CHƯƠNG 3. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC Chứng minh. Từ định lý (1.2.1) ta đã biết nghiệm tổng quát của (3.1) là
x(t) = eAt
x0. Do đó
x(t) −→ 0⇐⇒ eAt −→0(t −→ ∞)
Ta sẽ chỉ ra rằng điều này xảy ra khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của
A có phần thực âm. Lấy
X−1AX = diag(J1, J2, . . . , Jk)
Vì ta thấy X là một ma trận đơn vị, (J1, J2, . . . , Jk) là khối Jordan nên A có dạng chuẩn tắc Jordan .Do đó ma trận A là ma trận đường chéo.Vậy
X−1AX = diag(J1, J2, . . . , Jk) là dạng chính tắc Jordan của ma trận A. Khi đó: eAt = Xdiag(eJ1t , eJ2t , . . . , eJkt )X−1.
Lấy giá trị riêng λi của A liên kết với Ji thì ta có: eJit
−→ 0 khi và chỉ khi
λi có phần thực âm. Vậy eAt
−→ 0 khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của A có phần thực âm.
Định nghĩa 3.1.4. Một ma trận A được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các trị riêng củaA có phần thực nhỏ hơn0.Hệ (3.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu ma trận A ổn định tiệm cận. Ví dụ 3.1.5. A = " −1 3 0 −2 #
có hai trị riêng là -1 và -2 nên A là một ma trận ổn định tiệm cận.
Định nghĩa 3.1.6. Lấy λ1, λ2, . . . , λn là các giá trị riêng của A thì khoảng cách từ min{−Re(λi) : i = 1,2, . . . , n} tới trục ảo được gọi là bán kính ổn định.
3.2 Mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình Lyapunov
Định nghĩa 3.2.1. (Định nghĩa phương trình Lyapunov) Phương trình ma trận :
AX +ATX = −CTC
và đối ngẫu của nó:
AX +XAT = −CCT
được gọi là phương trình Lyapunov.
Trong đó: C là ma trận đối xứng xác định dương, X là nghiệm đối xứng xác định dương được cho bởi như sau:
X =
Z ∞ 0
eATtCTCeAtdt (3.2) 3.2.1 Các định lý về mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình Lyapunov Định lý 3.2.2. Cho A là ma trận ổn định. Khi đó phương trình Lyapunov:
XA+ATX = −CTC (3.3) có một nghiệm X xác định đối xứng dương duy nhất khi và chỉ khi (A, C) là quan sát được.
Chứng minh. Trước hết ta cần chỉ ra rằng (A, C) là quan sát được và A ổn định thì X là xác định dương.
Ta có A là ma trận ổn định, từ (3.2) X là nghiệm duy nhất của (3.3) được cho bởi như sau:
X =
Z ∞ 0
eATtCTCeAtdt.
Nếu X không là xác định dương thì tồn tại một vector x 6= 0 sao cho:
Xx = 0.Trong trường hợp đó:
Z ∞
CHƯƠNG 3. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC có nghĩa là CeAt
x = 0. Kiểm tra CeAt
x = 0 và các đạo hàm kế tiếp của nó tại t = 0, ta có
CAi
x = 0, i= 0,1, ..., n−1.
Điều này cho thấy được là OMx = 0, trong đó OM là ma trận quan sát. Khi đó (C, A) là quan sát được, OM có đủ hạng và chứng tỏ rằng x = 0 nên điều này là mâu thuẫn.
Hơn nữa, CeAt
x 6= 0 với ∀t nên X là xác định dương.
Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại. Ta cần chỉ ra rằng A ổn định và X
xác định dương thì (A, C) là quan sát được. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử (A, C) là không quan sát được. Khi đó, theo tiêu chuẩn (5) của định lý (2.2.4) các vector x của A thỏa mãn: Cx= 0.
Lấy giá trị riêng λ tương ứng với giá trị vector x. Khi đó từ phương trình (3.3) ta có: x∗XAx+x∗ATXx = −x∗CTCx hay (λ+λ)x∗Xx = − k Cxk2 Do đó: (λ + λ)x∗Xx = 0. Mà A là ma trận ổn định, λ + λ < 0 nên x∗Xx = 0.
Nhưng X là xác định dương, x phải là vector 6= 0 nên điều giả sử là sai. Do đó (A, C) là quan sát được.
Định lý 3.2.3. Cho phương trình Lyapunov:
XA+ATX = −CTC (3.4)
X là nghiệm đối xứng dương duy nhất và (A, C) là quan sát được khi và chỉ khi A là ma trận ổn định.
Chứng minh.
Ta định nghĩa ma trận X như sau:
X =
Z ∞ 0
eATtCTCeAtdt (3.5) Khi đó ta chỉ ra hệ là ổn định tiệm cận và X là nghiệm đối xứng dương duy nhất của phương trình Lyapunov. Sử dụng biểu thức chứa X trong phương trình (3.4) ta có: XA+ATX = Z ∞ 0 eATtCTCeAtAdt+ Z ∞ 0 ATeATtCTCeAtdt = Z ∞ 0 d dt(e AT t CTCeAt)dt = eAT tCTCeAt Ta đã có A là ma trận ổn đinh, eATt −→0(t−→ ∞). Do đó ta có: XA+ATX = −CTC
Bây giờ ta cần chỉ ra X xác định bởi (3.5) thỏa mãn phương trình (3.4). (+) Để chỉ raX là xác định dương ta phải chứng minh rằnguT
Xu > 0, u6= 0. Từ (3.5) ta có: uTXu = Z ∞ 0 uTeAT tCTCeAtudt Cả ma trận mũ eATt và eAt đều là các ma trận không dừng và C là ma trận xác định dương nên uTu > 0.
(+) Ta cần chứng minh X là duy nhất. Giả sử rằng phương trình (3.4) có 2
nghiệm X1 và X2. Ta có:
AT(X1 −X2) + (X1 −X2)A = 0
Điều đó chứng tỏ rằng :
CHƯƠNG 3. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC hay d dt[e AT t (X1 −X2)eAt] = 0
và do đó eAT t(X1 −X2)eAt là ma trận hằng số với mọi t. Kiểm tra khi
t = 0 và t= ∞ thì ta có X1 −X2 = 0 ⇐⇒X1 = X2. Vậy ta có điều phải chứng minh.
[⇐=] Ta chứng minh rằng nếu X là nghiệm đối xứng xác định dương của phương trình (3.4) thì A là ma trận ổn định. Lấy (λ, x) là cặp giá trị của A. Ta nhân 2 vế của phương trình (3.4) với x∗ và x ta được:
x∗XAx+x∗ATXx = λx∗Xx+ λx∗Xx
= (λ+λ)x∗Xx
= −x∗CTCx.
Như vậy cả C và X là đối xứng dương. Ta có λ+λ < 0hay Re(λ) < 0. Vậy ta có điều phải chứng minh.
3.3 Ví dụ minh họa
Ví dụ 3.3.1. Xét hệ tuyến tính có phương trình trạng thái như sau:
. x(t) = −0.0006 −0.5681 −0.0010 −0.0013 0.5681 −0.0005 −0.0013 −0.0010 −0.0010 0.0013 −0.0039 −3.9409 0.0013 −0.0010 3.9409 −0.0040 x. • Ta có: A = −0.0006 −0.5681 −0.0010 −0.0013 0.5681 −0.0005 −0.0013 −0.0010 −0.0010 0.0013 −0.0039 −3.9409 0.0013 −0.0010 3.9409 −0.0040
• Tính các giá trị riêng của ma trận A: EigA= [eig(A)]. EigA = −0.0006 + 0.5681i −0.0006−0.5681i −0.0040 + 3.9409i −0.0040−3.9409i
Phần thực của các trị riêng của ma trận A đều âm nên ma trận A ổn định tiệm cận. Do vậy, hệ ổn định tiệm cận.
Kết luận
Sau khi nghiên cứu về :” Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục” em rút ra được các kết luận sau:
1. Những kết quả đã làm được:
Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của em đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo HÀ BÌNH MINH và ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoa Toán và các bạn sinh viên. Luận văn cơ bản đã đạt được mục đích đề ra. Cụ thể như sau:
• Trong luận văn này em đã trình bày được cơ sở lý thuyết, chứng minh các định lý, đưa ra các ví dụ minh họa của bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục.
• Đưa ra được hai tiêu chuẩn Klman và Hautus để kiểm tra tính điều khiển được và tính quan sát được của bài toán.
• Được học hỏi và sử dụng phần mềm Matlab để tính toán: Tính được giá trị riêng của ma trận, nhân các ma trận, tính hạng của ma trận, . . . để kiểm tra tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định một cách đơn giản và nhanh nhất.
• Thông qua quá trình thực hiện luận văn em đã hiểu sâu hơn về một bài toán điều khiển, về hệ tuyến tính thời gian liên tục, tính quan sát được, tính điều khiển được, tính ổn định của bài toán. Biết vận dụng chúng để lấy ví dụ và làm các bài tập. Ngoài ra nó còn giúp em củng cố lại các kiến thức về ma trận: hạng của ma trận, giá trị riêng, giá trị vector,. . . mà em đã được học.
• Đặc biệt, sau khi nghiên cứu về đề tài này em còn biết được ứng dụng của bài toán điều khiển trong thực tế rất quan trọng. Đây là bài toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi sao cho nó có được chất lượng mong muốn. Nó được áp dụng rộng rãi và phổ biến trong thực tiễn.
2. Những mặt hạn chế chưa làm được:
Luận văn được hoàn thành trong thời gian không lâu, lượng kiến thức của sinh viên còn hạn chế và mới bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của thầy cô.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, Tháng 5 năm 2013 Sinh viên
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Doãn Phước,Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2009.
[2] Biswa Nath Datta,Numerical Methods for linear Control System, Elsevier Academic Press, 2004.