác nhưng góc thứ ba không vẽ theo số đo như ở đầu bài.
GV:Vì không và được góc thứ ba có số đo như ở đầu bài nên hãy xóa số đo đó đi . Sau đó cứ vẽ một tam giác có hai góc đầu tiên có 80 10 như ở đầu bài rồi đo xem gốc thứ ba của tam giác đó bằng bao nhiêu ?
HS : Làm theo yêu cầu của GV và ghi được những dòng dưới đây: a ) 60° , 40 ,71 , 80° ;
b ) 80° , 70° , 75° , 30° ; c ) 75° , 55° , 62° , 50° .
GV : Có nhận xét gì về những số đo 3 góc của một tam giác ? HS : Tổng ba góc của một tam giác bằng 180° .
GV : Mỗi người hãy vẽ một tam giác tùy ý , đo 3 góc của tam giác đó và kiểm nghiệm lại nhận xét trên .
HS : Làm theo yêu cầu của GV , tính tổng ba góc của tam giác mà học sinh đó đã vẽ .
GV : Hãy phát biểu nhận xét vừa phát hiện được . Bước 2: Tìm giải pháp
GV : Bây giờ ta tìm cách chứng minh dự đoán trên . Để dễ xem xét tổng của 3 góc của tam giác ABC , ta đặt 3 góc đó kể nhau . Cụ thể là vẽ góc kề bên trái góc , góc kế bên phải góc . Có nhận xét gì về
?
HS: là một góc bẹt, tức độ lớn là 180 . Bước 3: Trình bày giải pháp
GV: Hãy trở lại chứng minh điều dự đoán là tổng ba góc của tam giác bằng 180 . Để chứng minh điều đó, trước hết có nhận xét gì về tia Ax và đường thẳng BC? ( hoặc tia Ay và đường thẳng BC?).
HS: Chứng minh đự đoán trên như sau:
Bài toán: Cho . Chứng minh = 180
GT
KL = 180
Chứng minh:
Qua A vẽ đường thẳng xAy song song với BC. Ta có: = (so le trong)
= (so le trong)
Vậy: = 180 (góc bẹt).
Ví dụ 2: Quan hệ giữa ba cạch của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác.
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
GV: Đưa ra hai bài tập yêu cầu hs vẽ hai tam giác.
:Bài 1: cho tam giác ABC với BC=7cm, AB=5cm, AC=6cm.
Bài 2: Hãy vẽ một tam giác có số đo 3 cạnh như sau: MN=1cm, NP=2cm, MP=4cm.
HS: Vẽ.
GV: Hỏi có bài nào không vẽ được không? HS: Bài 1: Với số đo đã cho vẽ được tam giác.
Bài 2: với số đo đã cho không vẽ được tam giác. Bước 2: Tìm giải pháp
GV: Không phải 3 độ dài nào cũng là độ dài 3 cạnh của tam giác,vậy độ dài 3 cạnh của tam giác có mối quan hệ với nhau ntn? Chúng ta cùng trả lời câu hỏi này qua bài hôm nay
Bài: Quan hệ giữa 3 cạnh của 1 tam giác.Bất đẳng thức tam giác.
GV: Tại sao với số đo bài 1 ta vẽ được tam giác, còn số đo bài 2 lại không vẽ được?
Hãy nhận xét và so sánh các số đo sau trong ΔABC: AB+AC với BC AB+BC với AC AC+BC với AB Còn ΔMNP: MN+NP với MP MN+MP với NP NP+MP với MN HS: So sánh các độ dài.
GV: Vậy theo các em với độ dài 3 cạnh như thế nào thì vẽ được tam giác? Còn độ dài ntn thì không vẽ được?
HS: Trả lời: tổng độ dài 2 cạnh lớn hơn số đo cạnh còn lại thì tam giác vẽ được.Tổng độ dài 2 cạnh nhỏ hơn số đo cạnh còn lại thì ko vẽ được
GV: Vậy khi tổng độ dài 2 cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại thì ta vẽ được tam giác. Đây chính là nội dung định lý tr 61 sgk.
GV: Yêu cầu 1-2 bạn hãy đứng lên phát biểu lại định lý. HS: phát biểu lại định lý.
GV: Quay lại bài toán đầu bài thì em hãy giải thích vì sao không vẽ được tam giác?
HS: Không có tam giác với 3 cạnh dài 1,2,4(cm) Vì : 1+2<4.
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV: Yêu cầu hs chứng minh định lý. HS: Chứng minh định lý:
D
GT AC = AD
KL AB + AC > BC
Chứng mimh:Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Trong tam giác BCD, ta sẽ so sánh BD với BC.
Do tia CA nằm giữa CB và CD nên > (1)
Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên
= = (2)
Từ (1) và (2) suy ra: > (3)
Trong tam giác BCD, từ (3) suy ra: AB + AC = DB > BC
(theo định lý về quan hệ giữa hai góc và cạnh đối diện trong một tam giác) Tương tự ta có thể chứng minh phần còn lại.
AB+BC >AC, AC+BC> AB Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp GV: Yêu cầu HS làm bài 15 (SGK- t63) HS: Làm bài
b. Ta có 2 + 4 = 6 nên không thể là ba cạnh của một tam giác.
Tổng độ dài 2 đoạn ngắn nhất với độ dài đoạn dài nhất. Nếu tổng đó nhỏ hơn đoạn dài nhất thì 3 đoạn đó có thể là 3 cạnh của 1 tam giác, và ngược lại.
c. Ta có 3 + 4 > 6 nên 3 độ dài này có thể là 3 cạnh của một tam giác.
GV: Vậy từ nay để xem xem với độ dài như vậy có thể vẽ được tam giác hay không thì ta so sánh độ dài cạnh lớn nhất với tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Ví dụ 3: Bài “Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác”
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề GV: Cho tam giác ABC:
Nếu AB = AC, thì có nhận xét gì về ? HS: (Vì
GV: Đặt vấn đề: Nếu AC > AB thì
GV: Nêu mục tiêu: Trong một tam giác vuông, xét xem góc đối diện với nhau lớn hơn thì như thế nào?
Bước 2: Tìm giải pháp GV: Cho HS làm ?1: Vẽ HS Thực hiện.
GV: Cho học sinh thực hiện ?2: Gấp giấy, Học sinh cắt một tam giác ABC bằng giấy có AC > AB và gấp cạnh AB nằm trùng lên cạnh AC để thấy được đồng thời tạo tình huống để tìm ra giải pháp chứng minh trong trường hợp tổng quát.
Sau khi thực hiện ?1, ?2, Giáo viên giúp học sinh phát hiện được vấn đề: Nếu , có AC > AB thì .
Cho học sinh phát biểu vấn đề:
HS: Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. GV: Hướng dẫn học sinh phân tích chứng minh định lí.
Sơ đồ:
Xác định điểm M, B’
(Kẻ AM là tia phân giác , Kẻ AB’ sao cho AB = AB’)
Xét
AM chung
AB = AB’
GT
KL >
Kẻ AM là tia phân giác , Kẻ AB’ sao cho AB = AB’ Xét
AM chung
AB = AB’
Suy ra:
Bước 4: Nghiên cứu sâu
Đề xuất những vấn đề mới, giáo viên lật ngược vấn đề: Nếu thì cạnh đối diện AC, AB như thế nào ?
Ví dụ 4: Định lí py-ta go.
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
GV: Yêu cầu cả lớp cùng thực hiện ?1 sgk. Gọi 1 HS lên bảng thực hiện. HS: Cả lớp cùng thực hiện, 1 Hs lên bảng thực hiện.
GV: Hỏi:
+) Độ dài cạnh huyền bằng bao nhiêu? +) Có nhận xét gì về ?
+) Từ kết quả trên, các em có dự đoán gì về mối quan hệ giữa độ dài cạnh huyền với độ dài hai cạnh góc vuông?
HS: Trả lời:
+) Độ dài cạnh huyền bằng 5 cm. +)
+) Bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.
Bước 2: Tìm giải pháp
GV: Yêu cầu HS lấy các tam giác và hình vuông chuẩn bị sẵn, thực hiện theo yêu cầu của ?2 dưới sự hướng dẫn của Gv.
HS: Cả lớp cùng thực hiện ?2 theo sự hướng dẫn của Gv.
HS: Có diện tích bằng .
GV: Diện tích phần bìa không bị che lấp gồm hai hình vuông có cạnh là a và b. Diện tích phần bìa đó bằng bao nhiêu theo a và b?
HS: Diện tích bằng .
GV: Diện tích hai phần bìa đó như thế nào với nhau? HS: Bằng nhau.
GV: Từ đórút ra nhận xét về quan hệ giữa và ?
HS: .
GV: Hệ thức: trên nói lên điều gì?
HS: 1 Hs đứng tại chỗ phát biểu, cả lớp theo dõi, nhận xét, ghi nhớ. Bước 3: Trình bày giải pháp
Định lí: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
GV: Yêu cầu Hs vẽ hình và ghi tóm tắt hệ thức pitago. HS: Vẽ hình và ghi tóm tắt hệ thức pitago.
ABC có = 90
GV: Yêu cầu HS đọc sgk phần lưu ý. HS: Đọc lưu ý sgk.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp GV: Cho HS làm ?3 sgk
HS1: Hình 124.
ABC vuông tại A, ta có:
HS2: Hình 125. GV:Đặt vấn đề: ABC, => ? HS: Trả lời: . GV: Yêu cầu HS làm ?4 sgk. HS: Trả lời: Vậy ABC, => .
GV: Yêu cầu HS phát biểu định lí Pitago đảo.
HS: phát biểu định lí: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
GV: Yêu cầu Hs vẽ hình và ghi tóm tắt định lí đảo. HS: Vẽ hình và ghi tóm tắt định lí pitago đảo.
GV: Cho HS làm bài tập sau: Cho tam giác có độ dài ba cạnh như sau: a) 6 cm; 8 cm; 10 cm.
b) 4 cm; 5 cm; 6 cm.
Tam giác nào là tam giác vuông?Vì sao? HS:Trả lời:
a) Ta có
Tam giác này là tam giác vuông. b) Ta có
Tam giác này không phải là tam giác vuông.
Ví dụ 5: Tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Bước 1: Phát hiện vấn đề
Ta có định lí sau: “ Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền”.
Vậy ngược lại: “Nếu một tam giác vuông có đường trung ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy thì đó là tam giác vuông”,đúng hay sai?
Bước 2: Tìm giải pháp GV: Hướng dẫn HS
-Gọi M là trung điểm BC
-Theo yêu cầu của vấn đề dặt ra thì AM = BM = CM = , khi đó xuất hiện tam giác cân AMB và AMC.
HS vẫn dụng mối quan hệ về góc trong tam giác cân và tổng các góc trong một tam giác để tính số đo góc A.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Theo đề bài MA = MB = MC. Do đó cân tại M.
Xét tam giác ABC có:
+ + = 180 + + = 180 Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Bước 4: Nghiên cứu sâu
HS có thể áp dụng định lí đảo vào nhiều bài toán liên quan