Trong chương này, chúng tôi đã trình bày chi tiết các điều kiện cần và điều kiện đủ để một đa thức là đa thức duy nhất mạnh (yếu) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet.
Đồng thời, chúng tôi cũng đã nghiên cứu thêm các điều kiện để hai lớp đa thức Yn,m và Fn,d trở thành các đa thức duy nhất mạnh cho M(K). Các kết quả này giúp chúng tôi xây dựng được một cách đầy đủ các ví dụ về song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho M(K). Điều này sẽ được trình bày trong chương 3.
Chương 3
Bi-URS kiểu (1, n) cho M(K)
Khi xem xét sự xác định của hàm phân hình thông qua ảnh ngược của một tập hợp ta gặp rất nhiều khó khăn để giảm số điểm của tập hợp đó. Cho đến nay, chưa có phương pháp nào để tìm URS cho các hàm phân hình phức (tương ứng, p-adic) có số phần tử bé hơn 11 (tương ứng, 10). Vì vậy có một vấn đề được đặt ra là xem xét sự xác định của các hàm phân hình thông qua ảnh ngược của nhiều hơn một tập hợp. Khái niệm sau đây được đưa ra bởi F. Gross và C. C. Yang.
Họ S = (S1, S2, . . . , Sn) các tập không rỗng S1, S2, . . . , Sn ⊂ cW;Si ∩
Sj = φ; 1 ≤ i 6= j ≤ n được gọi là n-tập xác định duy nhất, kí hiệu n-URS (tương ứng, n-tập xác định duy nhất không tính bội, kí hiệu n-URSIM), cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f, g ∈ F thỏa mãn Ef(S) = Eg(S) (tương ứng, Ef(S) =Eg(S)) thì f =g. Trong đó
Ef(S) = (Ef(S1), Ef(S2), . . . , Ef(Sn)), Ef(S) = (Ef(S1), Ef(S2), . . . , Ef(Sn)).
Dạng 1-URS (tương ứng, 1-URSIM) chính là URS (tương ứng, URSIM). Dạng
2-URS (tương ứng, 2-URSIM) được gọi là song tập xác định duy nhất (tương ứng, song tập xác định duy nhất không tính bội), kí hiệu là bi-URS (tương ứng bi-URSIM).
Trong chương này, chúng ta sẽ giải quyết bài toán xét sự tồn tại của song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho họ các hàm phân hình trên trường không Acsimet.
Bổ đề 3.1. Cho a ∈ W∗ và m, n ∈ N sao cho n > m > 1. Đa thức P(z) =
zn−azm+ 1 ∈ W[z] và λ ∈ W. Giả sử P −λ có một không điểm bội q ≥ 2. Khi đó a và λ thỏa mãn
anm
m(n−m)n−m
nn = (1−λ)n−m. (3.1)
Hơn nữa, nếu λ 6= 0, λ 6= 1, P −λ có một không điểm bội q ≥ 2 và P − 1
λ có một không điểm bội q0 ≥2, thì khi đó
λn−m = (−1)n−m. (3.2)
Chứng minh. Giả sử θ là một không điểm bội q ≥ 2 của đa thức P(z)−λ. Ta có ( P(θ)−λ = 0 P0(θ) = 0 ⇔ ( θn−aθm+ 1−λ = 0 nθn−1−amθm−1 = 0 ⇔ ( 1−λ =θm(a−θn−m) θn−m = man . Do đó 1−λ = aθmn−m n . Suy ra (1−λ)n−m = an−m(θm)n−m(n−m) n−m nn−m = an−m(ma n ) m(n−m)n−m nn−m = anm m(n−m)n−m nn .
Nếu λ 6= 0, λ 6= 1, P −λ có một không điểm bội q ≥ 2 và P − 1
λ có một không điểm bội q0 ≥ 2, thì ta có
( (1−λ)n−m =an mm(n−nnm)n−m, (1− 1 λ)n−m =an mm(n−nnm)n−m. Do đó (1−λ)n−m = (1− 1 λ) n−m. Suy ra λn−m = (−1)n−m.
Bổ đề 3.2. Cho S = {z1, z2, . . . , zn} là tập hợp gồm n phần tử trong K và đa thức P(z) =
n
Y
i=1
(z−zi). Giả sử f, g ∈ M(K) có cùng số cực điểm kể cả bội và thỏa mãn điều kiện Ef(S) = Eg(S). Khi đó có tồn tại một hằng số λ 6= 0 sao cho P(f) = λP(g).
Chứng minh. Đặt
h = P(f)
P(g).
Do f, g ∈ M(K) có cùng số cực điểm kể cả bội và thỏa mãn điều kiện
Ef(S) = Eg(S) nên P(f) và P(g) có cùng số không điểm và cực điểm kể cả bội. Vì vậy, h là hàm phân hình không có không điểm và cực điểm. Do đó h là một hằng số khác không, tức là tồn tại một hằng số λ 6= 0 sao cho
P(f) = λP(g).
Bổ đề 3.3. Cho
ϕ(z) = az +b
cz +d,
là phép biến đổi phân tuyến tính khác hằng trên K. Khi đó, cặp (S, T) là bi-URS cho M(K) khi và chỉ khi cặp S0 = ϕ(S), T0 = ϕ(T)) là bi-URS cho
M(K).
Chứng minh. Giả sử f, g là các hàm phân hình sao cho Ef(S0) =Eg(S0) và
Ef(T0) = Eg(T0). Khi đó, nếu z0 là không diểm bội m của f − a0i thì z0
cũng là không điểm bội m của g −a0j, với j nào đó và a0i, a0j ∈ S0. Tồn tại
ai, aj ∈ S sao cho ϕ(ai) = a0i, ϕ(aj) = a0j. Hơn nữa, nếu z0 là không điểm bội m của f −a0i thì z0 cũng là không điểm bội m của ϕ−1(f)−ai và ngược lại. Do đó, từ Ef(S0) = Eg(S0) suy ra Eϕ−1(f)(S) = Eϕ−1(g)(S). Tương tự, từ
Ef(T0) =Eg(T0) suy ra Eϕ−1(f)(T) =Eϕ−1(g)(T).
Do vậy, nếu cặp (S, T) là bi-URS choM(K), thì ϕ−1(f) = ϕ−1(g), hayf =g. Điều ngược lại chứng minh tương tự.
Bổ đề 3.4. Cho S = {z1, z2, . . . , zn} là tập hợp gồm n phần tử trong K và đa thức P(z) =
n
Y
i=1
(z−zi). Khi đó, cặp ({∞}, S) là bi-URS cho M(K) khi và chỉ khi P(z) là đa thức duy nhất mạnh cho M(K).
Chứng minh. Đây là hệ quả của bổ đề 3.2.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ khẳng định các kết quả về song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho M(K).
Định lý 3.1. Không tồn tại song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho M(K) với n≤ 3.
Chứng minh. Ta dễ dàng có được điều này bằng cách lập luận phản chứng.
Giả sử tồn tại song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) với n ≤ 3. Theo các bổ đề 3.3 và bổ đề 3.4, chúng ta phải có được sự tồn tại của một đa thức duy nhất mạnh bậc nhỏ hơn 4. Tuy nhiên điều này lại mâu thuẫn với các kết quả trong chương 2, đó là định lý 2.1 và hệ quả 2.2.
Định lý 3.2. Tồn tại song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho M(K) với mọi n≥ 4.
Chứng minh. Với mỗi n ≥ 4, ta xét lớp tất cả các tập hợp gồm n phần
tử S = {a1, . . . , an} và lớp tương ứng gồm các đa thức liên kết PS(z) = (z −a1). . .(z −an). Dễ thấy, mỗi đa thức liên kết đều có chỉ số đạo hàm
k =n−1 ≥ 3.
Hơn nữa, các điều kiện (H) và (G) chỉ là các điều kiện đại số, nên chúng ta có thể chọn được tập hợp S sao cho PS là đa thức thỏa mãn các điều kiện (H) và (G). Khi đó, theo định lý 2.10, ta có PS là đa thức duy nhất mạnh cho M(K). Từ đó, theo bổ đề 3.4, ta suy ra cặp ({∞}, S) là bi-URS cho M(K).
Cuối cùng, để kết thúc chương này, chúng ta sẽ đi xây dựng các ví dụ để khẳng định sự tồn tại của song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho
M(K) với mọi n≥ 4.
Ví dụ 3.1. Xét đa thức P4(z) = 3z4 − 28z3 + 84z2 − 96z + 45. Khi đó
P40(z) = 12(z −1)(z −2(z−4), P4 có chỉ số đạo hàm k = 3 và P4(1) = 86=
P4(2) = 13 6= P4(4) = −19 và P4(1) +P4(2) +P4(4) = 2 6= 0, do đó các giả thiết của định lý 2.10 thỏa mãn. Vậy P4 là đa thức duy nhất mạnh cho các hàm phân hình trên K. Dễ thấy đa thức P4 có 4 nghiệm phân biệt. Ta đặt
S = {z1, z2, z3, z4} là tập các nghiệm của P4. Theo bổ đề 3.4, cặp ({∞}, S)
là bi-URS cho M(K).
Ví dụ 3.2. Xét đa thức
Y5,3 = z5−az3+ 1,
trong đó a ∈ K∗, a5 6= 3125108 và a5 6= 312527 . Theo bổ đề 3.1, đa thức Y5,3 có 5
nghiệm phân biệt z1, . . . , z5. Hơn nữa, theo [4], ta có Y5,3 là đa thức duy nhất mạnh cho M(K). Từ đó chúng ta suy ra cặp ({∞},{z1, . . . , z5}) là bi-URS cho M(K).
Tương tự, xét đa thức
Y6,4 = z6−az4+ 1,
trong đó a ∈ K∗, a6 6= 72916 và a6 6= 7294 . Theo bổ đề 3.1, đa thức Y6,4 có 6
nghiệm phân biệt z1, . . . , z6. Hơn nữa, theo [4], ta có Y6,4 là đa thức duy nhất mạnh cho M(K). Từ đó chúng ta suy ra cặp ({∞},{z1, . . . , z6}) là bi-URS cho M(K).
Tổng quát hơn, với n, m ∈ N thỏa mãn (n, m) = 1, n ≥ m + 2, m ≥ 5; và lấy a ∈ K∗ thỏa mãn an 6= mm(n−nnm)n−m. Khi đó theo bổ đề 3.1, đa thức
Yn,m = zn −azm + 1 có n nghiệm phân biệt. Theo định lý 1 trong [4], Yn,m
là đa thức duy nhất mạnh cho M(K). Do đó, theo bổ đề 3.4, nếu ta gọi Sn
là tập hợp gồm n nghiệm của đa thức Yn,m thì cặp ({∞}, Sn) là bi-URS cho
M(K). Ví dụ 3.3. Xét đa thức Fn,b(z) = (n−1)(n−2) 2 z n−n(n−2)zn−1+ n(n−1) 2 z n−2+b. Với mọi n≥ 3, ta có Fn,b0 (z) = n(n−1)(n−2) 2 z n−3 (z−1)2.
Do đó, với b 6= 0 và b 6=−1, thì đa thức Fn,b có n nghiệm phân biệt. Nếu ta gọi Sn là tập hợp gồm n nghiệm phân biệt của đa thức Fn,b thì theo định lý 2.8 ta suy ra với mọi n ≥ 7, cặp ({∞}, Sn) là bi-URS cho M(K). Hơn nữa, cũng theo định lý 2.9, cặp ({∞}, S4) không là bi-URS cho M(K).
Kết luận chương 3
Bài toán sự tồn tại của song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet đã được giải quyết một cách trọn vẹn và n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm bởi A. Boutabaa, A. Escassut ([4]) và Hà Huy Khoái, Tạ Thị Hoài An ([1], [9]). Đó là nội dung chính của chương 3.
Với các kết quả đạt được trong chương 2 và tập trung khai thác tính không Acsimet của trường K (bổ đề 3.2), chúng tôi đã giải thích lại các kết quả trên một cách rõ ràng hơn.
Kết luận
Luận văn có nội dung nằm trong hướng nghiên cứu về lý thuyết Nevanlinna p-adic và các áp dụng , do GS. TSKH. Hà Huy Khoái khởi xướng. Đó chính là sự tiếp nối công việc trước đây của tác giả trong luận văn tốt nghiệp đại học ([2]).
Mục tiêu đề ra ban đầu của luận văn là tìm cách sử dụng hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic chứng minh các điều kiện đủ để một đa thức là đa thức duy nhất mạnh (yếu) choM(K). Sau đó, áp dụng các kết quả để giải quyết bài toán sự tồn tại của bi-URS kiểu (1, n) cho M(K)
và khẳng định n= 4 là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm. Đến đây, tác giả có thể khẳng định rằng mình đã hoàn thành các mục tiêu đề ra.
Ngoài ra, tác giả còn nghiên cứu thêm một số kết quả về bài toán ngược của Nevanlinna trong trường hợp p-adic. Các kết quả này đã được báo cáo tại đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 7- Quy Nhơn, 2008. Hơn nữa, một số câu hỏi trong [8] cũng được tác giả nghiên cứu và trả lời cụ thể. Kết quả này sẽ được tác giả gửi đăng trong một thông báo khoa học cấp trường.
Tác giả hy vọng rằng sẽ được tiếp tục nghiên cứu về đề tài này trong bậc học nghiên cứu sinh.